北师大八年级下册第六章证明一导学案.docx

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北师大八年级下册第六章证明一导学案

第六章6.1你能肯定吗？

（课本P214~217）

学习目标:

初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理。

主要问题：

要说明一个数学结论正确与否，有哪些常用的方法？

一、基础知识回顾：

下表是某地2004年2月与2005年2月10天同期的每日最高气温，根据表中数据回答问题：

每日最高气温统计表（单位：

℃）

2日

4日

8日

10日

12日

14日

18日

20日

2004年

12

13

14

22

6

8

9

12

2005年

13

13

12

9

11

16

12

10

（1）2004年2月气温的极差是，2005年2月气温的极差是．由此可见，年2月同期气温变化较大．

（2）2004年2月的平均气温是，2005年2月的平均气温是．

（3）2004年2月的气温方差是，2005年2月的气温方差是，由此可见，年2月气温较稳定．

二、新知识产生过程：

在现实生活中，我们常通过观察、度量、猜测来得到一些结论.这样得到的结论都是正确的吗？

如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？

1．下面我们来动手量一量，然后归纳、总结

课本P214图6-1，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.，度量四边形

EFGH的边和角，你会发现什么结论？

答：

如果改变四边形ABCD的形状，你还能得到类似的结论吗？

2．直接观察右图，直线AB与CD平行吗？

你有什么方法对你的结论进行验证？

有：

因此．仅仅依靠测量或观察是（填“能”或“不能”）判断数学结论的正确性。

3．请你选取一些整数n，计算代数式n2－n+11的值，能否得到结论：

对于所有自然数n，n2－n+11的值都是质数？

4．如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？

能放进一个红枣吗？

能放进一个拳头吗？

从以上过程知：

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.

想一想、议一议

5.在数学学习中，你用到过推理吗？

举例说明.

6．在日常生活中，你用到过推理吗？

举例说明.

三、例题学习：

如图，有两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线l爬行，乙虫沿路线2爬行，则下列结沦中，正确的是（）

路线1

A．甲先到召点B．乙先到B点

C．甲、乙同时到B点D．无法确定

四、巩固练习

1.下列结论中，你能肯定的是（）

A．今天天晴，明天必然还是晴天

B．三个连续整数的积一定能被6整除

C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖

D两张照片看起来完全一样，可以知道这两张照片必然是同一张底片冲洗出来的

2．小洁、琳琳、晓彤、奇奇和聪聪5位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊．根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科看病?

小洁、琳琳、晓彤说：

“我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的．”

奇奇说：

“我没有去耳鼻喉科和皮肤科．”

晓彤说：

“我最近夜里常牙疼．”

小洁说：

“我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科．”

第六章6.2定义与命题

（一）（课本P218~220）

学习目标:

了解什么叫命题，能把命题改写成“如果……那么……”的形式

主要问题：

如何正确区分命题、并找出命题的条件和结论

一、基础知识回顾：

1．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（）

A．只需观察得出B．只需依靠经验获得

C．通过亲自实验得出D．必须有根据地进行推理

2．下列说法中，正确的是（）

A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否

B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系

C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数

D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中苹果的数量不少于2个

二、新知识产生过程：

认真阅读课本P218~219，体会为什么要对某些名称和术语下定义。

1、体会其中的因果关系

如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.

如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染

如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；

如果D处受到污染，那么__________处便受到污染。

……

如果环保人员在H处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？

你是怎么想的？

与同伴交流.

2、如何理解什么叫命题呢？

1．判断一件事情的句子，叫做。

如：

无理数是实数；负数小于零；相似三角形的对应边成比例；猴子会爬树等这些语句都是命题．而就不是命题。

2．命题都可以用“如果……那么……”的形式来表示，如：

全等三角形的对应边相等。

用“如果……那么……”的形式可表示为：

。

3．一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．如：

“明天会下雨吗”；“∠l与∠2相等吗?

”；“画线段AB=a"；“不许大声说话”等这些句子就不是，一

般情况下，疑问句不是命题，图形的作法（填“是”或者“不是”）命题．

三、例题学习：

例1．下列句子都是命题吗?

哪些句子不是命题?

（填序号）

（1）熊猫没有翅膀；

（2）任何一个三角形一定有直角（3）对顶角相等（4）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（6）内错角相等；（7）1+2＝3（8）明天天晴吗?

（8）反向延长射线AB至点P；

是命题的有：

不是命题的有：

例2．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：

（1）两条边分别平行的两个角相等或互补；

（2）有理数一定是自然数；

（3）负数之和仍为负数；（4）等角的补角相等．

解：

小结规律：

命题一般可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．有些命题的条件、结论不太明显，可以先改写咸“如果……那么……”的形式，就比较容易找出条件和结论．

四、巩固练习

1．下列句子中，不属于命题的是（）

A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等

C．过直线外一点作已知直线的平行线D．两点之间，线段最短

2．把“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，有下列写法：

①如果同角，那么余角相等；②如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；③如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．其中，改写正确的有（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

