一元一次方程知识点+典型试题附答案.docx
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一元一次方程知识点+典型试题附答案
第五章一元一次方程
1.理解方程的概念，能够根据要求列出恰当的方程，
能够对方程模型进
行准确的判断；
2.熟练掌握移项、去括号、合并冋类项等化简方程的方法，掌握解一兀
教学目标
一次方程的步骤；
3.能够分析实际问题中的已知量和未知量，以及它们之间的关系，能够
熟练找出题目中的等量关系，并列出方程进行求解，并根据问题判断
“解”的合理性。
教学重点
移项、去括号、合并冋类项等化简方程的方法
教学难点
能列方程解应用题
教学方法建议
讲授法，讲练结合
课堂精讲例题
搭配课堂训练题
课后作业
选材程度及数量
A类
（4）道
（10）道
（4）道
B类
（9）道
（8）道
（7）道
C类
（6）道
（6）道
（5）道
第1――2课时一元一次方程相关概念及解法
一、知识梳理
1.等式及其性质
⑴等式：
用等号“=”来表示关系的式子叫等式.
⑵性质：
①如果ab，那么ac；
②如果ab，那么ac；如果abe0，那么-
c
2.方程、一元一次方程的概念
⑴方程：
含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程
的解；求方程解的叫做解方程•方程的解与解方程不同•
⑵一元一次方程：
在整式方程中，只含有_个未知数，并且未知数的次数是系
数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为a0.
3.解一元一次方程的步骤
①去;②去;③移;④合并;⑤系数化为1.
4•易错知识辨析
（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一
1
个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程，像-2,2x22x1
x
等不是一元一次方程.
（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：
①方程两边不能乘
以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不
要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号
二、课堂精讲例题
（一）一元一次方程的定义
例题1若kx32k2k3是关于x的一元一次方程，则k=.
【难度分级】：
A类
【选题意图】（对应知识点）：
本题主要考查学生对一元一次方程的定义的理解。
的一元一次方k0且32k1解得k1
【搭配课堂训练题】
（A）1.若m2x|m|15是一元一次方程，则m=
（B）2.下列方程中，属于一元一次方程的是（）
A、X-3
2
B.x10C、2x-3=0D、x-y=3
（二）方程的解例题2.已知关于x的方程3x+2a=2的解是a-1，贝Ua的值是（
31「
A.1B.—C.—D.-1
55
【难度分类】：
A级
【分析】：
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等
【答案】：
根据题意得：
3（a-1）+2a=2，解得a=1
故选A•
【点评】：
本题主要考查了方程解的定义，已知a-1是方程的解实际就是得到了一个关于a
的方程.
【搭配课堂训练题】
（A）1.方程2x+a-4=0的解是x=-2，贝Ua等于（）
A.-8B.0C.2D.8
（B）2.已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是（）
22
A.2B.-2C.D.
77
（三）解方程
例题3若2005-200.5=x-20.05，那么x等于（）
A.1814.55B.1824.55C.1774.55D.1784.55
【难度分级】：
A类
【选题意图】（对应知识点）：
本题主要考查学生解一元一次方程。
【解析】：
求x的值，需要对方程进行移项，注意在移项的过程中符号的变化.
方程2005-200.5=x-20.05移项得：
x=2005-200.5+20.05，合并同类项得：
x=1824.55;故答案选B.
【答案】B.
例题4.关于x的一元一次方程mx+1=-2（m-x）的解满足|x|=2则m的值为
【难度分级】：
C类
【解析】由“方程mx+仁—2（m-x）是关于x的一元一次方程”，整理可得2mx2m1,进而可知2m0,即m2;由“|x|=2”，可知x2,因此x2;再把x2代入方
程mx+1=-2（m-x）中，得m
3
4
【答案】m
3
4
1
例题5:
解方程-X2
5
2
x
3
3
【难度分级】
B类
【解析】方程中的项包括它前面的符号，在移项时，移动的项要改变符号，不移动的项不变
号；把含有x的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边。
12
【答案】解：
移项，得一xx52，合并同类项，得x7
33
例题6：
解方程2y532y10y
【难度分级】：
B类
【解析】：
先去括号，再移项，然后合并同类项，最后利用等式的性质2将未知数的系数化
为1.去括号的方法与有理数运算中去括号的方法相同，仍然遵循去括号的法则，主要依据乘法分配律。
【答案】解：
去括号，得2y1510y10y，
移项，得2y10y10y15，
合并同类项，得2y15，系数化为1,得y7.5
12xx1
例题7：
解方程丄竺「1
53
【难度分级】B类
【解析】在解方程时如果含有分母时，可以利用等式性质2，在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，将分母去掉；方程两边同时乘5和3的最小公倍数15,将分母去掉，然后再逐步转化成Xa的形式。
【答案】解：
去分母，得312x5x115
去括号，得36x5x515，
移项合并同类项，
得x7
-3X12X1
例题&阅读下面解方程3——11的过程.
