电动力学知识总结.docx

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电动力学知识总结

适用标准文案

第一章电磁现象的广泛规律

§电荷与电场

1、库仑定律

（1）库仑定律

如图1-1-1所示，真空中静止电荷Q'

对另一个静止电荷Q的作使劲F为

F

1

Q'Q

3rr'

（）

4

0r

r'

式中0是真空介电常数。

（2）电场强度E

静止的点电荷Q'在真空中所产生的电场强度E为

1

Q'

3r

'

E

r'

r

40r

（3）电场的叠加原理

N个分立的点电荷在r处产生的场强为

N

'

E

Qi

ri'

3rri

'

i14

0r

体积V内的体电荷散布

r'

所产生的场强为

E

1

r'dV'

rr'

4

0

V

'3

r

r

式中r'为源点的坐标，r为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度

（1.1.2）

（1.1.3）

（1.1.4）

高斯定理：

电场强度E穿出关闭曲面S的总电通量等于S内的电荷的代数和

（Qi）除以0。

用公式表示为

i

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1

Qi

（分别电荷情况）

（1.1.5）

EdS

S

i

0

或

1

dV

（电荷连续散布情况）

（1.1.6）

EdS

S

V

0

此中V为S所包住的体积，dS为S上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式

EdS

EdV

（1.1.7）

S

V

由（1.1.6）式可得静电场的散度为

1

E

0

3.静电场的旋度

由库仑定律可推得静电场E的环量为

Edl

0

（1.1.8）

L

应用积分变换的斯托克斯公式

Edl

EdS

L

S

从（1.1.8）式得出静电场的旋度为

E

0

（1.1.9）

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§电流和磁场

1、电荷守恒定律

不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。

对于体积为

V，

界限面为S的有限地区内，有

J

d

dV

（1.2.1）

dS

S

dt

V

或

J

0

（1.2.2）

t

这就是电荷守恒定律的数学表达式。

2、毕奥－萨伐尔定律

r'处的电流元Idl在r处产生的磁感强度为

dB

0Idl

r

r'

4

r

r

'

3

拜见图1-1-2。

由此得沿闭合

曲线L流动的电流I

所产生的磁感

强度为

Br

0Idl

r

r

'

4

L

'

3

（1.2.4）

r

r

假如电流是体散布，则电流元

为Jr'dV'，这时

dBr

0Jr'

rr'

dV'

4

r

r'3

Br

0

Jr'

rr'

dV'

4

V

'

