数学22讲义+第4章 44 生活中的优化问题举例.docx
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数学22讲义+第4章44生活中的优化问题举例
4．4
生活中的优化问题举例
[读教材·填要点]
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．解决优化问题的基本思路
[小问题·大思维]
将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？
提示：
设一个数为x，
则另一个数为8－x，则其立方和
y＝x3＋（8－x）3＝83－192x＋24x2，且0≤x≤8，
y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，当40，
∴当x＝4时，y最小．
即分成的这两个数应为4,4.
用料最省、费用最低问题
如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（m）的函数关系式，并指出其定义域．
（2）污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？
并求出最低总造价．
[自主解答]
（1）设长为xm，则宽为m．
据题意
解得≤x≤16，
y＝×400＋×248＋16000
＝800x＋＋16000.
（2）令y′＝800－＝0，解得x＝18.
当x∈（0,18）时，函数y为减函数；
当x∈（18，＋∞）时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16.
∴当x＝16时，ymin＝45000.
∴当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元.
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′（x）＝0求出极值点（注意根据实际意义舍去不合适的极值点）后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
1.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时（8＜v≤v0）．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12（千米/时）时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解：
设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k（k＞0），则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，
由题意，得y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝0（舍去）或v＝16.
∴当v0≥16时，v∈（8,16），y′＜0，即y为减函数；
v∈（16，v0]，y′＞0，即y为增函数，
故v＝16（千米/时）时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈（8，v0]，y′＜0，即y在（8，v0]上为减函数，
故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16（千米/时）时，全程燃料费最省，为32000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元.
利润最大、效率最高问题
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：
p＝24200－x2，且生产x吨的成本为：
R＝50000＋200x（元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？
最大利润是多少？
[自主解答] 依题意，每月生产x吨时的利润为：
f（x）＝x－（50000＋200x）
＝－x3＋24000x－50000（x≥0）．
由f′（x）＝－x2＋24000，
令f′（x）＝0，解得x1＝200，x2＝－200（舍去）．
因为f（x）在[0，＋∞）内有意义，则有且只有当x＝200时f′（x）＝0，且它就是最大值点，最大值为f（200）＝－×2003＋24000×200－50000＝3150000.
故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f′（x）＝0求出极值点（注意根据实际意义舍弃不合适的极值点），函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值．
2.某产品按质量分为10个档次，生产第1档次（即最低档次）的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但在一天内产量减少3件．在一天内，最低档次的产品可生产60件．问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？
最大利润是多少？
解：
设在一天内，生产第x（1≤x≤10，x∈N＋）档次的产品的总利润为y.
依题意，得y＝[8＋2（x－1）][60－3（x－1）]
＝－6x2＋108x＋378（1≤x≤10，x∈N＋），
y′＝－12x＋108，令y′＝－12x＋108＝0，解得x＝9.
因为x＝9符合题意，且y只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元.
面积、容积的最值问题
请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[自主解答] 设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）．
由已知得a＝x，h＝＝（30－x），0＜x＜30.
（1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
（2）V＝a2h＝2（－x3＋30x2），V′＝6x（20－x）．
由V′＝0得x＝0（舍）或x＝20.
当x∈（0,20）时，V′＞0；当x∈（20,30）时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点或函数f（x）在开区间上只有一个点使f′（x）＝0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
3.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？
并求出最大面积．
解：
设休闲广场的长为xm，则宽为m，绿化区域的总面积为S（x）m2.
则S（x）＝（x－6）＝2424－
＝2424－4，x∈（6,600）．
∴S′（x）＝－4＝，
令S′（x）<0，得600，得6∴S（x）在（6,60）上是增函数，在（60,600）上是减函数，
∴当x＝60时，S（x）取得极大值，也是最大值，
∴S（x）max＝S（60）＝1944.
∴当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1944m2.
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.
（1）求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求面积S的最大值．
[巧思] 可通过建立恰当的直角坐标系，列出面积S关于x的函数解析式，然后利用导数的知识，借助函数的单调性即可求得面积S的最大值．
[妙解]
（1）依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点C（x，y）满足方程x2＋＝1，
且x>0，y>0，
∴y＝2（0∴S＝（2x＋2）·2＝2（x＋1）（0（2）令f（x）＝S2＝4（x＋1）2（1－x2）（0则f′（x）＝8（x＋1）2（1－2x）．
令f′（x）＝0，解得x＝或x＝－1（舍去）．
当00，f（x）为增函数；
当∴f是f（x）在区间（0,1）上的极大值，也是最大值，且f＝时，S＝.
故当x＝时，S取得最大值.
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为S＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是（ ）
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末D．0或1秒末
解析：
由题意可得S′＝4t2－4t，令S′＝0，则t＝0或1.
答案：
D
2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x（0≤x≤390）的关系是R（x）＝－＋400x（0≤x≤390），则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）
A．150B．200
C．250D．300
解析：
由题意可得总利润P（x）＝－＋300x－20000，0≤x≤390，
则P′（x）＝－＋300.
由P′（x）＝0，得x＝300.
当0≤x<300时，P′（x）>0；当300所以当x＝300时，P（x）最大．
答案：
D
3．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为（ ）
A．900元B．840元
C．818元D．816元
解析：
设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，
根据题意得箱底的面积为＝16（m2），
则长为xm的一边的邻边长度为m，
l＝16×15＋×12＝240＋72，
所以l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4（舍去），当04时，l′>0.
