确定性系统中的混沌现象.docx
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确定性系统中的混沌现象
（三）确定性系统中的混沌现象的研究
1．古代“浑沌”思想和牛顿的决定论
不论中国还是西方，“混沌”（chaos，又称“浑沌”）概念古已有之。
面对浩瀚无垠的宇宙和繁纷多变的自然现象，古人只能凭借直觉对它进行模糊、整体的想象和猜测，逐步产生了混沌的概念。
中国古代所说的“混沌”，一般是指天地合一、阴阳未分、氤氲渺蒙、万物相混的那种整体状态。
它既含有错综复杂、混乱无序、模糊不清的意思，又有内在地蕴涵着同一和差异、规则和杂乱、通过演化从“元气未分”的状态产生出五光十色、多姿多彩的现实世界的丰富内涵。
《老子》中所说“有物混成，先天地生”，其实就是混沌。
汉代王充的《论衡·谈天篇》说：
“元气未分，浑沌为一”；汉代《易纬·乾凿度》云：
“混沌者，言万物相混成而未相离”；又云：
“太易者，未见气也；太初者，气之始也；太始者，形之始也；太素者，质之始也；气、形、质具而未相离，谓之混沌”。
这些论述都强调了混沌是宇宙初始物质未被分化的一种无序的元气统一体。
战国时期的伟大诗人屈原在他的《天问》中精彩地描绘了这种混沌状态：
曰遂古之初，谁传道之？
上下未形，何由考之？
冥昭瞢暗，谁能极之？
冯翼惟象，何以识之？
明明暗暗，惟时何功？
阴阳三合，何本何化？
……
这也把宇宙的初始状态描绘为天地未形、浑浑沌沌、动荡不定、明暗不分、阴阳渗合的形象。
但是，在古人看来，浑沌并不简单地等同于混乱和无序，它是万物混成尚未分离的状态，它是统一的整体，它本身就包含着差异和多样性，是秩序和无秩序、和谐与不和谐的统一体。
浑沌先于宇宙，浑沌孕育着宇宙，浑沌产生出宇宙。
按照《易纬·乾凿度》的说法，这个演化过程就是
太易→太初→太始→太素→混沌→天地……
“天地”才是现实的宇宙。
在古埃及和巴比伦的传说里，都提出了世界起源于混沌的思想。
古希腊称“原始混沌”为“卡俄斯”，说卡俄斯生于万物之先，它生下大地（“该亚”）、地狱（“塔尔塔洛斯”）和爱情（“厄洛斯”），大地又生出天（“乌利诺斯”）和海（“蓬托斯”）。
这也是说世界万物都是从混沌中分离出来的。
在《圣经》“创世纪”中说，起初神创造了天地，大地是空虚混沌，神灵运行于黑暗的深渊中，神说“要有光”，于是就有了光；神把光暗分开，于是就有了晨昏昼夜。
这就是“创世”的第一天。
这里借“神”的外衣所编织的动人神话，都反映了古人关于世界起源的共同思想：
世界产生之前的自然状态是混沌，万物借分离之力从混沌中演化出来。
但是，即使古人，也力图揭开浩阔苍茫的宇宙的奥秘，寻找变幻莫测的大自然背后的秩序，从混沌中发现规则性。
世界各地的古文明中，都产生了计算季节的精奥历法，都出现了预测日月食的天文律条。
伟大的文艺复兴运动和哥白尼日心说的提出，激发起人们探索大自然的勇气和信心，近代自然科学诞生了。
1687年，伟大的牛顿（Newton，Isaac 1642～1727）出版了他的巨著《自然哲学的数学原理》，以机械运动的三个基本定律和万有引力定律为公理基础，确立了一个揭示“万物的至理”、结构“世界的体系”的严整的经典力学理论体系。
这个理论简单而精确，普适而优美，对地面物体的各种复杂运动和太阳系内各个天体的长短周期运动做出了统一的解释，包括落体运动，弹道曲线，波的传播，光的折射，海洋潮汐，流体涡旋，行星轨道，月球岁差，彗星的行踪，双星的光变等等。
牛顿的理论获得了意想不到的成功，世界一下子变得秩序井然。
以牛顿力学为旗帜的科学革命，导致了把宇宙看作是一个巨大的精密机械，或者说就像一架精确运行的“钟表机构”。
因为牛顿力学的核心是牛顿第二定律，它是一个二级微分方程；这个方程的解，即物体的运动轨道，完全由两个初始条件唯一地决定。
就是说，只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体以往和未来的全部运动状态。