3

r

r

（1.2.3）

（1.2.5）

（1.2.6）

3、磁场的环量和旋度

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（1）安培环路定理

磁感强度B沿闭合曲线L的环量等于经过L所围的曲面S的电流代数和的

0

倍；即

Bdl

0

JdS

（1.2.7）

L

S

（2）磁场的旋度

由安培环路定理和斯托克斯公式

BdlBdS

LS

可得磁场的旋度为

B0J

（1.2.8）

这是安培环路定理的微分形式。

4、磁场的散度

磁场的散度为

B0

（1.2.9）

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适用标准文案

§麦克斯韦方程组

1、麦克斯韦对电磁感觉定律的推行

依据法拉第电磁感觉定律，变化的磁场在一固定导体回路

L中产生的感觉电

动势为

d

d

（1.3.1）

dt

BdS

dtS

依定义，感觉电动势

是电场强度E感沿导体回路L的线积分，所以（1.3.1）

式可写做

Eidl

d

（1.3.2）

BdS

L

dtS

此中Ei是变化的磁场在导体中产生的感觉电场的电场强度。

麦克斯韦的推行：

当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍旧产生感觉电

场E感，而且知足（1.3.2）式。

应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式

Ei

B

（

）

t

在一般状况下，既有静电场

ES，又有感觉电场Ei，则总电场便为

EESEi

（1.3.4）

又因为

ES0，故得

B

（

）

E

t

这就是麦克斯韦推行了的法拉第电磁感觉定律。

2、麦克斯韦对安培环路定理的推行

稳恒电流的安培环路定理为B0J，由此得出

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J

1

0

（1.3.6）

B

0

这与电荷守恒定律

J

0

（1.3.7）

t

相矛盾。

麦克斯韦的推行：

在一般状况下，安培环路定理的广泛形式为

B0JJD

（1.3.8）

此中

JD

D

（

）

t

叫做位移电流密度。

即

B0J

D

）

（

t

或

Bdl

0

J

D

dS

（1.3.11）

t

L

S

3、麦克斯韦方程组

我们把电磁学中最基本的实验定律归纳、总结和提升到一组在一般状况下相

互协调的方程组，这即是麦克斯韦推行了的安培环路定理。

它与电荷守恒定律不

矛盾。

B

E

t

B0J

E

00

（1.3.12）

t

E

0

B0

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这组方程称为麦克斯韦方程组。

4、洛伦兹力公式

带电荷q的粒子以速度v在电磁场中运动时，它所受的力为

FqEvB

作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为

fEvBEJB

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§介质的电磁性质

1、介质的极化

（1）极化强度P

在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋势有规则

的摆列，这叫做介质的极化。

极化强度P是描绘介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即

pi

P

i

（1.4.1）

V

式中

V为包括有大批分子的物理小体积，

pi为第i个分子的电偶极矩。

假如每个分子的均匀电偶极矩为

p，则

Pnp

（1.4.2）

式中n为分子数密度。

（2）极化电荷与极化强度的关系

极化电荷体密度

P与极化强度P的关系为

P

dS

PdV

（1.4.3）

S

V

或

PP（）

极化电荷面密度P与P的关系为

PnP1P2

（1.4.5）

式中n为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。

假如介质2为真空，

则

PnP

（1.4.6）

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均匀介质内的极化电荷

P

P

D0E1

0

（1.4.7）

f

即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度f的

10倍。

所以，若该点处无自由电荷散布，则P0。

（3）有介质时的电场

在一般状况下，介质中的电场E是自由电荷的电场Ef，极化电荷的电场EP

以及变化磁场产生的感觉电场Ei的和，即

EEfEPEi

（1.4.8）

在介质中，电场的旋度和散度分别为

EEi

B

（

）

t

和

E

1

1

1

1

（

）

f

P

f

P

0

0

0

0

（4）电位移D及其与电场强度E的关系电位移矢量D的定义为

D0EP

（1.4.11）

在各向同性的线性介质中，P与E成线性关系

Pe0E

（1.4.12）

e叫做介质的电极化率。

代入（1.4.11）式得

D01eE

（1.4.13）

定义相对介电常数r和介电常数分别为

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r1e，

r0

这时

（1.4.14）

DE

（1.4.15）

2、介质的磁化

（1）磁化强度M

在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋势有规则摆列，这叫

做介质的磁化。

磁化强度M是描绘介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的

磁矩，即

mi

M

i

（1.4.16）

V

式中

V为含有大批分子的物理小体积，

mi为第i个分子的磁矩。

假如每个分子的均匀磁矩为

m，则

Mnm

（1.4.17）

式中n为分子数密度。

（2）磁化电流与磁化强度的关系

磁化电流体密度JM与磁化强度M的关系为

Mdl

JMdS

（1.4.18）

L

S

上式可写作

MdlIM

（1.4.19）

L

式中IM是积分环路L所套住的磁化电流的代数

和，如图1-1-3。

把斯托克斯公式用于（1.4.18）式，便得

JMM

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（1.4.20）

磁化电流面密度M与磁化强度M的关系：

面电流是指在曲面上流动的电

流，面电流密度的大小等于经过与垂直的单位长度横截线的电流。

设介质1

的磁化强度为M1，介质2的磁化强度为M2，在两介质的交界面上，磁化面电流

密度为M，交界面的单位法向矢量为

n，从介质1指向介质2，则

M

n

M2

M1

（1.4.21）

若介质2为真空，则

M

n

M2

M1

（1.4.21）

（3）有介质时的磁场

自由电流Jf、磁化电流JM和位移电流JD都产生磁场，这些磁场的叠加就

是介质中的磁场B。

所以，在一般状况下，磁场的旋度和散度分别为

B0JfJMJD0Jf

M

D

（

）

t

和

B0（）

（4）磁场强度H及其与磁感强度B的关系

磁场H定义为

H

B

（1.4.25）

M

0

