二次函数计算题.docx

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二次函数计算题

二次函数计算题

1

xOy

（如图）中，已知：

点

A（3，0）、

、在平面直角坐标系

B（2，5）、C（0，3）.

y

（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式及画出图形；

（2）若点D是

（1）中求出的抛物线的顶点，求

tanCAD的值.

Ox

2、已知：

抛物线yax

2

bxc经过A（-1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出该抛物线的顶点坐标．

2

3、如图，直线y＝x3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线

y＝ax

＋

＋bx＋c与x轴的负半轴上另一交点为

B，且tan∠CBO=3．

y

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点

D的坐标；

（2）若点P是射线BD上一点，且以点

P、A、B为顶点的

C

三角形与△ABC相似，求P点坐标．

ABOx

D

4

y

x

mx

4

与y

轴交于点

C

，

、已知：

如图，抛物线

4

2

5

y

与x轴交于点A、B，（点A在点B的左侧）且满足

OC=4OA．

设抛物线的对称轴与

x轴交于点M：

（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，

C

当△QMB与△COM相似时，求直线AQ的解析式．

AB

Ox

5、如图，在直角坐标平面上，点A、B在x轴上（A点在B点左侧），点C在y轴正半轴上，若A（-1,0），OB=3OA，且tan∠CAO=2.

（1）求点B、C的坐标；

（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；

（3）P是

（2）中所求抛物线的顶点，设

Q是此抛物线上一点，若△

ABQ与△ABP的面

积相等，求Q点的坐标.

y

AOx

6、如图，已知抛物线y1x2bxc经过点B（-4，0）与点C（8，0），且交y轴于点

4

A.

（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m个单位，得到新抛物线．若新抛物

线的顶点为P，联结BP，直线BP将△ABC分割成面积相等的两个三角形，求m的值．

y

BOCx

A

7

xOy

（如图）中，已知

A（

-1

，

3

）B（

2

，n）

两点在二次函

、在平面直角坐标系

、

1x2

4的图像上.

y

数y

bx

B

3

（1）求b与n的值；

A

（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；

（3）若点P（不与点A重合）在题目中已经求出的二次函数

1

的图像上，且

POB

45，求点P的坐标.

1

O1

x

1

8、如图，抛物线yax2

2axb经过点C（0，

3

），

2

y

且与x轴交于点A、点B，若tan∠ACO=2．

3

（1）求此抛物线的解析式；

P

（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点

B

（不与点B重合），∠MPQ=45°，射线PQ与线段BM

AO

x

交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点

P的坐标．

Q

C

M

答案：

1．解：

（1）设经过点A、B、C的抛物线的表达式为

y

ax2

bxc，

将点A（3，0）、B（2，5）、C（0，

3）分别代入，得

9a

3b

c

0,

a

1,

4a

2b

c

5,解这个方程组，得

b

2,

⋯⋯⋯⋯1+3分

c

3.

c

3.

所以，经过点

A、B、C的抛物线的表达式为

y

x2

2x3.

⋯⋯1分

y

（2）由

y

x

2

2

3=

（x

1）

2

4

，

x

得顶点D的坐标是D（1,

4）.

⋯⋯⋯⋯1分

方法1：

AC2

32

32

18，

CD2

（1

0）2

（

4

3）2

2，

x

AD2

（3

1）2

（0

4）2

20.

⋯⋯⋯⋯1分

∵AC2

CD2

18

2

20,

AD2

20，∴AC2

CD2

AD2

.⋯⋯⋯⋯⋯

1分

图

5

∴

ACD

90

.

∴tan

CAD

CD

2

1

⋯⋯⋯⋯1+1分

AC

32

.

3

2.解：

（1）由抛物线y

ax2

bx

c经过C（0，3）可知c

3.

⋯⋯⋯⋯（2分）

由抛物线y

ax2

bx

3

经过A（-1，8）、B（3，0）得

a

（1）2

b（

1）

3

8,

2分）

a32

b3

3

0.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

a

1,

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

2分）

解得

4.

b

∴该抛物线的表达式为

y

x2

4x

3.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

（2）由y

x2

4x

3

配方得

y

（x

2）2

1.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

2分）

∴顶点坐标为（2，-1）.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（1分）

3、解：

（1）∵直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点

A、C

∴A（3,0）,B（0,3）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

在Rt△ADB中，CO

tan

CBO

3，得BO=1，B（

1，0）⋯⋯⋯（2分）

BO

设二次函数解析式为ya（x

3）（x1），将点B（0，3）代入，解得a=1

∴二次函数解析式为y

x2

4x

3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

2分）

∴顶点D坐标为（2,1）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1

分）

（2）

D（2,

1）,B（1,0），∴∠ABD=45°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

直线AC的解析式为y=x+3，∴∠CAO=45°

即∠ABD=∠CAO⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1

分）

若

APB

ACB，即四边形APBC为平行四边形时，解得

P（－4，－3）；

若

BAP

AC

AB

2

2

2

，解得

ACB，得

，得3

2，得BP

3

AB

BP

2

BP

5

2

P（,

）.