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这样，牛顿力学必然导致一个机械决定论的结构，即认为所有的自然现象和自然过程，都只能按照机械的必然性发生和进行。
根据物体间的相互作用和力学的基本定律，从运动的初始条件出发，就可以巨细不遗地得出宇宙中一切物体的全部运动状态。
这是一个数量的世界，一个可以利用数学方法进行计算的世界。
对牛顿理论的最辉煌的证实，是由18世纪天体力学做出的。
1705年，牛顿的挚友哈雷（Halley，Edmund1656～1742）根据他对1682年一颗彗星轨道的观测数据，运用牛顿的天体运动理论进行了计算，预言它将在1758年末再次出现。
1743年，法国科学家克雷洛（Clairault，A.C.1713～1765）同样用牛顿的理论，计算了遥远的木星和土星的摄动作用，指出这颗彗星的出现要稍作推迟，它经过近日点的时间在1759年4月。
果然，这颗彗星在1759年的春天又映辉于夜空。
这就是著名的哈雷彗星。
这是人类历史上第一次在54年前就准确预言了的一次天体运动现象，极大地增强了对以牛顿理论为代表的确定性因果规律的信心。
对这个经典确定论的信心，充分体现在1812年法国科学家拉普拉斯（Laplace，P.S.M.1749～1827）关于一个高超“智者”的设想上。
他写道：
①
假设有一位智者，它能知道在任一给定时刻作用于自然界的所有的力以及构成世界的一切物体的位置。
假定这位智者的智慧高超到有能力对所有这些数据做出分析处理，那么它就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动包容到一个公式中。
对于这个智者来说，再没有什么事物是不确定的了，过去和未来都历历在目地呈现在它的面前。
拉普拉斯的设想实际上是提出了一个令人敬畏的命题：
整个宇宙中物质的每一个粒子在任一时刻的位置和速度，完全决定了它未来的演化；宇宙沿着唯一一条预定的轨道演变，混沌是不存在的；随机性只是人类智力不敷使用时的搪塞之语。
2．庞加莱关于三体问题的开创性研究
科学认识的步伐，走出一条“之”字形路线：
“混沌”让位于“规则”——这是牛顿所建立的伟大功绩；而“规则”又产生出新形式的“混沌”。
迈出这一步伐的第一人，是伟大的法国科学家庞加莱（1854～1912）。
庞加莱被誉为是“一只脚站在19世纪，一只脚站在20世纪”的跨世纪天才学者，“是最后一位传统科学家，也是第一位现代科学家”。
这位蓄胡须、戴眼镜、和蔼可亲、不修边幅、带着心不在焉的糊涂外表的沉思者，却是一位科学上的集大成者，在数学、天体力学、物理学和科学哲学等领域，都做出了杰出的贡献。
他通晓他的时代的全部数学，在每一个重要分支里都做出了富有创造性的工作。
这使他成为世界数学界无可争辩的领袖。
正是这位科学巨擘，在确定论思想浓重笼罩着全部科学界的时候，却把智慧的眼光投向早被驱赶出科学园地的混沌深渊。
他是在研究天体力学，特别是“三体问题”时发现混沌的。
1887年，瑞典国王奥斯卡二世（1829～1907）悬赏2500克朗，征求天文学中一个重要问题的答案。
这个问题就是“太阳系是稳定的吗？
”其实这是牛顿本人早就提出来的一个老问题了。
牛顿以当时已观测到的木星和土星运动的不规则性以及彗星以极扁的轨道横穿所有行星的公转轨道所可能带来的干扰作用为依据，提出了太阳系的运动可能会陷入紊乱的担心。
此后不少科学家都对这个问题进行过探索。
直到1784年，拉普拉斯根据万有引力理论证明，太阳系是一个完善的自行调节的机械机构，行星之间的相互影响和彗星等外来天体所造成的摄动，最终都会自行得到改正。
所以，太阳系作为一个整体是稳定的，它将无限期地继续做着目前的周期运动。
但是看来，拉普拉斯的答案并没有消除科学界的这个疑虑，没有阻止100年后瑞典国王的悬赏征文。
庞加莱自然向奥斯卡国王的难题发起了进攻。
但是这个问题是太困难了，它涉及到了怎样研究复杂动力系统的稳定性这个深刻的问题。
连庞加莱这样的天才学者，也未能彻底攻克它。
