大学物理学北京邮电第3版修订版下册习题答案.docx

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大学物理学北京邮电第3版修订版下册习题答案

习题9

9.3电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点•试问：

（1）在这

三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电

荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）?

（2）这种平衡与三角形的边长有无关系？

解：

如题9.3图示

（1）以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：

q为负电荷

解得

（2）与三角形边长无关.

题9.4图

9.4两小球的质量都是m，都用长为I的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2,如题9.4图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不

计，求每个小球所带的电量.

解：

如题9.4图示

Tsin

Tcos

0（2lsin）2

解得q2lsin4°mgtan

9.5根据点电荷场强公式E

J，当被考察的场点距源点电荷很近

4or

（r-0）时,

则场强fx，这是没有物理意义的，对此应如何理解

解：

EJr。

仅对点电荷成立，当r0时，带电体不能再视为点电荷，再

4nor

用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.

9.6在真空中有A,B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为

+q和-q•则这两板之间有相互作用力f，有人说f=q2,又有人说，因为

4od2

f=qE,E—，所以f=乂•试问这两种说法对吗？

为什么？

f到底应等于oSoS

多少？

解：

题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第

二种说法把合场强E2看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对

的.正确解答应为一个板的电场为Eq，另一板受它的作用力

2oS

fq」J，这是两板间相互作用的电场力.

2oS2°S'

9.7长I=15.0cm的直导线ABt均匀地分布着线密度=5.0x10-9C•m1的正电

荷•试求：

⑴在导线的延长线上与导线B端相距a,=5.0cm处P点的场强；⑵在

导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处

Q点的场强.

解：

如题9.7图所示

（1）在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产

生场强为dEp

4no（a

x）2

EpdEP

题9.7图

4no2

（ax）2

4no[a丄

no（4al）

用I15cm,5.0109Cm1,a12.5cm代入得

Ep6.74102NC1方向水平向右

⑵同理dEQ—--亠笃方向如题9.7图所示

4n0xd2

由于对称性QEqx0,即Eq只有y分量,

dEQy

d；

EQy

ldEQy

2222

（xd2）2

2noI24d；

以5.0109Ccm1,I15cm,d25cm代入得

EqEQy14.96102NC1，方向沿y轴正向

9.8一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为，求环心处O点的场强.

解：

如9.8图在圆上取dlRd

题9.8图

dqdlRd，它在O点产生场强大小为

dE型石方向沿半径向外

4n0R

贝UdExdEsinsind

4n0R

dEydEcos（

）cosd

4n0R

积分Ex

sind

04n0R

cosd

04n0R

E£齐'方向沿X轴正向•

9.9均匀带电的细线弯成正方形，边长为I，总电量为q.

（1）求这正方形轴线上离中心为r处的场强E;⑵证明：

在rI处，它相当于点电荷q产生的场强

解：

如9.9图示，正方形一条边上电荷q在P点产生物强dEp方向如图，大小为

cos1cos2

P4「21

4n0丁4

cos

dEp在垂直于平面上的分量dEdEpcos

题9.9图

由于对称性，P点场强沿0P方向，大小为

Ep4dE

4lr

4no（r2

方向沿OP

9.10⑴点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立

方体的一个面的电通量；

（2）如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？

解：

⑴由高斯定理EdS

立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等

各面电通量

（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长

2a的立方体，使q处于边长2a的立方体

中心，则边长2a的正方形上电通量

对于边长a的正方形，如果它不包含

q所在的顶点，则

24o

如果它包含q所在顶点则e0.

如题9.10图所示.

题9.10图

9.11均匀带电球壳内半径6cm外半径10cm电荷体密度为2X105C・m3求距球心5cm,8cm,12cm各点的场强.

解：

高斯定理oEdS一-

E4n2q

当r5cm时,

q0,E

r8cm时,

4n3qPT"

「内）

4n32

Tr「内

4n0r2

3.48I0NC,方向沿半径向外.

ri2cm时，q丰（r外r内内3）

4nr#「内

E一34.I0i04NCi沿半径向外.

4n0r2

9.12半径为R1和R2（R2>

Ri）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电

量和-,试求:

（1）rvRi；

（2）RivrvR2；（3）r>R2处各点的场强.

解：

高斯定理EdS一-

取同轴圆柱形高斯面，侧面积则

S2nl

SEdSE2n

rRi

0,E0

RirR2

2n0r

沿径向向外

rR2

题9.13图

1和2，试求

9.13两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为空间各处场强.

解：

如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，

两面间，E丄（12）n

1面外，E需（12）n

2面外，E—（12）n

垂直于两平面由1面指为2面.

9.14半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为

若在球内挖去一块半径为

rVR的小球体，如题9.14图所示.试求：

两球心空腔内的电场是均匀的.

