九年级数学上册 第21章 第8课时 一元二次方程的应用1导学案 新版新人教版.docx
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九年级数学上册第21章第8课时一元二次方程的应用1导学案新版新人教版
第8课时一元二次方程的应用
（1）
一、学习目标
会列出一元二次方程解应用题；
学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；
通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
二、知识回顾
1．解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
（1）审：
弄清题意和题目中的数量关系；
（2）设：
用字母表示题目中的一个未知数；
（3）找：
找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；
（4）列：
根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；
（5）解：
解所列的方程，求出未知数的值；
（6）验：
检验方程的解是否符合题意；
（7）答：
写出答案（包括单位名称）．
三、新知讲解
列一元二次方程解应用题的一般步骤
审：
指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；
设：
指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量；
列：
指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
解：
指解方程，即求出所列方程的解；
验：
指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%，等等．
答：
写出答案．
列一元二次方程解应用题的常见题型
传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等．
四、典例探究
1．一元二次方程的应用——传播问题
【例1】（2014秋•剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
总结：
传播问题的基本特征是：
以相同速度逐轮传播.
解决此类问题的关键是：
明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
练1．（2014秋•集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：
将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？
2．一元二次方程的应用——增长率问题
【例2】（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
总结：
增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.
若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前基数为a，增长（或降低）n次后的最后产量是b，则它们的数量关系可表示为a（1±x）n=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注意1与x的位置不能调换.
增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．
练2．（2014秋•丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
3．一元二次方程的应用——与图形有关的问题
【例3】（2014秋•番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米.
总结：
解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.
对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．
练3．（2014•金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．
（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．
（2）怎样围能得到面积最大的草坪？
五、课后小测
一、选择题
1．（2015•山西模拟）九
（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九
（1）班的人数是（ ）
A．39B．40C．50D．60
2．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2015•泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%
4．（2015•江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（ ）
A．18元B．36元C．64元D．80元
5．（2015•槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
6．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染．
7．（2015春•富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是 ．
8．（2015•东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为 m．
三、解答题
9．（2014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
10．（2014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
11．（2014•泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：
该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
12．（2014春•淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．
13．（2014•香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？
14．（2014•红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？
15．（2014•长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
16．（2015•赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：
依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有 28 块，白色瓷砖有 42 块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
典例探究答案：
【例1】（2014秋•剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
分析：
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
解答：
解：
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=121，
x=10或x=﹣12（舍去）．
答：
每轮传染中平均一个人传染了10个人；
（2）121+121×10=1331（人）．
答：
第三轮后将有1331人被传染．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．
练1．（2014秋•集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：
将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？
分析：
设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．
解答：
解：
由题意，得
n+n2+1=111，
解得：
n1=﹣11（舍去），n2=10．
故n的值是10．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．
【例2】（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
分析：
（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据
（1）求出的年增长率就可以求出结论．
解答：
解：
（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8，
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）.
答：
增长率为20%；
（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36（万元）
答：
2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
点评：
本题考查了增长率问题的数量关系的运用，关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解．
练2．（2014秋•丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
分析：
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x），第二次后的价格是60（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答：
解：
设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
60（1﹣x）2=48.6，
解方程得：
x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
答：
平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：
10%．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用﹣﹣增长率（下降率）问题，关键是读懂题意，掌握公式：
“a（1±x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．
【例3】（2014秋•番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的六块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米？
分析：
试验田的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．
解答：
解：
设道路为x米宽，
由题意得20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=504，
整理得x2﹣36x+68=0，
解得x=2，x=34，
经检验x=2，x=34都是原方程的解，但是x=34＞20，因此不合题意舍去．
答：
每条道路的宽度为2m．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外应熟悉以下关系：
整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．本题也可通过平移，把分散的小路集中到一起，得到的试验田为一个矩形，由此可得出方程（x-2x）（20-x）=504，并求解.
练3．（2014•金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．
（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．
（2）怎样围能得到面积最大的草坪？
分析：
（1）可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是
，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解；
（2）根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪．
解答：
解：
（1）设矩形草坪BC边的长为x米，则
x•
=120，
解得x1=12，x2=20（舍去）．
故该矩形草坪BC边的长为12米，．
（2）s=x•
=﹣
x2+16x=﹣
（x﹣16）2+128，
故当矩形草坪长为16米，宽为8米的时候，所围的草坪面积最大．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．（2015•山西模拟）九
（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九
（1）班的人数是（ ）
A．39B．40C．50D．60
解：
设九
（1）班共有x人，根据题意得：
x（x﹣1）=780，
解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），
答：
九
（1）班共有40名学生．
故选B．
2．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
解：
根据题意得：
1+x+x（1+x）=49，
解得：
x=6或x=﹣8（舍去），
则x的值为6．
故选：
B．
3．（2015•泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x%B．1+2x%C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%
解：
根据题意得：
第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）•x%，
故选D
4．（2015•江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（ ）
A．18元B．36元C．64元D．80元
解：
∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，
∴降价后的药品价格为100（1﹣36%）=64元，
设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
100（1﹣x）2=64，
解方程得：
x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去），
第一次降价的价格为100×（1﹣20%）=80元．
故选D．
5．（2015•槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
解：
设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，
根据题意得：
x[x﹣（8﹣x）]=24，
解得：
x=6或x=﹣2（舍去），
故选B．
二、填空题
6．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有 648 人被传染．
解：
设一个患者一次传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=81，
解得：
x1=8，x2=﹣10（舍去），
第三轮被传染的人数是：
81×8=648人．
故答案为：
648．
7．（2015春•富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是 20% ．
解：
设平均每次下调的百分率是x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：
平均每次下调的百分率是20%．
故答案为：
20%．
8．（2015•东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为 2 m．
解：
设路的宽度是xm．根据题意，得
（40﹣2x）（26﹣x）=864，
x2﹣46x+88=0，
（x﹣2）（x﹣44）=0，
x=2或x=44（不合题意，应舍去）．
答：
路的宽度是2m．
三、解答题
9．（2014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：
设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：
x2+x+1=91，
解得：
x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
答：
每支支干长出9个小分支．
10．（2014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=49
x=6或x=﹣8（舍去）．
答：
每轮传染中平均一个人传染了6个人；
（2）49×6=294（人）．
答：
第三轮将又有294人被传染．
11．（2014•泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：
该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
解：
设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．
根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，
解得x1=0.1，x2=﹣3.1（不合题意，舍去）．
答：
该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．
12．（2014春•淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．
解：
设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
20（1﹣x）2=12.8
解得：
x1=0.2，x2=1.8（不符合题意舍去）．
答：
每次降价的百分率为：
20%．
13．（2014•香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？
解：
（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．
根据题意得：
5000（1+x）2=7200，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：
这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，
则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．
答：
预测2014年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．
14．（2014•红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？
解：
设道路的宽应为x米．由题意得：
（80﹣x）（60﹣x）=4524，
化简得：
x2﹣140x+276=0，
解得：
x1=2，x2=138（不符合题意舍去）．
答：
道路的宽应为2米．
15．（2014•长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
解：
设小路的宽为x米，根据题意得：
（40﹣2x）（60﹣2x）=800，
解得：
x=10或x=40（舍去）
答：
小路的宽为10米．
16．（2015•赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：
依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有 28 块，白色瓷砖有 42 块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
解：
（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；
当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；
当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块；
则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），
当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；
故答案为：
28，42；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：
0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，
解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去），
白色瓷砖块数为n（n+1）=240，
黑色瓷砖块数为4（n+1）=64，
所以每间教室瓷砖共需要：
20×240+10×64=5440元．
答：
每间教室瓷砖共需要5440元．
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