故当x＝4时，l有极小值，也是最小值，且最小值为816.
因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
答案：
D
4．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为________m时，容器的容积最大．
解析：
设高为x米，则V＝x（x＋0.5）
＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈（0,1.6），
V′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令V′＝0，
解得x＝1或x＝－（舍去）．
当00，当1所以当x＝1时，容器的容积取得最大值．
答案：
1
5．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：
y1＝17x2（x＞0），生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：
y2＝2x3－x2（x＞0），为使利润最大，应生产________千台．
解析：
设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝－2x3＋18x2（x＞0），
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x（x－6）．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，
经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：
6
6．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：
元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：
（1）若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，
由题意知24＝k·22，得k＝6.
设商品在一个星期的获利为f（x），则依题意有
f（x）＝（30－x－9）·（432＋6x2）＝（21－x）（432＋6x2），
所以f（x）＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．
（2）根据
（1）有f′（x）＝－18x2＋252x－432
＝－18（x－2）（x－12）．
令f′（x）＝0，得x＝2或x＝12.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0,2）
2
（2,12）
12
（12,30）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
极小值
极大值
故x＝12时，f（x）取得极大值，因为f（0）＝9072，f（12）＝11664，f（0）＜f（12），
所以定价为30－12＝18（元）能使一个星期的商品销售利润最大．
一、选择题
1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为（ ）
A.cm B．100cm
C．20cmD.cm
解析：
设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，
则V＝π（400－h2）h＝π（400h－h3），
令V′＝0，得h＝cm时，V最大．
答案：
A
2．已知某生产厂家的年利润y（单元：
万元）与年产量x（单位：
万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）
A．13万件 B．11万件
C．9万件D．7万件
解析：
因为y′＝－x2＋81，
所以当x∈（9，＋∞）时，y′＜0；当x∈（0,9）时，y′＞0，
所以函数y＝－x3＋81x－234在（9，＋∞）上单调递减，在（0,9）上单调递增，
所以x＝9是函数的极大值点，
又因为函数在（0，＋∞）上只有一个极大值点，
所以函数在x＝9处取得最大值．
答案：
C
3．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为（ ）
A．32米，16米B．30米，15米
C．40米，20米D．36米，18米
解析：
设建堆料场与原墙平行的一边边长为x米，其他两边边长为y米，则xy＝512，堆料场的周长l＝x＋2y＝＋2y（y>0），则l′＝－＋2＝0，解得y＝16（另一负根舍去），当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.
答案：
A
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：
Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（ ）
A．30元B．60元
C．28000元D．23000元
解析：
设毛利润为L（p），由题意知
L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）
＝（8300－170p－p2）（p－20）
＝－p3－150p2＋11700p－166000，
所以L′（p）＝－3p2－300p＋11700.
令L′（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）．
此时，L（30）＝23000.
因为在p＝30附近的左侧L′（p）>0，右侧L′（p）<0，
所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．
答案：
D
二、填空题
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：
设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f（x）＝4n＋4x＝＋4x，
令f′（x）＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20（舍去），
x＝20是函数f（x）的最小值点，故当x＝20时，f（x）最小．
答案：
20
6．某厂生产某种产品x件的总成本c（x）＝1200＋x3（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
解析：
设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．
因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000，
所以p2＝，p＝，x>0.
设总利润为y万元，
则y＝·x－1200－x3＝500－x3－1200.
求导数得，y′＝－x2.
令y′＝0，得x＝25.
故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.
因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．
答案：
25
7．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：
如图，设AD＝x（0＜x＜1），则DE＝AE＝x，
∴梯形的周长为x＋2（1－x）＋1＝3－x.
又S△ADE＝x2，
∴梯形的面积为－x2.
∴s＝×（0＜x＜1）．
∴s′＝×.
令s′＝0，得x＝或3（舍去），
当x∈时，s′＜0，s递减；当x∈时，s′＞0，s递增；
故当x＝时，s的最小值是.
答案：
8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：
设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f（x）＝x·
＝－＋x，x∈（0,2）．
由f′（x）＝－x2＋1＝0，
得x1＝－（舍），x2＝，
∴x∈时，f′（x）＞0，f（x）是递增的，
x∈时，f′（x）＜0，f（x）是递减的，
当x＝时，f（x）取最大值.
答案：
三、解答题
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：
万元）与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系：
C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
解：
（1）设隔热层厚度为xcm，
由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，
再由C（0）＝8，得k＝40，
因此C（x）＝.
而建造费用为C1（x）＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f（x）＝20C（x）＋C1（x）
＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）．
（2）f′（x）＝6－，令f′（x）＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－（舍去）．
当00，
故x＝5是f（x）的最小值点，
对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．
10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：
（1）因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元．
根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，
所以h＝（300－4r2），
从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）．
由h>0，且r>0可得0故函数V（r）的定义域为（0,5）．
（2）由
（1）知V（r）＝（300r－4r3），
故V′（r）＝（300－12r2）．
令V′（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（舍去）．
当r∈（0,5）时，V′（r）>0，故V（r）在（0,5）上为增函数；
当r∈（5,5）时，V′（r）<0，故V（r）在（5,5）上为减函数．
由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
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