但是，他却为了做这一工作而创立了一个新的数学分支——拓扑学，并大大推进了人们对这个历史难题的认识。
他因此获得了这项奖金。
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在太阳系中，包含着十多个比月球大的巨大天体，这是造成解题困难的根本原因。
如果太阳系仅仅由太阳和地球组成，这就是一个“二体系统”，问题则很简单，牛顿早已完全解决了它们的运动问题。
它们的运动是简单而规则的周期运动，太阳和地球将围绕一个公共质心、以一年为周期永远运转下去；或者稍做简化地说，地球将以太阳为一个焦点，周而复始地沿椭圆轨道绕转。
然而，当增加一个相当大的天体后，这就成了一个“三体系统”，它们的运动问题就大大复杂化了，要彻底解决这个问题，几乎是不可能的。
对短时间内的运动状态，可以用数值计算的方法来确定；但是由于根据牛顿力学所列出的方程组不能解析地求解，所以系统长时间的运动状态是无法确定的。
为了减少解决“三体问题”的难度，庞加莱着眼于美国数学家希尔（Hill，George William 1838～1914）提出的一个极为简化的三体系统，即“希尔约化模型”。
三体中有一个物体的质量非常小，它对其它两个天体不产生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星际尘埃组成的一个宇宙体系一样。
这两颗行星就像一个“二体系统”一样绕着它们的公共质心做周期运动；但这颗尘埃却受到两颗行星万有引力的作用，在两颗行星共同形成的旋转着的引力场中做复杂的轨道运动。
这种运动不可能是周期的，也不可能是简单的，看上去简直是乱糟糟一团（图2）。
为了用几何方法直观地描绘运动的情况，可以以描述系统状态的状态参量为坐标张成的“相空间”来描绘运动过程。
某一时刻系统的状态在相空间里用一个点表示；系统状态随时间的变化，即系统运动方程的解，对应于相空间的一条曲线，称为“相轨道”；如果物体做周期运动，它的相轨道就是一条闭合曲线；如果曲线不闭合，则表示物体的运动是非周期的。
但是，为了确定系统的运动是不是周期性的，与其自始至终地跟踪系统运动的全过程，不如只观察系统的相轨道是否总会通过同一相点。
设想通过相空间中一点A（初始状态）作一个横截面（图3），如果系统的相轨道总在同一点A穿过截面，那么系统的运动就是周期性图3用庞加莱截面考察运动情况：
的；相反，如果系统的相曲线1表示周期运动轨道每次都在不同点穿曲线2为非周期运动过这个截面，它的运动就是非周期的。
这个截面现被称为“庞加莱截面”，它把对连续曲线（相轨道）的研究简化为对点的集合的研究，相当于对系统的全部运动过程进行不连续的抽样检验，从而简化了检测工作。
庞加莱把他的截面方法应用于“希尔约化模型”的研究，以观察尘埃粒子的运动。
庞加莱震惊了，他发现尘粒的运动如此复杂而且违反直觉。
它的轨线多次穿过截面所形成的交点竟连缀成无穷多交点的“栅栏”（图4，现称为“同宿栅栏”）。
他写道：
当人们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时，这些相交形成一种格子、丝网或无限密集的网栅结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。
这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想把它画出来。
没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念了①。
从截面上一点出发的系统，经过一个过程后，当它再穿过截面时，却在另一点交于庞加莱截面，简直无法预言它下一次将从哪一点穿过截面；实际上系统是以无规的点的序列频频穿过庞加莱截面的。
这就是混沌，庞加莱在“三体问题”中发现了混沌！
这一发现表明，即使在“三体系统”，甚至是极为简化的“希尔约化模型”中，牛顿力学的确定性原则也受到了挑战，动力系统可能出现极其惊人的复杂行为。