3．下列句子：

①你喜欢数学吗；②作线段AB=CD；③连接A、B两点；④正数大于负数．其中属于命题的是（填写序号）．

4．把命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……那么……”的形式，

第六章6.2定义与命题

（二）（课本P222~228）

学习目标:

能区分命题的正确性

主要问题：

如何证实一个命题是真命题还是假命题

一、基础知识回顾：

将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;

（3）三边对应相等的两个三角形全等;

二、新知识产生过程：

1．我们知道：

叫做命题，一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

2．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它们的条件和结论．

（1））矩形的对角线相等．

（2）等边三角形是等腰三角形．

（3）邻补角的平分线互相垂直

如何判断一个命题的真假呢？

3．命题有正确与错误之分．正确的命题叫命题，不正确的命题叫命题．

请判断下列命题的真假：

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角（）

（2）如果a>b,b>c,那么a=c（）

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（）

（4）菱形的四条边都相等（）（5）全等三角形的面积相等（）

4．要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，却不具备命题的结论，即反例．例如：

命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是假命题。

举反例：

。

公认的真命题叫做公理．除了公理外，其他命题的正确性都要通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．如：

上述第2题的6个真命题都是公理，除此以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.

注意：

（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.

（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.

三、例题学习：

例1（2010·芜湖）下列命题中，属于真命题的是（）

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．两边相等的平行四边形是菱形

C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

例2（2010·岳阳）下面给出的四个命题中，属于假命题的是（）

A．如果a＝3，那么

B．如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形

C．如果（a-1）（a+2）＝0，那么a-l＝0或a+2＝0D．如果x2=4，那么x＝2

四、巩固练习：

1．下列四个命题中，属于真命题的是（）

A．互补的两角必有一条公共边B．同旁内角互补

C．同位角不相等，两直线不平行D．一个角的补角大于这个角

2．下列命题中，属于假命题的是（）

A．等腰三角形的两腰相等B．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形是中心对称图形

3．命题“等腰梯形同一底边上的两个底角相等”的条件是，结论是．

4．命题“对顶角相等”的条件是，结论是．

5．下列命题：

①矩形是平行四边形；②相似三角形一定是全等三角形；③等腰梯形的对角线相等；④两直线平行，同位角相等．其中是假命题的有（填序号），举反例：

6．下列命题：

①两个负数的差一定是负数；②两边分别平行的两个角一定相等；③全等的两个三角形一定关于某条直线对称；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．其中假命题有（填序号）．分别举反例：

第六章6.3为什么它们平行（课本P229-233）

学习目标：

1、会应用平行公理证明有关判定两直线平行的定理，渗透化归思想。

2、在书写证明步骤时感受几何推理的严谨性，并简单应用定理进行演绎推理训练。

主要问题：

1、如何应用平行公理或已证明的定理结论去证明新的命题；

2、如何有条理的写出证明过程？

一、基础知识回顾：

命题是判断一件事情的句子，就是肯定一件事物是什么或不是什么。

请写出：

（1）“对顶角相等”的条件是，

结论是；

（2）“等腰梯形同一底边上的两个底角相等”的条件是，结论是。

（3）平行公理“同位角相等，两直线平行”的条件是

，结论是。

二、新知识产生过程：

探索在判定直线平行的公理的前提下，证明以下平行线的判定定理

1、证明“同旁内角互补，两直线平行”（注：

这是文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．再写出证明过程）

如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，

且∠1与∠2互补，求证：

a∥b．

证明：

注意：

（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，

也可以是定义、公理、已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后

面的括号内．

2、“议一议”：

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？

为什么？

类比第一个定理的证明格式，证明“内错角相等，两直线平行．”