O与0点的场强，并证明小球

将此带电体看作带正电

的均匀球与带电

的均匀小球的组合，见题

9.14

（1）

球在0点产生电场E10

球在0点产生电场E20

4n0d

300'

0点电场E0

k。

'；

在O产生电场

E10

700‘

球在O产生电场

E200

•••0点电场E0

00'

题9.14图（a）

（3）设空腔任一点P相对0

题9.14图（b）

的位矢为r，相对0点位矢为r（如题8-13（b）图）

Epo

（r

00'

•••腔内场强是均匀的.

9.15一电偶极子由q=1.0X10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0X105N-C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩.

解：

•••电偶极子p在外场E中受力矩

MpE

MmaxpEqlE代入数字

Mmax1.010621031.01052.0104Nm

_Q_Q

9.16两点电荷q1=1.5X10C,q2=3.0X10C,相距r1=42cm要把它们之间的

距离变为r2=25cm需作多少功？

r2r2q1q2drq1q211

解：

AFdr空亠二也（）

r1r24n0r4n0山Q

6.5510J

外力需作的功AA6.55106J

题9.17图

9.17如题9.17图所示，在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间

距离为2R，现将另一正试验点电荷qo从0点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功.

解：

如题9.17图示

4no（R

丄（_qq

4n03RR

Aqo（UoUc）

q°q

6n0R

9.18如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷，两直导线

的长度和半圆环的半径都等于R•试求环中心0点处的场强和电势.

解：

（1）由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在0点产生的场强互相

抵消，取dlRd

则dqRd产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

[sin（）sin]

4n0R22

（2）AB电荷在O点产生电势，以U0

In2

4no

同理CD产生

In2

4no

半圆环产生

4noR4o

UoUi

U2U3In2

2no

Adx2Rdx

4n0xR4n0x

9.19一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2X104m・s-1的匀速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.（电子质量m0=9.1x10-31kg，电子电量e=1.60x10-19C）解：

设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强

2n°r

电子受力大小FeeE

2n°r

m—

2n°rr

2n°mv131

得012.51013Cm1

9.20空气可以承受的场强的最大值为E=30kV-cm1，超过这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压.

解：

平行板电容器内部近似为均匀电场

UEd1.5104V

9.21证明：

对于两个无限大的平行平面带电导体板（题9.21图）来说，

（1）相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；

（2）相背的两面上，电荷的面

密度总是大小相等而符号相同.

证：

如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次

为1，2，

题9.21图

（1）则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

EdS（23）S0

-230

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

（2）在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

又•••

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同.

9.22三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0mm.B，C都接地，如题9.22图所示.如果使A板带正电3.0X10-7C,略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少？

以地的电势为零，则A板的电势是多少？

解：

如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为1,右侧面电荷面密度为2

EACdACEABdAB

且

1+2

得

2qA

而

qciS

3qA

2107C

2S1

107C

⑵

UAEACdAC

1dAC2.310V

9.23两个半径分别为Ri和R2（RivR2）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q,试计算：

（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；

（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；

（3）再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.

解：

（1）内球带电q;球壳内表面带电则为q,外表面带电为q，且均匀分

布，其电势U

R2Edr

qdrq

R24n0r24n0R

题9.23图

⑵外壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q•所

以球壳电势由内球q与内表面q产生：

4n0R24n0R2

（3）设此时内球壳带电量为q;则外壳内表面带电量为q，外壳外表面带电量

为qq（电荷守恒），此时内球壳电势为零，且

4noRi

4n0R2

qq'

4n0R2

得

外球壳上电势

q'q'qq'

4noR?

4n0R24n0R2

R1R2q

厂

4n0R2

9.24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d3R处有一点电荷+q，试求：

金属球上的感应电荷的电量.

解：

如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q，则球接地时电势U。

由电势叠加原理有：

UO急*

_q_

9.25有三个大小相同的金属小球，小球1,2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F。

.试求：

（1）用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力;⑵小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力.

解：

由题意知F0-—

4n0r2

（1）小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

q4q

此时小球1与小球2间相互作用力

'q"8q3厂

Fi2Fo

4n0r4n0r28

（2）小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为2q.

q—q4

小球1、2间的作用力F2334Fo

4nor9

9.26在半径为R的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相

对介电常数为r，金属球带电Q.试求：

（1）电介质内、外的场强；

（2）电介质层内、外的电势；

⑶金属球的电势.

解：

利用有介质时的高斯定理DdSq

（1）介质内（尺rR2）场强

DQr厂Qr

D3，厂内3

4n4n°rr

介质外（rR2）场强

4nor3

⑵介质外（rR2）电势

QUE外dr

r4nor

介质内（&rR2）电势

U厂内drE外dr

-^―（-古）

4n0rrR24noR2

Q1r1-—（--）

4n0rrR2

（3）金属球的电势

URE内drRE外dr

r2QdrQdr

R4n0rr2R24n0r2

-^（-」）

4n0rR1R2

9.27如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电

介质•试求：

在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.