并不像人们原来认为的那样，动力系统从确定性的条件出发都可以得出确定的、可预见的结果；确定性动力学方程的某些解，出现了不可预见性，即走向混沌。
其实，在庞加莱动手解决奥斯卡国王的难题的同一年，即1887年，数学家布伦斯（Bruns，H.）就已证明，三体问题的9个自由度18个二阶微分方程，只有10个运动积分，即3个动量积分，3个角动量积分，3个关于质心运动的积分和1个能量积分。
1890年，庞加莱将布伦斯的结论推广到有摄动参数的情况；1892年在他的三卷本《天体力学新方法》的第一卷第四章中，他对这个定理做出了一般表述：
在通常的保守问题中，经典力学正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何解析、一致的积分。
庞加莱的一般性结论，实质上是指出，可积系统是极少的；许多行为很规则的系统，当受到扰动后，可能出现不连续性，其参数或初始条件的微小变化，就可能引起复杂的、甚或是性质上的变化。
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庞加莱的工作提出了经典力学的确定性原则的适用限度的重大问题，留下了极富启发性的论断和猜想。
不过，混沌问题是太复杂了，庞加莱的时代还不具备揭示和描述混沌现象的足够的知识储备和数学工具。
虽然凭着他超人的几何直觉对混沌的复杂性有所洞察，但是他并不真的是“不想”画出他所发现的“同宿栅栏”，而是“无法”把它画出来。
这是只有用电子计算机技术才能处理的复杂几何图象。
庞加莱的思想是太超前于他的时代了，所以他的发现在半个多世纪里并未受到科学界的重视；牛顿力学确定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽着混沌广阔富饶的研究领域。
3．伯克霍夫的工作与KAM定理
美国数学家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是20世纪初少数几个认识到庞加莱动力系统研究工作的重要性的人物之一，他继承和发展了庞加莱的工作。
伯克霍夫把庞加莱截面方法用于探索哈密顿系统的一般行为。
他发现微分方程的性质取决于正则级数的收敛性。
如果正则级数是收敛的，则微分方程的解位于N维不变环面上。
但实际上级数的收敛、发散与否取决于振幅的大小。
当考虑非线性作用时，椭圆不动点周围的不变环面有些遭到破坏，有些继续存在但有点变形。
1932年，伯克霍夫证明，对应于不变环面的消失，存在不稳定区域，它可以被一条扭曲映射下的不变曲线所包拢，而区域内并无环绕原点的不变曲线。
他实际上已经证明，任意接近外边界的点，在映射作用下可以任意接近内边界，反之亦然。
在研究不稳定区的结构时，伯克霍夫让一个收缩性的扭曲映射作用于两条不变曲线之间的不稳定区域，结果不稳定区域被映射到一个更小的子区域中；映射的迭代最终把原区域变成了一个面积为零、结构极其复杂的极限集合，位于原区域中的点的轨迹都收敛到这个集合中去了。
伯克霍夫实际上已经发现了“混沌行为”和现在所说的“奇怪吸引子”的实例，他当时称之为“奇特曲线”。
更值得提出的是，他已经意识到这种行为是动力系统的通有行为。
除伯克霍夫等极少数人之外，几乎没有人沿着庞加莱的道路前进。
直到20世纪60年代以后，对动力系统的研究才有了长足的进展。
1960年前后，前苏联数学家柯尔莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿诺德（Arnold，V.I.）和莫塞尔（Moser，J.）提出并证明了以他们的姓氏的字头命名的KAM定理。
这个定理的基本思想是1954年柯尔莫果洛夫在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上宣读的《在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》短文中提出的。
后来他的学生阿诺德做出了严格的证明，莫塞尔又推广了这些结果。