对于各向同性的非铁磁物质，磁化强度

M和H之间有简单的线性关系

M

MH

（1.4.26）

M叫做介质的磁化率。

把（1.4.26）式代入（1.4.25）式可得

B0HMH

（1.4.27）

定义相对磁导率r和磁导率分别为

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r1M，

r0

这时

（1.4.28）

BH（）

对于所有物质来说，相对介电常数r都大于1，但相对磁导率r则能够大于

1（顺磁质），也能够小于1（抗磁质）。

3、介质中的麦克斯韦方程组

电磁场恪守的广泛规律为

B

E

t

H

J

D

）

（

t

D

B

0

物质方程：

在各向同性的线性介质中

DE，BH

（1.4.29）

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§电磁场边值关系

由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面双侧场量的关系为

n

E2

E1

0

（1.5.1）

n

H2

H1

（1.5.2）

n

D2

D1

（1.5.3）

n

B2

B1

0

（1.5.4）

式中n是交接面法线上的单位矢量，从介质

1指向介质2；

和

分别是交界面

上的自由电荷和自由面电流密度。

在用交界面双侧的切向重量（下标t），和法向重量（下标n）表示时，边值

关系可写做

Et1

Et2

（1.5.5）

Ht2

Ht1

（1.5.6）

Dn2

Dn1

（1.5.7）

Bn1

Bn2

（1.5.8）

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§电磁场的能量和能流

1．电磁系统的能量守恒定律

考虑图1-1-4所示的空间地区V，其界限面

为Σ。

设V内有电荷散布和电流散布J。

（1）电磁场作用在单位体积电荷上的力为

f（EvB），这力的功率为

fv（EvB）vEvJE

式中JE代表介质单位体积耗费的焦耳热。

（2）电磁场对体积V内的电荷系统做功的功率为

fvdVJEdV

VV

（3）体积V内电磁场能量的增添率为

d

dV

d1（EDBH）dV

dtV

dtV2

（4）单位时间内从界限面Σ流出体积V的电磁能量为

SdSdV

V

因为能量守恒，对于体积V内的电磁场能量有

JEdV

SdV

d

dV

V

V

dtV

或

JES

t

这即是电磁场的能量守恒定律。

2．电磁场的能量密度

单位体积内的电磁场能量为

（1.6.1）

（1.6.2）

（1.6.3）

（1.6.4）

（1.6.5）

（1.6.6）

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1

（1.6.7）

（EDHB）

2

3．电磁场的能量密度S

单位时间流过垂直于能流方向的单位面积的电磁场能量为

SEH

（1.6.7）

S往常叫做坡印廷矢量。

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第二章静电场

§静电场的标势及其微分方程

1、静电场的标势

（1）静电场的基本方程

D

（

）

或

DdS

Q

（

）

S

E0

（2.1.3）

或

Edl

0

（2.1.4）

L

此中电荷Q是关闭曲面S包住的自由电荷的代数和，

是自由电荷密度。

（2）静电场的电势

在静电场中，依据（

2.1.3）式知道有势函数

存在，使得

E

（2.1.5）

假如在无量远处的电场强度为零，一般便选r0

为电势参照点，这时由上

式得空间一点Pr的电势为

rEdr

（2.1.6）

r

①点电荷的电势

由库仑定律可得r'处（源点）的点电荷Q在r处（场点）产生的电势为

1

Q

（

）

r

rr'

4

②电势叠加原理

分立的点电荷系所产生的电势为

1

Qi

（

）

r

irri'

4

连续散布的电荷所产生的电势为

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1

r'

dV

（

）

r

Vr

r'

4

2、静电势所知足的微分方程和边值关系

（1）电势的微分方程电势知足方程

（2.1.10）

在均匀介质内，（2.1.10）式可化为

2

（2.1.11）

这个方程叫泊松方程。

式中

是自由电荷密度。

假如

0则（）式便化

为拉普拉斯方程

2

0

（2.1.12）

（2）电势的边值关系

在介电常数不一样的两种介质交界面上，电势知足以下边值关系

12

（2.1.13）

1

2

（2.1.14）

1

2

n

n

此中n是由介质1指向介质2的单位法向矢量，

是交界面上的自由电荷面密度。

假如介质1是导体，则以上两式分别化为

1=常量

（2.1.15）

和

2

2

（

）

n

3、静电场能量

电荷散布在地区V内，密度为r，所拥有的静电能量为

1

WrrdV（）

2V

这能量散布在电场中，所以

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W

1

EDdV

1

E2dV

（2.1.17）

2

2

式中E是上述电荷所产生的电场，积分遍布

E不为零的所有空间。

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§独一性定理

静电学的基本问题是求出在所有界限上知足边值关系或给定界限条件的泊

松方程的解。

独一性问题是议论在什么条件下，解是独一的。

这点很重要，因为

求解的方法不一样，求出的解可能有不一样的表达形式，有时要证明它们是同一解颇

非易事；但假如这些解都知足相同的界限条件，则它们必然相同。

其次，对于有

些问题，能够依据经验提出试试解。

假如所提出的试试解知足独一性定理所要求

的条件，它就是该问题的独一正确解。

1.问题说明

假定空间V能够分为若干个小地区Vi，每一小地区Vi

内都是充满均匀的，介

电常数为i的各向同性介质。

设V内的自由电荷散布r

已知，则在Vi内，电势

知足泊松方程

2

1

（2.2.1）

i

i

在两地区Vi和Vj的交界面上，电势知足边值关系

ij

（2.2.1）

i

i

j

j

（

）

n

n

2.独一性定理

设地区V内自由电荷的散布r已知，在V的界限S上给定

（i）电势S，

或

（ii）电势的法导游数

（即En），

n

S

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则V内的电场便独一确立。

3.有导体存在时的独一性定理

设地区V内有一些导体，给定导体以外的电荷散布r，并给定

（i）每个导体上的电势i，

或

（ii）每个导体上的总电荷Qi，

以及V的界限S上的S或值，则V内的电场便独一地确立。

nS

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§拉普拉斯方程分别变量法

1、笛卡儿坐标系

拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为

2

2

2

x2

y2

z2

0

（2.3.1）

设电势

x,y,z可分别变数，即

x,y,z

XxYyZz，则拉氏方程可分

为以下三个方程

1d2X

k2

（2.3.2）

Xdx2

1d2Y

l2

（2.3.3）

Ydy2

1d