26
解：
去分母，得33x112x1，去括号，得9x112x1，移项，得
1
9x2x111，合并同类项，得7x1，系数化为1，得x.
7
试回答上面解方程的过程是否正确？
若正确，请写出每一步的变形依据；若不正确，
指出存在的错误，并求出正确的解
【难度分级】：
C类
【解析】：
本题考查学生的辨析能力；解方程去分母时要注意两个问题：
一是不要漏乘不含
3X12X1
分母的项，二是分数线有括号的作用，本题中注」和么」，当去分母后3x1和2x1
26
应加括号；去括号时注意不要漏乘及括号前面是负数时去括号后符号改变；移项时要变号.
【答案】解：
上面解方程的过程不正确，有四处错误：
第一处是去分母时方程后面的1漏乘
6;第二处是去分母后，2x1没有加括号；第三处是去括号时3x1中的-1漏乘3;第四
处是移项时2x和-1没有变号。
正解：
去分母，得33x162x1，去括号，得9x362x1，移项，得
9x2x613
合并同类项，得11x8，系数化为1，得x-.
11
ab
例题9对于有理数a、b、c、d,规定一种运算adbc，例如
cd
229.若321，求x的值.
52x
【难度分级】C类
【解析】
本题考查对新定义运算的理解和应用能力，根据定义先将新定义运算转化为常规运
【答案】
【方法归纳】
1.一个方程是一元一次方程必须满足以下几个条件:
①整式方程②只含有一个未知数③未知数的系数不等于0
2.解方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为
3.去分母的方法是：
利用等式性质2，在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，将分
母去掉；
4.去括号的方法，与有理数运算中去括号的方法相同，仍然遵循去括号的法则。
【搭配课堂训练题】
（A）1.解方程（3x+2）+2[（x-1）-（2x+1）]=6，得x=（）
A.2B.4C.6D.8
2x4x7
（A）2.方程2竺二—去分母得（）
36
A.222x4x7B.12-2（2x-4）=-x-7
C.12-4x-8=-（x-7）D.12-2（2x-4）=x-7
（B）
3.已知方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同，求m的值;
2x1
的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在
3
后面的括号内填写变形依据。
3y
解：
原方程可变形为■
52x
1
（
）
3
2
去分母，
得3（3x+5）=2（2x-1）.
（）
去括号，
得9x+15=4x-2.
（
）
（），
得9x-4x=-15-2.（
）
合并，得
5x=-17.
）,得x=
（
17
）
（
（
）
5
（C）5.
已知关于x的方程
mx+2=2
（m-x）
的解满足
lx-1
|-1=0
，则
m的值是
2
A.10或
2
B.10或
2
C.-10
或-
D.-10
或
2
5
5
5
5
（C）6.
对于两个实数a、
b,我们规定一种新运算“
*”：
a*b=3ab
（1）解方程：
3*x-2*4=0
（2）若无论x为何值，总有a*x=x，求a的值.
（C）7•当x取何值时，代数式
107x
x
的值比代数式
J的值小3?
【课后练习】
（A类）
（A类）
（A类）
（B类）
（B类）
（B类）
（B类）
（C类）
（C类）
x2
13
3
A.
2
1.
（1）若kx32k2k3是关于x的一元一次方程，则k=
2.如果x=5是方程ax+1=10—4a的解，那么a=
3.如果2a+4=a—3,那么代数式2a+1的值是
4.解方程⑴3x17x530x1;
5.当m取什么整数时，关于x的方程!
mx5
23
（2）
6.当x=时，单项式5a2x+1b2与8ax+3b2是同类项。
2x1
3
10x1
6
4）的解是正整数?
8.m为何值时，代数式2m
5m31的值与代数式7
m的值的和等于5?