按照分析力学方法，N个自由度系统的哈密顿函数是H=H（p1，p2……pN；q1，q2……qN），系统的运动由哈密顿正则方程
确定。
如果能够找到一系列正则变换，从广义动量p1，p2……pN和广义坐标q1，q2……qN变到另一套作用-角度变量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新变量表示的哈密顿函数只依赖于前一半变量J1，J2……JN，而与θ1，θ2……θN无关，则这个力学系统就是完全可解的，即为一可积系统。
因为这意味着这个系统的行为可化简，归约为N维环面上的条件周期运动。
相反，如果找不到一种变换，使得哈密顿方程只包含作用变量，则系统是不可积的。
实际上，对于多数保守系统，是无法找到这种正则变换的。
KAM定理是关于近可积系统的一个重要的、一般性结论，有十分重要的意义。
假定系统的哈密顿函数分为两部分
其中H0部分是可积的，V是使H变得不可积的扰动，只要ε很小，这就是一个弱不可积系统。
KAM定理断言，在扰动较小，V足够光滑，离开共振条件一定距离三个条件共同成立下，对于系统的大多数初始条件，弱不可积系统的运动图象与可积系统基本相同。
可积系统的运动限制在由N个运动不变量决定的N维环面上，而弱不可积系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的N维环面上，这些环面并不消失，只有轻微的变形，称为不变环面。
不过，只要有非零的扰动，总会有一些轨道逃离不变环面，出现不稳定、随机性的特征；但只要满足KAM定理的条件，这些迷走轨线是零测度的，不代表系统的典型行为。
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大量的计算机数值实验表明，破坏KAM定理的任何一个条件，都会促使迷走轨线增多，使运动的不规则性和随机性增大，最终导致混沌运动。
当然，这运动所遵循的仍然是决定性的牛顿力学方程式。
所以，KAM定理以一个限制性原理的形式，从反面泄露了有关牛顿力学面目的真实信息。
它暴露出，确定性的动力系统，只要精确地从同一点出发，其运动就是一条确定的轨道；但是只要初始条件有无论多么微小的变化，其后的运动就会变得无序和混乱，就如同掷骰子一样，是随机和不可预测的。
这就是牛顿力学的内禀随机性。
4．洛仑兹关于气象预报的研究
混沌研究上的一个重大突破，是在天气预报问题的探索中取得的。
1922年，英国物理学家和心理学家理查孙（Richardson，LewisFry 1881～1953）发表了一篇题为《用数值方法进行天气预报》的文章。
在文章的末尾，他提出了一个异想天开的幻想：
在一个大建筑内，集聚一大批长于计算的工作者，在统一指挥下相互协调地对影响天气变化的各种数据进行计算。
他估计，为了使天气预报和实际的天气变化达到同步，大约需要64000个熟练的计算者。
他设想，在遥远的将来，有朝一日或许有可能发展出比天气变化还要快的计算手段，从而使天气预报梦想成真。
真是先知之见，不到30年，电子计算机就出现了，并且成功地用于天气预报。
在牛顿力学确定论思想的影响下，当时科学家们对天气预报普遍持有这样乐观的看法：
气象系统虽然复杂异常，但仍然是遵循牛顿定律的确定性过程。
在有了电子计算机这种强有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的气象站、气象船、探空气球和气象卫星，把观测的气象数据（气压、温度、湿度、风力等）都及时准确地收集起来，根据大气的运动方程进行计算，天气变化是可以做出精确预报的。
既然天文学家能够根据牛顿定律，用铅笔和计算尺计算出了太阳系的未来，预见了哈雷彗星的出没以及海王星和冥王星的存在，勾划出了人造卫星和洲际导弹的准确轨迹，那么为什么对于风和云就做不到呢？
只要有一台功能高超的计算机来充任拉普拉斯设想的“智者”，天气的变化就会在人们精确的预言中。
计算机之父约翰·冯·诺意曼就认为气象模拟是计算机的理想的用武之地。
他甚至认为，天气状况不仅可以预报，而且是可以人工控制和改变的。
