数学人教版七年级下册相交线教案.docx

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数学人教版七年级下册相交线教案

5.1　相交线

　　1.理解对顶角的概念,探索并掌握对顶角的性质;理解垂线、垂线段的概念,能用三角尺或量角器画已知直线的垂线.

　　2.理解点到直线的意义,会度量点到直线的距离.

　　3.能在复杂图形中识别同位角、内错角和同旁内角.

　　1.通过观察和动手操作,经历和体验图形的变化过程,努力学习数学语言.

　　2.能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系.

　　1.在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心.

　　2.让学生感受数学与生活的密切联系,增强用数学的意识.

【重点】　垂直的概念、同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置.

【难点】　点到直线的距离,正确识别同位角、内错角、同旁内角.

5.1.1　相交线

　　理解并掌握对顶角、邻补角的概念.

　　1.通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和表达能力.

　　2.在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些简单问题.

引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,树立学习的信心.

【重点】　对顶角的性质.

【难点】　理解对顶角相等的性质的探索.

【教师准备】　直尺、量角器、剪刀、硬纸板.

【学生准备】　直尺、三角板.

导入一:

如图所示,要想测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数（人不能进入围墙内,又不能站在围墙上）,甲、乙两人各有如下的测量方法:

甲:

延长AO至C,测得∠BOC的度数,可知∠AOB的度数.

乙:

延长AO至C,延长BO至D,测得∠COD的度数,可知∠AOB的度数.

你知道他们这样测量的道理吗?

导入二:

教师出示一块硬纸板和一把剪刀,表演剪纸板的过程.

问题:

剪刀两个把手之间的角发生了什么变化?

剪刀的张口怎么变化?

教师展示剪纸板的过程,学生认真观察.

教师应当注意先提出问题,以免在操作过程中分散学生的注意力,使学生没有注意观察应该观察的内容.

学生观察以后,回答提出的问题.

教师引导:

如果将剪刀的构造看作两条相交的直线,这就关系到两条相交直线所成的角的问题.

[设计意图]　通过动手操作,激发学生兴趣,同时使学生感受生活中的数学现象,通过教师的引导,使学生将剪刀张口的变化抽象成两条直线交角的变化,将实际问题转化为数学问题.

导入三:

在我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,本节课要研究相交线所成的角和它的特征.

教师多媒体出示相关的图片:

学生欣赏图片,并从中观察相交线、平行线的实例.

[设计意图]　直接提出本节课的学习重点,使学生有一个明确的目标,对本节课的学习要点做到心中有数.

一、邻补角与对顶角的概念

　　[过渡语]　（针对导入二）通过刚才的观察,我们知道握紧剪刀把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开纸板.下面我们就来研究这两条直线相交所形成的角.

问题1　邻补角

如教材图5.1-2,教师提出问题:

1.在位置关系上,∠1和∠2有什么特点?

　　2.量一量,在数量关系上,∠1和∠2有什么特点?

提示:

在位置关系上,∠1和∠2有一个公共边OC,另一边互为反向延长线;在∠1和∠2的数量关系上,学生可能从大小关系上进行比较,此时注意引导学生从两个角的和的关系去探求.

问题总结:

有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.

追问:

（1）在教材图5.1-2中,有几组邻补角?

（2）在教材图5.1-1中,剪刀把手之间角度变化的过程中,这种关系还存在吗?

提示:

（1）有四组邻补角,分别是∠1和∠2,∠2和∠3,∠3和∠4,∠1和∠4;

（2）这种关系依旧存在.

[知识拓展]　

（1）邻补角指的是角的特殊位置关系,即这两个角相邻（有一条公共的边）,从数量关系上说这两个角互补.

（2）邻补角指的是两个角之间的互补关系.

（3）邻补角一定互补,但互补的角不一定是邻补角.

问题2　对顶角

　　[过渡语]　在教材图5.1-2中,∠1和∠3之间有什么关系呢?

　　学生再观察教材图5.1-2,教师提出问题:

（1）在位置上,∠1和∠3有什么特点?

（2）量一量,在数量关系上,∠1和∠3有什么特点?

提示:

（1）在位置关系上,∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线;

（2）通过测量和观察,学生可以发现∠1和∠3是相等的.

概念提出:

有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.

二、对顶角的性质

思路一

　　[过渡语]　刚才通过测量和观察,我们发现了对顶角∠1和∠3是相等的.仅靠发现和观察,还不足以说明就是科学的结论,这就需要我们证明这个结论,怎样证明呢?

性质证明:

〔解析〕　在教材图5.1-2中,∠1和∠2互补,∠3和∠2互补,由“同角的补角相等”可以得出∠1=∠3.同理,我们可以得出∠2=∠4.这样我们就可以得出对顶角的性质:

对顶角相等.

证明:

因为∠1与∠2互补,∠3与∠2互补（邻补角的定义）,所以∠1=∠3（同角的补角相等）.

[设计意图]　通过对图形中角的位置关系的探究,经历从图形到文字到符号的转化过程,使学生加深对相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法.通过对概念的归纳,培养学生的总结概括能力,加深学生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上,用科学的方法验证或证明自己的发现,这有利于培养学生的科学思维习惯.

[知识拓展]　

（1）对顶角是指两个角的位置关系,一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.