2
9.我们来定义一种运算：
a
b
adbe.例如
2
25342;再如
c
d
4
7.三个连续奇数的和为
69,则这三个数分别为
3x2，按照这种定义，当x满足（
）时,
c.3
D.-
第3—4课时一兀一次方程的应用
一、知识梳理
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意；
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系；（3）设出未
知数，列出方程：
表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；（4）
解方程：
解所列的方程，求出未知数的值，（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是
否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。
2•和差倍分问题
增长量=原有量X增长率现有量=原有量+增长量。
3.日历中的排列规律
每一行中，相邻的两个数相差1,右边的数比左边的数大1;每一列中，相邻的两个数相差
7,下边的数比上边的数大7。
4.等积变形问题
常见的几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积或面积不变。
（1）
圆柱体体积公式：
V=底面积X咼=sh=rh
（2）
长方体的体积公式:
V=yx宽X高=abc
1
112
（3）
圆锥体的体积的公式：
V=—X底面积X咼=
=—sh=—nr
3
33
5.数字问题
一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c
两位数可表示为10b+a,三位数可表示为100c+10b+a.
然后抓住数字间或新数与原数之间的关系找到等量关系列方程。
6.市场经济问题
（1）商品利润=商品售价-商品成本价
*商品利润
（2）商品利润率=X100%
商品成本价
（3）商品的销售额=商品的单价X销售数量
（4）商品的销售利润=（售价-成本）X销售量
（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售即按原价的百分
之八十出售。
7.行程问题
路程=速度x时间时间=路程十速度速度=路程十时间
（1）相遇问题：
快行距+慢行距=原距
（2）追击问题：
快行距-慢行距=原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速
逆水（风）速度=静水（风）速度-水（风）速
8.工程问题
工作量=工作效率x工作时间
完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1
9.
储蓄问题
利息=本金x利率x期数
10.列方程解实际问题：
（1）用列方程的方法解决实际问题的一般思路是分析数量关系，列出方程。
（2）列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量。
例1.（日历中的数学）右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（
□
亠—二
四
五
六
1
r
斗
e
7
9
10
11
12
S3
14
口
16
17
19
20
21
23
2d
25
26
2~
28
29
30
51
A、69B、54C、27D、40
【难度分类】：
B类
【解析】：
一竖列上相邻的三个数的关系是：
上面的数总是比下面的数小7•可设中间的数
是X,则上面的数是x-7，下面的数是x+7.则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数.
【答案】：
解：
设中间的数是X,则上面的数是x-7，下面的数是x+7.
则这三个数的和是（x-7）+x+（x+7）=3x，
因而这三个数的和一定是3的倍数．
则，这三个数的和不可能是40．故选D．
点评：
本题解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点【搭配课堂训练题】：
（A）1.某年的某个月份中有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期作为一个数，例如
把22日看作22），那么这个月的3号是星期（）
A.日B.一C.二D.四
例题2:
【形积变化问题】在底面直径为12cm,高为20cm的圆柱形容器中注满水，倒入底
面是边长为10cm的正方形的长方体容器，正好注满。
这个长方体容器的高是多少？
【难度分类】：
B类【解析】：
在本题中,两个容器里的厚度都可以不考虑,倒水前后水的体积没有发生改变,
可以依据倒水前水的体积=倒水后水的体积，n取近似值3.14,
【答案】：
解：
设长方体容器的高为xcm，根据题意，得，
3.14X720=100x。
解得x=22.608。
答：
这个长方体容器的高是22.608.
【搭配课堂训练题】．
（A）1.在圆柱形容器甲中注满水,倒入圆柱形容器乙中,正好注满。
已知圆柱形容器乙的高是圆柱形容器甲的高的一半,那么圆柱形容器乙的底面积与圆柱形容器甲的底面积之比是几比几？
（B）2.已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁,其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：
3,
甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：
5,若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个,则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（）A、64B、100C、144D、225
（C）3.把一个长为m,宽为n的长方形（m>n）沿虚线剪开，拼接成图
（2）,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）
10,如果将个位数字与十位数
例题3：
【数字问题】一个两位数个位数字与十位数字的和为
字交换位置，得到的新的两位数字比原来的两位数大18,求原来的两位数?
