最新高中数学不等式证明的常用方法经典例题优秀名师资料.docx

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最新高中数学不等式证明的常用方法经典例题优秀名师资料

关于不等式证明的常用方法重难点归纳

（1）比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证

（2）综合法是由因导果,而分析法是执果索因2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法典型题例

例1证明不等式nn21

31

21

1<++++（n∈N*）知识依托本题是一个与自然数n有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等例2求使yx+≤ayx+（x>0,y>0）恒成立的a的最小值知识依托该题实质是给定条件求最值的题目,所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值

例3已知a>0,b>0,且a+b=1求证（a+a1）（b+b1）≥425证法一（分析综合法）证法二（均值代换法）证法三（比较法）证法四（综合法）证法五（三角代换法）巩固练习1已知x、y是正变数,a、b是正常数,且ybxa+=1,x+y的最小值为_2设正数a、b、c、d满足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则ad与bc的大小关系是_________3若m

（1）a2+b2+c2≥3

1

（2）232323+++++cba≤65已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=21,证明x,y,z∈[0,32]6证明下列不等式

（1）若x,y,z∈R,a,b,c∈R+,则

c

bayba

cxacb+++++22z2≥2（xy+yz+zx）

（2）若x,y,z∈R+,且x+y+z=xyz,则zyxyxzxzy+++++≥2（zyx111++）7已知i,m、n是正整数,且1

（1）证明niAi

m

n

（2）证明（1+m）n>（1+n）m

8若a>0,b>0,a3+b3=2,求证a+b≤2,ab≤1

不等式知识的综合应用

典型题例

例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如右图）设容器高为h米,盖子边长为a米,

（1）求a关于h的解析式;

（2）设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?

求出V的最大值（求解本题时,不计容器厚度）

知识依托本题求得体积V的关系式后,应用均值定理可求得最值

例2已知a,b,c是实数,函数f（x）=ax2+bx+c,g（x）=ax+b,当-1≤x≤1时|f（x）|≤1

（1）证明|c|≤1;

（2）证明当-1≤x≤1时,|g（x）|≤2;

（3）设a>0,有-1≤x≤1时,g（x）的最大值为2,求f（x）

知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性,绝对值不等式

例3设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）,方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0

1

（1）当x∈[0,x1）时,证明x

（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称,证明x0<

2

1

x巩固练习

1定义在R上的奇函数f（x）为增函数,偶函数g（x）在区间[0,+∞）的图象与f（x）的图象重合,设a>b>0,给出下列不等

式,其中正确不等式的序号是（）

①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b）②f（b）-f（-a）g（b）-g（-a）④f（a）-f（-b）

B②④

C①④

D②③

2下列四个命题中①a+b≥2

ab②sin2x+

x

2

sin4

≥4③设x,y都是正数,若yx91+=1,则x+y的最小值是12④若|x-2|<ε,|y-2|<ε,则|x-y|<2ε,其中所有真命题的序号是__________

4已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a,b∈R,a>0）,设方程f（x）=x的两实数根为x1,x2

（1）如果x1<2-1;

（2）如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围

6设函数f（x）定义在R上,对任意m、n恒有f（m+n）=f（m）·f（n）,且当x>0时,0

（1）求证f（0）=1,且当x<0时,f（x）>1;

（2）求证f（x）在R上单调递减;

（3）设集合A={（x,y）|f（x2）·f（y2）>f

（1）},集合B={（x,y）|f（ax-g+2）=1,a∈R},若A∩B=?

求a的取值范围

7已知函数f（x）=1

22

2+++xc

bxx（b<0）的值域是[1,3],

（1）求b、c的值;

（2）判断函数F（x）=lgf（x）,当x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;（3）若t∈R,求证lg

57≤F（|t-61|-|t+61|）≤lg5

13数列与不等式的交汇题型分析及解题策略

【命题趋向】

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现,试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用.【典例分析】

题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:

（1）若函数f（x）在定义域为D,则当x∈D时,有f（x）≥M恒成立?

f（x）min≥M;f（x）≤M恒成立?

f（x）max≤M;

（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得.【例1】等比数列{an}的公比q>1,第17项的平方等于第24项,求使a1+a2+…+an>1a1+1a2+…+1

an恒成立的正整数n的取

值范围.