（2）对顶角是成对的,在数量关系上有特殊的关系——相等.

（3）两条直线相交所形成的四个角中,任意两个角不是对顶角就是邻补角.

思路二

　　[过渡语]　刚才通过观察讨论,同学们了解了对顶角的概念,那么对顶角具有什么性质,下面我们就来一起学习.

问题思考:

（1）在教材图5.1-2中有哪些角是对顶角?

（2）观察、测量每组对顶角,它们之间有什么数量关系?

（3）根据观察和测量,你的结论是什么?

怎样去证明你的结论?

[设计意图]　通过学生的动手和动脑实践,不但可以提升学生的学习兴趣,还有助于培养学生动手动脑的行为习惯.通过发现问题并证明问题的活动,培养学生的科学探索精神.

性质证明:

〔解析〕　如图所示,∠AOC和∠AOD互补,∠AOC和∠BOC互补,由“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地,∠AOC=∠BOD.这样,我们就得到了对顶角的性质:

对顶角相等.

证明:

因为∠AOC和∠AOD互补,∠AOC和∠BOC互补（邻补角的定义）,

所以∠AOD=∠BOC（同角的补角相等）.

[设计意图]　通过对角的度数的测量,使学生认识到邻补角与对顶角的性质,使学生从对这两类角的感性认识上升到理性认识,通过对结论得出的说理过程,使学生初步感受推理的过程.

三、例题讲解

　　[过渡语]　通过前面的研究和探讨,我们知道了邻补角互补,对顶角相等的性质.利用这些性质可以进行角的一些计算.

　如图所示,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.

[设计意图]　先让学生尝试解决,这里学生能够说出角的度数,关键是学生能否做到言之有理,即初步尝试使用推理的方法去解决问题,之后教师给出规范的答案.

〔解析〕　计算角的度数,首先要考虑给定的角与所要求的角的位置关系和数量关系.从位置关系看,在要求的三个角中,∠3和∠1存在着对顶角的关系,∠2,∠4和∠1存在着邻补角的关系.

解:

由邻补角的定义,得:

∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.

由对顶角相等,得:

∠3=∠1=40°,

∠4=∠2=140°.

　（补充）如图所示,已知直线AB与CD相交于点O,OE是∠BOD的平分线,∠EOF=90°,若∠BOD=58°,求∠COF的度数.

〔解析〕　根据角平分线的定义求出∠DOE,再求出∠DOF,然后根据邻补角的定义列式计算即可得解.

解:

因为OE是∠BOD的平分线,∠BOD=58°,

所以∠DOE=∠BOD=×58°=29°,

因为∠EOF=90°,

所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-29°=61°,

所以∠COF=180°-∠DOF=180°-61°=119°.

[解题策略]　本题考查了角平分线的定义,互为邻补角的两个角的和等于180°,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

[设计意图]　通过学生的尝试,一是让学生养成主动学习的习惯,二是让学生养成说理的习惯,做到步步有据.

1.邻补角、对顶角的概念:

（1）有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.

（2）有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.

（3）邻补角、对顶角是成对出现的,在相交直线中,一个角的邻补角有两个.

2.邻补角、对顶角的性质:

（1）邻补角互补.但两个角的和等于180°,这两个角不一定是邻补角.

（2）对顶角相等.但反过来,相等的两个角不一定是对顶角.

1.如图所示,下列判断正确的是（　　）

A.图

（1）中∠1和∠2是一组对顶角

B.图

（2）中∠1和∠2是一组对顶角

C.图（3）中∠1和∠2是一组邻补角

D.图（4）中∠1和∠2是一组邻补角

解析:

对顶角的定义:

有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,邻补角的定义:

有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角,根据这两个定义进行分析.故选D.

2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=70°,∠2=40°,则∠1的度数为（　　）

A.30°

B.35°

C.40°

D.70°

解析:

因为∠AOC=70°,所以∠BOD=70°（对顶角相等）,因为∠2=40°,所以∠1=70°-40°=30°.故选A.

3.如图所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为（　　）

A.62°

B.118°

C.72°

D.59°

解析:

因为直线AB和CD相交于点O,∠AOD与∠BOC的和为236°,又因为∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOC=180°-=62°.故选A.

4.如图所示,直线AB与CD相交于点O,射线OE平分∠BOF.

（1）∠AOD的对顶角是　　　　,∠BOC的邻补角是　　　　; 

（2）若∠AOD=20°,∠DOF∶∠FOB=1∶7,求∠EOC的度数.

解析:

（1）根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案;

（2）根据∠AOD=20°和∠DOF∶∠FOB=1∶7,求出∠BOF等于140°,所以∠EOB等于70°,所以∠EOC等于90°.

解:

（1）∠BOC　∠AOC,∠BOD

（2）因为OE平分∠BOF,

所以∠BOE=∠EOF,

因为∠DOF∶∠FOB=1∶7,∠AOD=20°,

所以∠DOF=∠BOD=×（180°-20°）=20°,

所以∠BOF=140°,

因为∠BOE=∠BOF=×140°=70°,

所以∠EOC=∠BOC+∠EOB=20°+70°=90°.

5.1.1　相交线

1.邻补角与对顶角的概念

2.对顶角的性质

3.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第3页练习.

【选做题】

教材第7页习题5.1第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.已知∠α