高三数学不等式推理与证明训练试题带答案.docx

1、高三数学不等式推理与证明训练试题带答案高三数学不等式、推理与证明训练试题（带答案）2013届高三数学章末综合测试题（12）不等式、推理与证明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1下列符合三段论推理形式的为()A如果pq，p真，则q真B如果bc，ab，则acC如果ab，bc，则acD如果ab，c0，则acbc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是面积相等的三

2、角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等ABCD解析：由类比原理和思想，都是合理、恰当的.答案：C3用反证法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是()A假设2是有理数B假设3是有理数C假设2或3是有理数D假设23是有理数解析：假设结论的反面成立，23不是无理数，则23是有理数.答案：D4已知ai，biR(i1,2,3，n)，a12a22an21，b12b22bn21，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A1B2Cn2D2n解析：此结论为“a，b，c，dR，a2b21，c3d21，则acbda2c22b2d221”的推广，类比可得a1b1a2b2anbna12b122a22b222an2b

3、n221.答案：A5在下列函数中，最小值是2的是()Ayx22xByx2x1(x0)Cysinx1sinx，x(0，2)Dy7x7x解析：A中x的取值未限制，故无最小值D中，y7x7x7x17x2，等号成立的条件是x0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6一元二次不等式ax2bx10的解集为x|1x13，则ab的值为()A6B6C5D5解析：ax2bx10的解集是x|1x13，1，13是方程ax2bx10的两根，113ba1131ab2，a3，ab3(2)6.答案：B7已知a0，b0，则1a1b2ab的最小值是()A2B22C4D5解析：因为1a1b2ab21ab2ab21abab4，

4、当且仅当1a1b，且1abab，即ab1时，取“”.答案：C8在直角坐标系中，若不等式组y0，y2x，yk(x1)1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A(，1)B(1,2)C(，1)(2，)D(2，)解析：先作出y0，y2x，的平面区域如图：若k0时，显然不能与阴影部分构成三角形若k0，将阴影部分的点如(0,0)代入yk(x1)1，有0k1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k0；又yk(x1)1是过定点(1，1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有k10，故k1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9如果ab，给出下列不等式，其中成立的是()(1)1a1b；(2)a3b

5、3；(3)a21b21;(4)2a2b.A(2)(3)B(1)(3)C(3)(4)D(2)(4)解析：a、b符号不定，故(1)不正确，(3)不正确yx3是增函数，ab时，a3b3，故(2)正确y2x是增函数，ab时，2a2b，故(4)正确.答案：D10设函数f(x)3(x0)，x2bxc(x0)，若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A(，31，)B3，1C3，1(0，)D3，)解析：当x0时，f(x)x2bxc且f(4)f(0)，故对称轴为xb22，b4.又f(2)48c0，c4，令x24x41有3x1；当x0时，f(x)21显然成立故不等式的解集为3，1(0

6、，).答案：C11若直线2axby20(a0，b0)平分圆x2y22x4y60，则2a1b的最小值是()A22B.21C322D322解析：由x2y22x4y60得(x1)2(y2)211，若2axby20平分圆，2a2b20，ab1，2a1b2(ab)aabb32baab322baab322，当且仅当2baab，且ab1，即a22，b21时取等号.答案：C12某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()

7、A5km处B4km处C3km处D2km处解析：由题意可设y1k1x，y2k2x，k1xy1，k2y2x，把x10，y12与x10，y28分别代入上式得k120，k20.8，y120x，y20.8x(x为仓库到车站的距离)，费用之和yy1y20.8x20x20.8x20x8，当且仅当0.8x20x，即x5时等号成立，故选A.答案：A第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是.解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53

8、的“分裂”中最小的数是21.答案：92114由图有面积关系：SPABSPABPAPBPAPB，则由图有体积关系：VPABCVPABC_.解析：设三棱锥C-PAB的高为h，15已知等比数列an中，a2a31，则使不等式a11a1a21a2a31a3an1an0成立的最大自然数n是_解析：a2a31，0qa1a21，a11q21，a11a1a11a2a31a1an1an(a1a2an)1a11a21ana1(1qn)1q1a111qn11qa1(1q4)1qq(1qn)a1(1q)qn0，a1(1qn)1qq(1qn)a1(1q)qn.因为0q1，所以，化简得：a121qn1，即q4qn1，4n1

9、，n5，所以n的最大值为5.答案：516设实数x，y满足xy20，x2y50，y20，则uyxxy的取值范围是_解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，即yx13，2，故令tyx，则ut1t，根据函数ut1t在t13，2上单调递增，得u83，32.答案：83，32三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积为S12(abc)r(r为三角形内切圆半径，a、

10、b、c为三边长)请类比出四面体的有关相似性质解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；(4)四面体的体积为V13(S1S2S3S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积)18(12分)已知a0，b0，求证b2aa2bab.解析：b2aa2b(ab)b2aaa2bb(ba)(ba)a(ab)(ab)b(ab)(ab)1b1a1ab(ab)2(ab)，a0，b0，b2aa2bab.19(12分)

11、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4k2t1(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：(1)由题意有14k1，得k3，故x432t1.y1.5612xxx(612

12、x)t36xt3643t1t27182t1t(t0)(2)由(1)知：y27182t1t27.59t12t12.由基本不等式9t12t1229t12t126，当且仅当9t12t12，即t2.5时，等号成立，故y27182t1t27.59t12t1227.5621.5.当t2.5时，y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大20(12分)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式解析：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10

13、，解得a112.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a212，于是a2122a2a212a20，解得a216.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由(1)得S1a112，S2a1a2121623.由可得S334，由此猜想Snnn1，n1,2,3，.21(12分)设二次函数f(x)ax2bxc的一个零点是1，且满足f(x)xf(x)x2120恒成立(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；解析：(1)由均值不等式得x2122x2x，若f(x)xf(x)x2120恒成立，即xf(x)x212恒成立

14、，令x1得1f(1)12121，故f(1)1.(2)由函数零点为1得f(1)0，即abc0，又由(1)知abc1，所以解得acb12.又f(x)xax212xcxax212xc，因为f(x)x0恒成立，所以144ac0，因此ac116于是a0，c0.再由ac12，得acca22116故ac116，且ac14，故f(x)的解析式是f(x)14x212x212x14.22(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小

15、正方形(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式解析：(1)f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，f(5)=25+44=41.(2)f(2)-f(1)=4=41，f(3)-f(2)=8=42，f(4)-f(3)=12=43，f(5)-f(4)=16=44，由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.f(n)-f(n-1)=4(n-1)，f(n-1)-f(n-2)=4(n-2)，f(n-2)-f(n-3)=4(n-3)，f(2)-f(1)=41，f(n)-f(1)=4(n-1)+(n-2)+2+1=2(n-1)n，f(n)=2n2-2n+1.