西南大学2019秋[0158]《高等代数》在线作业答案.docx

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西南大学网络与继续教育学院

课程代码：

0158

学年学季：

20192

判断题

1.

A.√

1、一个线性变换的两个不变子空间之和仍是它的不变子空间。

2. B.×

2、线性空间上的线性变换是单射当且仅当是它满射。

2.

B.×

1.A.√

1.

A.√

3、与对称矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵。

2. B.×

4、两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相等。

1.

A.√

2. B.×

1.

A.√

5、交换正交矩阵的任意两列所得到的矩阵仍是正交矩阵。

2. B.×

6、欧式空间中保持向量夹角不变的线性变换是正交变换。

2.

B.×

1.A.√

7、若n阶方阵A和B的特征多项式相同,则A与B相似.

1.A.√

2.

B.×

1.

A.√

8、对任意实数a，向量（a,0,1）与向量（-1,1,a）都是线性无关的.

2. B.×

1.

A.√

9、n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的基.

2. B.×

10、如果两个n阶矩阵相似，那么它们一定合同。

1.A.√

2.

B.×

主观题

11、 高等代数第一次作业.doc

叙述下列概念

参考答案：

高等代数第一次作业参考答案

1.数域P上多项式p（x）在P上不可约。

答：

p（x）为数域P上多项式，（p（x）） 1，如果p（x）不能表成数域P上两个次数比p（x）的次数低上不可约多项式。

2.数域P上n维向量组1,2, ,m线性相关。

km P

答：

若存在不全为零的数k1,k2,

，使得k11

k22 0，则称向量组1,2,

km

m

m

3.数域P上n维向量组1,2, ,m的秩。

答：

向量组1,

2, ,m的极大无关组所含向量的个数称为1,

2, ,m的秩。

4.矩阵A可逆。

答：

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称A是可逆的，也称A为可逆矩阵。

5.线性空间V的维数



AB BA E，

答：

设V为P上线性空间，若在V中有n个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量，

n。

6.线性空间V的线性变换。

答：

设V为P上线性空间，A为V的变换，满足

（1）对任何, V，有A（ ）=A（ ）+A（）；

（2）对任何k P,

V，有A（k

）=kA（）。

则称A为V的线性变换。

12、 高等代数第二次作业.doc

参考答案：

计算题1．设f（x）解：

由算式



4x3



3x2



2x1，g（x）

4x3



x2

8x2

5x2

5x2



2x

x212x10x10x

高等代数第二次作业参考答案

3为有理数域上的多项式，求g（x）除f（x）的商式q（

2x 3 4x3

3x2 2x

1

4x

5

1

15

16

得q（x）

4x 5，r（x）

16。

2.计算下面行列式的值：

1

（1）D= cb a

1 1

a b ；

c b a c

解：

将第2行加到第3行，则新行列式的1，3行成比例，所以D=0。

（2）Dn=

0 1 L 1

1 0 L 1。

LLLL

1 1 L 0

解：

将第2，3，…，n行都加到第1行，并从第1行提公因子（n

1

1）得

1 L 1

将第1行的（-1）倍分别加到第2，3，…，n行得

Dn=

1

（n1）

L

1

0 L 1，

LLL

1 L 0

所以Dn=（



1）n1（n



1）。



Dn=

1

（n1）0

L

0

1 L 1

1L 0，

L L L

0 L 1

3.设A=

1 1 0

0 1 1

1 0 2



，试判断A是否可逆，若可逆，则求出A–1。

解：

因为A 1 0，所以A可逆。

计算A中各元素的代数余子式可得A的伴随矩阵为

A



2 2 1

1 2 1 ，

1 1 1

A

所以A1 1A A

2 2 1

1 2 1 。

1 1 1

4.设1

的秩。

（1,0,2,3），2

（0,1,5,0），3

（3,2,0,4），4

（1,1,7,3）为F4中一个向量组，求该向量组

解：

以1,2,3,

4为列向量构成矩阵

1

0

3

1

0

1

2

1

2

5

0

7

3

0

4

3

A ，

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

对A做初等行变换可化为

，

于是1,2,3为一个极大线性无关组，并且向量组的秩为3。

5.设V

P3，

（1,0,0）,2

（1,1,0）,3

（1,1,1），

1

1 （0,0,1）,2

（0,1,1）,3

（1,1,1），

求由基

1,2,

3到基

1,2,

3的过渡矩阵。

解：

观察可得

1 01 2 3， 2 1

02 3。

3

01 0

2 3。

所以由基

1,2,

3到基

1,2,

3的过渡矩阵为



0 10

1 0 0。

1 1 1

6.．求下面的齐次线性方程组的一个基础解系

x1

x2

x5

0

x1

x2

x3

0。

x3

x4

x5

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

解：

A

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

，

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

x1

所以一般解为：

x3

x2 x5x5



，其中x2,x5是自由未知数。

基础解系为：

1

x4 0

（1,1,0,0,0）,2



（1,0,1,0,1）。

13、 高等代数第三次作业.doc

参考答案：

高等代数第三次作业参考答案

证明题

1.．设V



Pnn是数域P上全体n阶方阵关于矩阵加法及数与矩阵的数乘构成的线性

明：

W是V的子空间。

证明：

由于n阶零矩阵在W中，所以W是V的非空子集。

对 A,B W，有Tr（A B）

Tr（A）

Tr（B） 0，所以A B W。

对 k P,

AW，有Tr（kA）

kTr（A） 0，所以kAW。

所以W是V的子空间。

2.设向量组 1,

2,3线性相关，向量组2,3,

4线性无关，证明：

（1）） 1可由2,3线性表示；

（2）） 4不能由1,2,3线性表示。

证明：

（1）由 2,3,

线性表示。

4线性无关知，其部分组 2,

3线性无关；由于 1,

2,3线性相关，而2

（2）若 4能由1,

盾。

2,3线性表示，由于

（1） 1可由 2,

3线性表示，则 4能由 2,

3线性

3.设A为n阶矩阵，A的秩R（A） n。

证明存在n阶非零矩阵B使AB 0。

证明：

因为A的秩R（A） n，所以齐次线性方程组AX=0有非零解。

令 为一个非零解，做n阶矩阵B

（,0, ,0），则AB

0，且B为零矩阵。

4.设向量组 1,

2,3线性无关，证明：

向量组1 2,2

23,3

31线性无关。

证明：

设k1（

1 2）

k2（2

23）

k3（3

31） 0，则

（k1

3k3）1

（k1

k2）2

（2k2

k3）3 0

由于 1,2,3线性无关，所以

k1k12k2

3k3 0

k2 0

k3 0

所以k1

0,k2

0,k3

0，所以 1 2,2

23,3

31线性无关。