【难度分类】：
B类
选题意图（对应知识点）：
本题主要考查学生列方程解决数字问题的能力
【解析】：
新数-原数=18；十位数字+个位数字=10;设原数的个位数字式X，写出原数与新
数关于未知数的表达式，列方程：
10X+（10-X）-〔10（10-X）+X〕=18。
解得X=6
【答案】：
设原数的个位数字式X，10X+（10-X）-〔10（10-X）+X〕=1&解得X=6
10-X=10-6=4.所以原数是46.
【搭配课堂训练题】
（A）1.一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12,那么这个两位数
是多少？
（C）2.一个两位数，个位数字比十位数字大7将其个位与十位数字进行调换，所得的新
数比原数的3倍大5,求这个两位数。
例题4：
【经济问题】某商店经销一种商品，由于进价降低5%售价不变，使得利润率由原
来的m%是高到（m+6）%,求m的值。
【难度分类】：
A类
【解析】：
本题中的等量关系是售价不变，只要将两种不同利率下的售价表示出来，成本价
看做为"1"
【答案】：
解：
（1+m%）=（1-5%）[1+（m+6）%]解得m=14
答：
m的值为14.
例题5.中百超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折.某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（）
A、288元B、332元C、288元或316元D、332元或363元
【难度分类】：
C类【解析】：
按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一次所购物品的价值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所购买的商品价值可能超过300元，也可能超过100元而不超过300元，因而应分两种情况讨论．计算出两次购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数．
【答案】：
（1）若第二次购物超过100元，但不超过300元，
设此时所购物品价值为x元，贝y90%（=252，解得x=280
两次所购物价值为80+280=360〉300
所以享受8折优惠，
因此王波应付360X80%=288（元）.
（2）若第二次购物超过300元，设此时购物价值为y元，贝U80%/=252，解得y=315两次所购物价值为80+315=395，因此王波应付395X80%=316（元）故选C．【点评】：
能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键．
【搭配课堂训练题】．
（B）1.阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，贝
这种电子产品的标价为（）
A.26元B.27元C.28元D.29元
（B）2.某种商品进货后，零售价定为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），问这种商品的进价为多少元？
（B）3.某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多
少时商店老板才能出售（）
A.80元B.100元C.120元D.160元
（C）4.某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但
要保证利润率不低于20%，贝至少可以打（）折．
A.6折B.7折C.8折D.9折
（C）5.某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：
（1）一次购买金额不超过1万元的不予优惠；
（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元的九折优惠；
（3）—次购买金额超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠•某厂
因库存原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元.
如果他是一次性购买同样的原料，可少付款（）
A.1170元B.1540元C.1460元D.2000元
例题6.【行程问题】A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，
相向而行•已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50
千米，则t的值是（）
A.2或2.5B.2或10C.10或12.5D.2或12.5
【难度分类】：
B类
【解析】：
本题应分两种情况进行讨论：
一、两车在相遇以前相距50千米，在这个过程中存在的相等关系是：
甲的路程+乙的路程=
（450-50）千米;
二、两车相遇以后又相距50千米•在这个过程中存在的相等关系是：
甲的路程+乙的路程
=450+50=500千米.
已知车的速度，以及时间就可以列代数式表示出路程，得到方程，从而求出时间t的值.
【答案】：
（1）当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t=450-50,
解得：
t=2;
（2）当两车相遇后，两车又相距50千米时，
根据题意，得120t+80t=450+50,解得t=2.5.故选A.
【点评】：
本题解决的关键是：
能够理解有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系.
例题7：
一队学生去校外进行训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学
校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员需多少时间可以追上学生队伍？
【难度分类】：
B类
【选题意图】：
本题主要考查学生列方程解决行程问题的能力。
【解析】：
此题要忽略队伍的长度来思考，通讯员走过的路程与队伍走过的路程相等，依此
等量关系列方程即可;
1
答：
通讯员需一小时可以追上学生队伍。
6
【搭配课堂训练题】
（A）1.A、B两地相距360千米，上午9时甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行，上午11时两车相距120千米，中午12时两车又相距120千米，甲车比乙车多行80千米。
求甲乙两车的速度分别是多少？
（C）2.一列匀速前进的火车，从它进入600米的隧道到离开，共需30秒，又知在隧道顶部的一固定的灯发出的一束光线垂直照射火车5秒，则这列火车的长度是（）
A、100米B、120米C、150米D、200米
（C）3.甲乙二人分别后，沿着铁轨反向而行。
此时，一辆火车匀速地向甲迎
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