【例2】（08·全国Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.

（Ⅰ）设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;（Ⅱ）若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.【点评】一般地,如果求条件与前n

A

B

C

D

S

项和相关的数列的通项公式,则可考虑Sn与an的关系求解

题型二数列参与的不等式的证明问题

此类不等式的证明常用的方法:

（1）比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;

（2）分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;（3）放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.

【例3】已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=7,S4=24.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）设p、q都是正整数,且p≠q,证明:

Sp+q<1

2（S2p+S2q）.【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形,途径主要有:

（1）

因式分解;

（2）化平方和的形式;（3）如果涉及分式,则利用通分;（4）如果涉及根式,则利用分子或分母有理化.

【例4】（08·安徽高考）设数列{an}满足a1=0,an+1=can3+1-c,c∈N*,其中c为实数.（Ⅰ）证明:

an∈[0,1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1];（Ⅱ）设0

an≥1-（3c）n-1,n∈N*;（Ⅲ）设0

a12+a22+…+an2

>n+1-2

1-3c

n∈N*.

题型三求数列中的最大值问题

求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有:

（1）建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值;

（2）首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值;（3）利用条件中的不等式关系确定最值.

【例5】（08·四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为______.

【例6】等比数列{an}的首项为a1=2002,公比q=-1

2

.（Ⅰ）设f（n）表示该数列的前n项的积,求f（n）的表达式;（Ⅱ）当n

取何值时,f（n）有最大值.

题型四求解探索性问题

数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略:

先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得在范围内的数值或图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果.

【例7】已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4.（Ⅰ）求证:

数列{an}是等比数列;（Ⅱ）是否存在正整数k,使

Sk+1-2

Sk-2

>2成立.【点评】在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”,这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.

【例8】（08·湖北）已知数列{an}和{bn}满足:

a1=λ,an+1=2

3an+n-4,bn=（-1）n（an-3n+21）,其中λ为实数,n为正整

数.（Ⅰ）对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;（Ⅲ）设0

若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.

数列与不等式命题新亮点

例1把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为

（1）,（3,5）,（7,9,11）,（13）,（15,17）,（19,21,23）,（23）…,则第50个括号内各数之和为_____.

点评:

恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求.例2设{}na是由正数构成的等比数列,12nnnbaa++=+,3nnncaa+=+,则（）

A.n

nbc>B.nnbc

点评:

此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系.例3若对（,1]x∈-∞-,不等式2

1

（）2（）12

xxm

m--<恒成立,则实数m的取值范围（）

A.（2,3）-

B.（3,3）-

C.（2,2）-

D.（3,4）-

例4四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n米后恰好回到S点的概率为nP

（1）求2P、3P的值;

（2）求证:

131（2,）nn

PPnnN++=≥∈（3）求证:

2365>（2,）24

nnPPPnnN-+++≥∈…

例5已知函数

（）2fxxx=+.

（1）数列

{}na满足:

10a>,（）1nnafa+'=,若111

12n

ii

a=<+∑

对任意的nN∈恒成立,试求1a的取值范围;

（2）数列

{}nb满足:

11b=,（）1nnbfb+=（）nN∈,记1

1nn

cb=

+,kS为数列{}nc的前k项和,kT为数列{}nc的

前k项积,求证

17

10n

kkkk

TST=<+∑.例6

（1）证明:

（）ln

1（0）xxx+<>

（2）数列{}na中.11a=,且（）1

12

11

122nnnaann--?

?

=+

+≥?

?

?