美国气象学家、麻省理工学院的洛仑兹（Lorenz，Edward）最初也接受了这种观点。
1960年前后，他开始用计算机模拟天气变化。
洛仑兹有良好的数学修养，他本想成为一个数学家，只是由于第二次世界大战的爆发，他成了空军气象预报员，使他成了一位气象学家。
比起庞加莱来，洛仑兹的条件是太优越了。
他拥有一台“皇家马可比”计算机，它是用真空管组成的，虽然运算速度还不算快，但在当时已经是很了不起的了。
洛仑兹把气候问题简化又简化，提炼出影响气候变化的少而又少的一些主要因素；然后运用牛顿的运动定律，列出了12个方程。
这些方程分别表示着温度与压力、压力与风速之间的关系等等。
他相信，运动定律为数学确定性架起了桥梁，12个联立方程可以用数值计算方法对气象的变化做出模拟。
开始时，洛仑兹让机器每分钟在打印机上打出一串数字，表示出一天的气象，包括气压的升降，风向的变化，气温的起伏等。
洛仑兹把这些数据与他心目中的预测相对比，感觉到某种熟悉的东西一次一次地重复出现。
气温上升又下降，风向向北又向南，气压升高又降低；如果一条曲线由高向低变化而中间没有隆起的部分，随后就会出现两个隆起部分。
但是他又发现，这种重复决不是精确的，一次与一次绝不完全吻合。
这个结果已经开始向洛仑兹透露着某种奥秘了。
1961年冬季的一天，洛仑兹用他的计算机算出了一长段数据，并得出了一个天气变化的系列。
为了对运算结果进行核对，又为了节省点时间，他把前一次计算的一半处得到的数据作为新的初始值输入计算机。
然后他出去喝了杯咖啡。
一个小时后当他又回到计算机旁的时候，一个意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一轮计算数据与上一轮的数据相差如此之大，仅仅表示几个月的两组气候数据逐渐分道扬镳，最后竟变得毫无相近之处，简直就是两种类型的气候了。
开始时洛仑兹曾经想到可能是他的计算机出了故障，但很快他就悟出了真相：
机器没有毛病，问题出在他输入的数字中。
他的计算机的存储器里存有6位小数，0.506127。
他为了在打印时省些地方只打出了3位0.506。
洛仑兹原本认为舍弃这只有千分之一大小的后几位数无关紧要；但结果却表明，小小的误差却带来了巨大的“灾难”。
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为了仔细看一下初始状态原本十分相同的气候流程，如何越来相差越大，洛仑兹把两次输出的变化曲线打印在两张透明片上，然后把它们重叠在一起（图5）。
一下子就清楚地看出来，开始时的两个隆峰还很好地相重叠，但到第三个和第四个隆峰时，就完全乱套了。
这个结果从传统观点看来是不可理解的。
因为按照经典决定性原则，初始数据中的小小差异只能导致结果的微小变化；一阵微风不会造成大范围的气象变化。
但是洛仑兹是从事天气预报的，他对长期天气预报的失败是有深切感受的。
这个离奇古怪的计算结果与他的经验和直觉是完全相符的。
所以他深信他的这些方程组和计算结果揭露了气象变化的真实性质。
他终于做出断言：
长期天气预报是根本不可能的！
他甚至有些庆幸地说：
“当然，我们实在也不曾做准过气象的长期预报，而现在好了，我们找到了开脱！
”“对于普通人来说，看到我们可以在几个月前就很准地预报了潮汐，便会问：
为什么对大气就不能准确预报呢？
确实，大气虽然是一个与潮汐不同的系统，但支配它们的定律的复杂程度却是差不多的。
但我认为，任何表现出非周期性态的物理系统，都是不可预测的。
”①事实正是这样，即使在今天，世界上最好的天气预报也只能一天可靠，超过两三天，就只是猜测。
洛仑兹是个穿着气象学家外衣的数学家，他很快看出了气候变化不能精确重演与长期天气预报的不可能二者之间存在着一种必然的联系。
用数学语言来说，就是“非周期性”与“不可预见性”之间的联系。
气象系统是不断重复但又从未真正重复的，这叫做“非周
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