（先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．再写出规范的证明过程）

已知：

求证：

证明：

三、例题学习：

（写出不同方法，并填写理由）

四、巩固练习：

第六章6.4如果两条直线平行（课本P234-236）

学习目标：

1、进一步理解和总结证明的步骤、格式和方法；

2、与前一节联系，了解性质定理与判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程

主要问题：

1、如何应用平行公理或已证明的定理结论去证明新的命题；

2、如何有条理的写出证明过程？

一、基础知识回顾：

1、要判断两条直线平行，一般有三种常见的方法：

（1）；

（2）；（3）

2、平行公理：

两直线平行，同位角相等．是上述命题（）的逆命题，你能写出余下两个命题的逆命题吗？

。

二、新知识产生过程：

探索在平行公理的前提下，证明平行线的性质定理

1、证明“两直线平行，内错角相等”（注：

这是文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．再写出证明过程）。

如图：

已知：

求证：

证明：

2、证明“两直线平行，同旁内角互补”。

如图；

已知：

求证：

证明：

小结：

通过对平行线判定定理和性质定理的推理证明，总结出证明的一般步骤：

（1）根据题意，画出图形；

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

三、例题学习：

四、巩固练习：

1、如图一，已知直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°

（1）∠DAB等于多少度？

为什么？

（2）∠EAC等于多少度？

为什么？

（3）∠BAC、∠BAC＋∠B＋∠C各等于多少度？

图二

图一

2、如图二，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．

（1）∠E＝78°时，∠1、∠2各等于多少度？

为什么？

（2）∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？

为什么？

7、完成课本P236的习题1-3

第六章6.5三角形内角和定理的证明（课本P237-241）

学习目标：

1、掌握三角形内角和定理的证明及其应用；

2、对比撕纸等探索过程，思考如何把实验方法转化为严格的几何证明；

主要问题：

如何应用学过的定理，适当添加辅助线，证明三角形的内角和等于180度

一、基础知识回顾：

1、平角=度；两直线平行，同旁内角；

2、如右图，AB∥CD，写出所有相等的角：

；

所有互补的角。

二、新知识产生过程：

探索新知：

内角和定理的多种证法

根据图

（1）的操作步骤，改用添加辅助线的方法，转化为用几何推理的方法来证明（从∠A拼到∠1，如何添加辅助线），即：

作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，（这样做的理由是）。

则有：

（请完成后续的证明过程，并注明理由）

2、其实只要考虑到应用有关定理，作出不同的辅助线，把三个内角和转为180度，也可达到同样效果。

请在下列两图中用不同方法证明三角形内角和定理。

证明：

证明：

思考归纳：

证明三角形内角和定理有哪几种方法？

辅助线的作法有技巧.主要依据是什么？

（小组交流）。

三、例题学习：

度数是多少？

例2，

度数是多少？

四、巩固练习：

。

∠BDC的度数。

6、完成课本P239-241的习题，阅读课本P240的“读一读”

第六章6.6关注三角形的外角（课本P242~245）

学习目标:

掌握三角形内角和定理的两个推论及证明，体会几何中简单不等关系的证明，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。

主要问题：

三角形的外角有哪些性质？

一、基础知识回顾：

1、上节课我们证明了三角形内角和定理，它的证明思路

2、在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的.

外角的特征有三条：

（1）顶点在三角形的上.如：

∠ABD的顶点B是△ABC的一个顶点.

（2）一条边是三角形的.如：

∠ABD的一条边AB正好是△ABC的一条边.

（3）另一条边是三角形某条边的线.如：

∠ABD的边BD是△ABC的CB边的延长线.

3、把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：

一个三角形有个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.

二、新知识产生过程：

4、上图中∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？

能证明你的结论：

∵∠1+∠4=1800（）

∠A+∠C+∠4=1800（）

∴∠1=∠A+∠C（）

5、结论：

三角形的一个等于和的和。

∴∠1>∠1>（）

6、结论：

三角形的一个大于内角。

7、在这里，我们是通过定理推导出这两个结论。

像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的.因此这两个结论称为推论.它可以当作定理直接使用.

三、例题学习：

［例1］已知，如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：

AD∥BC.（尽可能用不同的方法证明）

［例2］已知，如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：

∠1>∠2.（关注外角，借助于桥梁）

四、巩固练习：

1、完成书本P244随堂练习1

2、如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB的度数.

3、如图,P是△ABC内的一点,连接PB、PC,求证:

∠BPC>∠A.（提示：

可参考上图）

4、如图,△ABC的两外角平分线交于点P,

（1）求证∠P=90°-

∠A;

△ABC两内角的平分线交于点Q,

（2）求证∠BQC=90°+

∠A;

△ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角（3）猜想并证明你的结论：

∠M=___∠A.

第六章回顾与思考（课本P246~252）

复习目标:

1、使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；

2、培养学生的逻辑思维能力，规范学生的证明格式。

主要问题：

如何运用所学的公理、定理解决相关问题。

学习过程：

本章知识网络：

1、已知：

如图，∠1十∠2=180°，求证：

∠3=∠4．

2、已知：

如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：

∠EGH>∠ADE

3、某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AE的夹角为45°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求∠C=∠E，求∠C的大小．

4、如图，潜望镜中的两个镜片都是与水平面成45°角放置的，这样的设计就可以保证下面人的视线和上面的光线是平行的．你能说明其中的道理吗?

5、已知：

如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC．

求证：

∠BPC>∠A．

6、

（1）如图

（1）所示，在△ABC中，若BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，

试说明：

∠BDC＝90°+

∠A．

（2）如图

（2）所示，若BD，CD是△ABC的两外角的平分线，试证明：

∠BDC＝90°-

∠A．

（3）如图（3）所示，若BE，CE分别是△ABC一内角和一外角的平分线，试证明：

∠E＝

∠A．

小测：

1、已知：

如图，直线a、b被直线c所截，a∥b

求证：

∠1十∠2=180°

2、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠DBE=30°，∠EBC=30°，求∠BDE的大小．

3、如图，MN，EF分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3=∠4．试判断AB与CD的位置关系，你是如何思考的?

4、把长方形ABCD沿对角线Ac折叠，得到如图所示的图形．已知∠BAO=30°，

求∠AOC和∠BAC的大小。

3、如图，MN，EF分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3=∠4．试判断AB与CD的位置关系，你是如何思考的?

4、把长方形ABCD沿对角线Ac折叠，得到如图所示的图形．已知∠BAO=30°，

求∠AOC和∠BAC的大小。

小测：

1、已知：

如图，直线a、b被直线c所截，a∥b

求证：

∠1十∠2=180°

2、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠DBE=30°，∠EBC=30°，求∠BDE的大小．