1920 第2章 23 233 直线与平面垂直的性质234 平面与平面垂直的性质.docx
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1920第2章23233直线与平面垂直的性质234平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．（重点）
2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．（重点、难点）
3.理解平行与垂直之间的相互转化．（易错点）
1.通过学习直线与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习平面与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行②作平行线
思考：
过一点有几条直线与已知平面垂直？
[提示] 有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
⇒a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线
思考：
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
[提示] 正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
1．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l、m的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
D [由题意可知l⊥α，所以l⊥m.]
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A．α∥γB．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能
D [可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ垂直．]
3．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是（ ）
A．b∥αB．b⊂α
C．b⊥αD．b与α相交
C [由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.]
4．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________．
相交、平行或异面 [根据题意，l，m可能相交、平行或异面．]
线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：
MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法：
（1）利用线线平行定义：
证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：
证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：
把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证面面平行.
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：
a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：
BC⊥AB.
[证明] 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
1．证明或判定线面垂直的常用方法：
（1）线面垂直的判定定理；
（2）面面垂直的性质定理；
（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a、b为直线，α为平面）；
（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线．
2．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：
平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.
∴BC⊥面VAB，
又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，
∵VA⊂面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
[探究问题]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例3】 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA.
思路探究：
（1）设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．
（2）（3）只需证明DM⊥平面ECA即可．
[证明]
（1）设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝
＝
a.
又因为DB⊥平面ABC，
所以DA＝
＝
a，
所以DE＝DA.
（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MN
CE
DB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
（3）由
（2）知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．
[解] 如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN中，由
＝
知B为CN中点，
∴CB＝BN＝2a.
∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，
∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，
∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，
且AN为平面ADE与平面ABC的交线．
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.
垂直关系的互化及解题策略：
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是（ ）
A．a⊥α B．a∥α
C．a⊂αD．a⊂α或a∥α
D [a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α.
选D.]
2．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
D [∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]
3．如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（ ）
A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B [∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.]
4．如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：
平面SCD⊥平面SBC.
[证明] 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC⊂平面SBC.
所以平面SCD⊥平面SBC.
课时分层作业（十五） 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质
（建议用时：
45分钟）
[基础达标练]
一、选择题
1．在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面D．相交或平行
B [由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]
2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①
⇒n∥α；②
⇒m∥n；
③
⇒α∥β；④
⇒m∥n.
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．③④C．①②D．①②③④
A [①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.]
3．如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH
B [因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥mB．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
D [如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.]
5．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
B [A中α，γ可以相交；C中如图：
a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.]
二、填空题
6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
6 [因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]
7．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．
a∥b [因为直线a⊥m，a⊥n，直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可证直线b⊥α.所以a∥b.]
8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
45° [如图，过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]
三、解答题
9．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：
AE⊥PB.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.
又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.
因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE，
因为PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.
10．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的长．
[解] 连接BC.∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，
∴BD⊥平面α.
∵BC⊂α，∴BD⊥BC，
在Rt△BAC中，
BC＝
＝
＝5，
在Rt△DBC中，CD＝
＝
＝13，
∴CD长为13cm.
[能力提升练]
1．如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是（ ）
A．一条线段B．一条直线
C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
D [∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.]
2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
[取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝
.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，
所以MN＝
＝
.]
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