;①证明:

（）7

24

nan≥

≥②（）21naen<≥【专题训练】

1.已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列,则有

（）

A.a4a6

B.a4a6≤a6a8

C.a4a6>a6a8

D.a4a6≥a6a8

2.设{an}是由正数构成的等比数列,bn=an+1+an+2,cn=an+an+3,则

（）A.bn>cn

B.bn

C.bn≥cn

D.bn≤cn

3.已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,则（）

A.a6=b6

B.a6>b6

C.a6

D.a6>b6或a6

（）A.9B.8C.7D.65.已知等比数列{an}的公比q>0,其前n项的和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是（）

A.S4a5

B.S4a5>S5a4

C.S4a5=S5a4

D.不确定6.设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,则函数f（n）=

Sn

（n+32）Sn+1

的最大值为

（）

A.

120

B.

130

C.140

D.

150

7.已知y是x的函数,且lg3,lg（sinx-1

2

）,lg（1-y）顺次成等差数列,则

（）

A.y有最大值1,无最小值

B.y有最小值

1112,无最大值C.y有最小值11

12

最大值1D.y有最小值-1,最大值18.已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是

（）

A.（-∞,-1]

B.（-∞,-1）∪（1,+∞）

C.[3,+∞）

D.（-∞,-1]∪[3,+∞）

9.设3b是1-a和1+a的等比中项,则a+3b的最大值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

10.设等比数列{an}的首相为a1,公比为q,则“a1<0,且0an”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分比要条件

D.既不充分又不必要条件

11.{an}为等差数列,若

a11

a10

<-1,且它的前n项和Sn有最小值,那么当Sn取得最小正值时,n=

（）

A.11

B.17

C.19

D.21

12.设f（x）是定义在R上恒不为零的函数,对任意实数x、y∈R,都有f（x）f（y）=f（x+y）,若a1=1

2

an=f（n）（n∈N*）,则数列{an}

的前n项和Sn的取值范围是（）A.[1

2

2）

B.[1

2

2]

C.[1

2

1）

D.[1

2

1]

13.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=8,a3+a5=26,记Tn=Sn

n

2,如果存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn≤M都

成立.则M的最小值是__________.

14.无穷等比数列{an}中,a1>1,|q|<1,且除a1外其余各项之和不大于a1的一半,则q的取值范围是________.15.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则（a+b）2

cd

的最小值是________.

A.0

B.1

C.2

D.4

16.等差数列{an}的公差d不为零,Sn是其前n项和,给出下列四个命题:

①A.若d<0,且S3=S8,则{Sn}中,S5和S6都是

{Sn}中的最大项;②给定n,对于一定k∈N*（k0,则{Sn}中一定有最小的项;④存在k∈N*,使ak-ak+1和ak-ak-1同号其中真命题的序号是____________.

17.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.（Ⅰ）求{an}的通项na;（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值.

18.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点（an,an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）

若列数{bn

}满足b1

=1,bn+1

=bn

+2an,求证:

bn

·bn+2

.

19.设数列{an}的首项a1∈（0,1）,an=

3-an-1

2

n=2,3,4,….（Ⅰ）求{an}的通项公式;（Ⅱ）设bn=an3-2an,证明bn

（Ⅰ）求{an}的通项公式;（Ⅱ）若数列{an}中b1=2,bn+1=

3bn+4

2bn+3

n=1,2,3,….证明:

2

数y=f（x）的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;

（Ⅱ）设bn=1anan+1

Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn

20对所有n∈N*都成立的最小正整数m

22.数列

{}na满足11a=,21（）nnannaλ+=+-（12n=,

）,λ是常数.（Ⅰ）当21a=-时,求λ及3a的值;（Ⅱ）数列{}na是否可能为等差数列?

若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;（Ⅲ）求λ的取值范围,使得存在正整数m,当nm>时总有0na<.

利用导数处理与不等式有关的问题

一、利用导数证明不等式

（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式