解：

如题9.27图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E-，自由电荷面密度分别为2与1

由DdSqo得

1，D2

0E1,D2

0rE2

E1E2

0rE2

0已

题9.27图

题9.28图

9.28两个同轴的圆柱面，长度均为I

l，半径分别为R1和R2（R2>R1），且

号电荷Q和-Q时，求:

点的电场能

（1）在半径r处（RivrvR2=，厚度为dr，长为I的圆柱薄壳中任量密度和整个薄壳中的电场能量；

（2）电介质中的总电场能量；

⑶圆柱形电容器的电容.

解：

取半径为r的同轴圆柱面（S）

-DdS2nID

（S）

当（尺rR2）时,

（1）电场能量密度

w——

8n2r

薄壳中dWwd

8n2r

2I2

2nrdrl

Q2dr

4nrl

⑵电介质中总电场能量

vdW

&Q2dr

Rl4nrl

4nIR1

（3）电容:

2nI

In（R2/R1）

题9.29图

9.29如题9.29图所示，C1=0.25

F,C2=0.15F，C3=0.20

F.C1上电

压为50V.求：

Uab

解：

电容C1上电量

Q1C1U1

电容C2与C3并联C23C2C3

其上电荷Q23Qi

Q23CiU1

C23C23

2550

UABU1U250

（1）86V

9.30Ci和C2两电容器分别标明200pF、500V”和“00pF、900V”，把它们串联

起来后等值电容是多少？

如果两端加上1000V的电压，是否会击穿？

解：

（1）Ci与C2串联后电容

C1C

200300

120pF

（2）串联后电压比

未£2，而U1U21000

U1600V,U2400V

即电容G电压超过耐压值会击穿，然后C2也击穿.

9.31半径为R=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分

别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0X10-8C时，求:

（1）整个电场储存的能量；

（2）如果将导体壳接地，计算储存的能量;

⑶此电容器的电容值.

解：

如图，内球带电Q，外球壳内表面带电Q，外表面带电Q

题9.31图

（1）在rR1和R2rR3区域

在R1rR2时

4n°r

rR3时

4n°r3

•••在R1rR2区域

R21

Q22

（2）4ndr

4n0r

r2Qdr

R18n0r2

丄（丄丄）

8n0R1

RiR2

在rR3区域

R32

（Q）24n

4n0r2

2dr

Q21

8noR3

总能量WW1

各（丄

8n0R1

1.82

104J

⑵导体壳接地时，只有R1

rR2时

刁,W20

1）1.01

104J

（3）电容器电容C卑

4"0/（R1R2

4.49

10F

习题10

10.3在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等？

为何不把作用于运动电荷

的磁力方向定义为磁感应强度B的方向？

解：

在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等.因为磁场作用于运动电荷的

磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方

向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向.

题10.3图

10.4

（1）在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化（即磁场是否一定是均匀的）?

（2）若存在电流，上述结论是否还对？

解：

（1）不可能变化，即磁场一定是均匀的.如图作闭合回路abed可证明B,B2

BdlB-|daB2be0I0

abed

B1B2

（2）若存在电流，上述结论不对.如无限大均匀带电平面两侧之磁力线

是平行直线，但B方向相反，即B1B2.

10.5用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场？

答：

不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，

安培环路定理并不适用.

10.6在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B°nl，外面B=0,所以在

载流螺线管

外面环绕一周（见题10.6图）的环路积分

■■■LB外•dl=0

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为

lB外•d1=01

这是为什么？

解：

我们导出B内°nl月外0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管

轴线.这时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是■■lB外dl0I0，与

-B外dl0dl0是不矛盾的.但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模

型.实际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线

管若是无限长时，只是B外的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量

B#,「为管外一点到螺线管轴的距离・

题10.6图

10.7如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场？

如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场？

解：

如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致.如果它

发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转.

10.8已知磁感应强度B2.0Wb・m-2的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题

9-6图所示.试求：

（1）通过图中abed面的磁通量；

（2）通过图中befc面的磁通量；

（3）通过图中aefd面的磁通量.

解：

如题10.8图所示

题10.8图

（1）通过abed面积S1的磁通是

1BS1

2.00.30.4

0.24Wb

（2）通过befc面积S2的磁通量

2BS2

（3）通过aefd面积S3的磁通量

3BS320.30.5cos

20.30.5

0.24Wb（或0.24Wb）

10.9如题10.9图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R•若通以电流I，求O点的磁感应强度.

解：

如题10.9图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生•其中

10.10在真空中，有两根互相平行的无限长直导线

L,和L2，相距0.1m，通有方

向相反的电流,

h=20A,l2=10A,如题10.10图所示.

A，B两点与导线在同一平

AB产生

B10

产生B2

120R，万向垂直向里

段产生

B3—01（sin90

sin60）

20R（1

f），方向向里

B1B2

B30I（13

2R2

6），方向

向里.

面内.这两点与导线L2

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