3

3

综上所述，点P的坐标为（－4，－

3）或（

5

2

（4

分）

）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3

3

4．

解：

（1）根据题意：

C（0，4）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

∵OC=4OA

∴A（

1，0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

把点A代入得0=

4

m4

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

5

解得m=16

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

5

4x2

16x

∴抛物线的解析式

y

4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）

5

5

4

x

2

16

4

4

2）

2

36

y

x

（x

5

5

5

5

∴M（2，0）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

（2）根据题意得：

BM=3，tan∠CMO=2，直线CM：

y=2x+4

（i）当∠COM=∠MBQ=90°时，△COM∽△QBM

∴tan∠BMQ=

BQ

2

∴BQ=6

BM

即Q（5，6

）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

2分）

∴AQ：

y

x1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

（ii）当∠COM=∠BQM=90°时，△COM∽△BQM

同理Q（13，-6

）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

2分）

5

5

∴AQ：

y

1x

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

1分）

3

3

5、解：

（1）据题意OA=1，Rt△ACO中，tan∠CAO=

OC

=2（1分）

OA

∴OC=2∴C（0,2）（1分）

OB=3OA=3∴B（3,0）（1分）

（2）设ya（x

1）（x3）a0

（1分）

C（0,2）代入得2=-3a∴a

-2

（1分）

3

∴y-2（x

1）（x3）-2x2

4x2（1分）

3

3

3

（3）设Q（x,y）

∵y-2x2

4x

2∴P（1，8）

（1分）

3

3

1AB

3

1

8

16

AB=OA+OB=4SABP

yp

4

2

2

3

3

∵△ABQ与△ABP的面积相等

∴SABQ

1

16

8

AB

y

∴y=（2分）

当y=8时

8

-2x2

4x

2

3

3

2

解得x1

x2

1

3

3

3

3

∴Q（1，8）

（1分）

3

当y=-8时-8

-2x2

4x2解得x1，2

122

3

3

3

3

∴Q（1

22，8）

（2分）

3

6．解：

（1）由题意，得：

4

4bc

0,

b

1

解这个方程组，得

168bc0c8

∴抛物线的表达式为

y

1x2

x

8

4

∵y

1x2

x8

1（x2）2

9

∴顶点坐标是（2，-9）

4

4

（2）易求A（0,-8），设线段AC的中点为D，可求得点D的坐标是（4，-4）由题意知BP经过D（4，-4）

设lBP:

y

b（k

0），可得

0

4k

b

k

1

kx

，解得

2

4

4k

b

b

2

∴lBP:

y

1x

2

2

1（x

又由题意知，新抛物线的解析式为y

2

m）2

5

∴顶点P坐标为（2+m，-5）

4

∵点P在直线BP上，

∴5

1（2

m）

2

∴m

4

2

7

1

A（

-1

，

3

）

在二次函数

y

x

bx

4

的图像上，

．解：

（）∵点

1

2

3

∴3

1

（1）2

b

4.解得b

2.

⋯⋯2分

3

3

∴经过

A（

-1

，）B（

，n）

y

1

x

x

4

.

3

、

2

两点的二次函数的解析式是

2

2

1

2

3

3

∴n

22

24，即n4.

⋯⋯2分

3

3

（2）如图9-1，过点A作AD

x轴，垂足为D，过点B作BE

AD，垂足为E.

由题意，易得

OD

1，AD

3，BE

3，ED

4，AE

43

1.

∴梯形ODEB的面积为：

y

S梯形ODEB

1（OD

BE）

DE

1

4

4

8.

2

2

S

S

ADO

AEB

1ADOD

3,

2

2

1

3

BEAE

.

2

2

x

∴SAOBS梯形ODEBSADOSAEB835.

评分标准：

四个面积表达式，每个

1分.

方法2：

与方法1类似

图9--1

S梯形ADMB

1

（3

4）

3

21

，

y

2

2

SADO

1ADOD

3，

2

2

SBOM

1BM

OM

4

，

2

∴

SAOB

梯形

ADMB

SADO

SBOM

5.

S

评分标准：

四个面积表达式，每个

1

分.

图9—2

方法3：

分别求AB、AO、AB的长度，勾股逆定理证

△AOB是直角三角形，使

用三角形面积公式直接求

△AOB的面积.

其中，求出AO

10、AB

10，OB

20，⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分.

勾股逆定理证△AOB是直角三角形

⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

SAOB

1OA

AB

1

10

10

5

⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

2

2

△AOD

△BAE

方法4：

与方法

1类似，证明

≌

.

方法5：

求直线AB与y轴的交点N的坐标，然后求△AON、△BON的面积.

方法6：

利用锐角三角比求

A到OB的距离，然后△AOB的面积.

其他方法，请阅卷老师补充.

（3）分别计算：

AO

10、AB

10

，OB

20

，

y

利用勾股逆定理证

△AOB是直角三角形.

由AO

AB得到

AOB

ABO

45.

∵

POB45，P不与点A重合，

∴

AOP

AOB

POB

90.

过

P作PH

x轴，垂足为H.

由

POH

AOD

90，

OAD

AOD

90

得

POH

OAD.

⋯⋯1分

∴PH

tan

POH

tan

OAD

OD

1

.

图9—3

OH