高三数学不等式推理与证明训练试题带答案.docx
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高三数学不等式推理与证明训练试题带答案
高三数学不等式、推理与证明训练试题（带答案）
2013届高三数学章末综合测试题（12）不等式、推理与证明
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．下列符合三段论推理形式的为（）
A．如果p⇒q，p真，则q真
B．如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c
C．如果a∥b，b∥c，则a∥c
D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc
解析：
由三段论的推理规则可以得到B为三段论.
答案：
B
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．①B．②C．①②③D．③
解析：
由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.
答案：
C
3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是（）
A．假设2是有理数B．假设3是有理数
C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数
解析：
假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.
答案：
D
4．已知ai，bi∈R（i＝1,2,3，…，n），a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为（）
A．1B．2C．n2D．2n
解析：
此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.
答案：
A
5．在下列函数中，最小值是2的是（）
A．y＝x2＋2x
B．y＝x＋2x＋1（x＞0）
C．y＝sinx＋1sinx，x∈（0，π2）
D．y＝7x＋7－x
解析：
A中x的取值未限制，故无最小值．
D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.
B、C选项均找不到等号成立的条件.
答案：
D
6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜13}，则ab的值为（）
A．－6B．6C．－5D．5
解析：
∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x|－1＜x＜13}，
∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
∴－1＋13＝－ba－1×13＝1a⇒b＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×（－2）＝6.
答案：
B
7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是（）
A．2B．22C．4D．5
解析：
因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.
答案：
C
8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤k（x－1）－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是（）
A．（－∞，－1）B．（－1,2）
C．（－∞，－1）∪（2，＋∞）D．（2，＋∞）
解析：
先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：
若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．
若k＞0，将阴影部分的点如（0,0）代入y≤k（x－1）－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝k（x－1）－1是过定点（1，－1）的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，
故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.
答案：
A
9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是（）
（1）1a＜1b；
（2）a3＞b3；
（3）a2＋1＞b2＋1;（4）2a＞2b.
A．
（2）（3）B．
（1）（3）C．（3）（4）D．
（2）（4）
解析：
∵a、b符号不定，故
（1）不正确，（3）不正确．
∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故
（2）正确．
∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故（4）正确.
答案：
D
10．设函数f（x）＝－3（x＞0），x2＋bx＋c（x≤0），若f（－4）＝f（0），f（－2）＝0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（）
A．（－∞，－3]∪－1，＋∞）B．－3，－1]
C．－3，－1]∪（0，＋∞）D．－3，＋∞）
解析：
当x≤0时，f（x）＝x2＋bx＋c且f（－4）＝f（0），故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.
又f（－2）＝4－8＋c＝0，∴c＝4，
令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；
当x＞0时，f（x）＝－2≤1显然成立．
故不等式的解集为－3，－1]∪（0，＋∞）.
答案：
C
11．若直线2ax＋by－2＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是（）
A．2－2B.2－1C．3＋22D．3－22
解析：
由x2＋y2－2x－4y－6＝0得
（x－1）2＋（y－2）2＝11，
若2ax＋by－2＝0平分圆，
∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，
∴2a＋1b＝2（a＋b）a＋a＋bb＝3＋2ba＋ab
≥3＋22•ba•ab＝3＋22，
当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.
答案：
C
12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）
A．5km处B．4km处
C．3km处D．2km处
解析：
由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＝20x，y2＝0.8x（x为仓库到车站的距离），
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥20.8x•20x＝8，
当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.
答案：
A
第Ⅱ卷（非选择共90分）
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是.
解析：
由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.
答案：
921
14．由图①有面积关系：
S△PA′B′S△PAB＝PA′•PB′PA•PB，则由图②有体积关系：
VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.
解析：
设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，
15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．
解析：
∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，
a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an
＝（a1＋a2＋…＋an）－1a1＋1a2＋…＋1an
＝a1（1－qn）1－q－1a11－1qn1－1q＝a1（1－q4）1－q－q（1－qn）a1（1－q）qn≥0，
∴a1（1－qn）1－q≥q（1－qn）a1（1－q）qn.
因为0＜q＜1，所以，化简得：
a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，
∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.
答案：
5
16．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．
解析：
作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，
即yx∈13，2，故令t＝yx，
则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.
答案：
－83，32
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．
17．（10分）在三角形中有下面的性质：
（1）三角形的两边之和大于第三边；
（2）三角形的中位线等于第三边的一半；
（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；
（4）三角形的面积为S＝12（a＋b＋c）r（r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长）．
请类比出四面体的有关相似性质．
解析：
（1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
（2）四面体的中位面（过三条棱的中点的面）的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]
（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；
（4）四面体的体积为V＝13（S1＋S2＋S3＋S4）r（r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积）．
18．（12分）已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.
解析：
b2a＋a2b－（a＋b）＝b2a－a＋a2b－b
＝（b＋a）（b－a）a＋（a＋b）（a－b）b
＝（a－b）（a＋b）1b－1a＝1ab（a－b）2（a＋b），
∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.
19．（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4－k2t＋1（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
解析：
（1）由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.
∴y＝1.5×6＋12xx×x－（6＋12x）－t
＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t
＝27－182t＋1－t（t≥0）．
（2）由
（1）知：
y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.
由基本不等式
9t＋12＋t＋12≥29t＋12•t＋12＝6，
当且仅当9t＋12＝t＋12，
即t＝2.5时，等号成立，
故y＝27－182t＋1－t
＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.
当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．
20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….
（1）求a1，a2；
（2）猜想数列{Sn}的通项公式．
解析：
（1）当n＝1时，
x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是（a1－1）2－a1（a1－1）－a1＝0，解得a1＝12.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，
于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，
解得a2＝16.
（2）由题设（Sn－1）2－an（Sn－1）－an＝0，
Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①
由
（1）得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.
由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….
21．（12分）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的一个零点是－1，且满足f（x）－x]•f（x）－x2＋12≤0恒成立．
（1）求f
（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
解析：
（1）由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，
若f（x）－x]•f（x）－x2＋12≤0恒成立，
即x≤f（x）≤x2＋12恒成立，
令x＝1得1≤f
（1）≤12＋12＝1，故f
（1）＝1.
（2）由函数零点为－1得f（－1）＝0，即a－b＋c＝0，
又由
（1）知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.
又f（x）－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，
因为f（x）－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，
因此ac≥116①
于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，
得ac≤c＋a22＝116②
故ac＝116，且a＝c＝14，
故f（x）的解析式是f（x）＝14x2＋12x2＋12x＋14.
22．（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图
（1）、
（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．
解析：
（1）∵f
（1）=1，f
（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（5）=25+4×4=41.
（2）∵f
（2）-f
（1）=4=4×1，
f（3）-f
（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n.
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f
（2）-f
（1）=4×1，
∴f（n）-f
（1）=4（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n2-2n+1.
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