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分形理论与波动理论研究

分形理论与波动理论研究

作者：

宋太伟|

前言

    在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。

该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一 --- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N.埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。

在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。

我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。

一、分形理论与自然界的随机系统

    大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。

 欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统（指包括无穷多个元素）的无规运动。

 通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。

 70年代曼德尔布罗特（Mandelbrot,B.B.）通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。

    所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。

 所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。

如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木； 不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。

所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。

说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！

用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。

    一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。

本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。

    下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。

如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。

 由科赫曲线明显可以看出, 不管尺寸如何变化, n=1 时的基本三分图保持形不变！

 这就是自相似性,价格曲线的波动明显包括这种循环叠加、“自我生成”的（信息传递的）演变规律。

科赫曲线是描述海岸线很好的近似，同样由科赫曲线人们会想起价格波动曲线。

科赫曲线的分形维1.2628。

维度是 1·2628的“空间”，简单从距离意义上讲，在其空间中取任意点，与这个固定点有相同“距离”的空间点数（集）比一维空间多（一维即是一条直线，有2个点）而比二维空间少（二维空间是个平面，距离相同点有无穷多并组成一个圆轨迹），甚至最短距离也可能不是“直线”；从“密度”的意义上来讲，1.2628维度空间内的“密度量”正比于该空间中空间尺度单位的1.2628幂次方。

    科赫曲线虽说是个简化的数学模型, 但其形象地显示不管从什么样大小的尺度来考虑,科特曲线总是包含 n=1 时的特征, 曲线的任何一个部分都是整体形状的“缩影”,这是分形的自相似性。

科赫曲线直观地反映了分形的演变内涵，它揭示了客观事物自然演变的一种普遍法则。

 象人类自身的细胞生长, 细菌的繁殖, 植物的生长, 地貌的变化, 海岸线的变迁，天气的变化等等, 无不带有这种以某些特征为传递信息的无穷尽的衍变过程，通过仔细深入研究人们有可能发现这些复杂自然现象的分形特征，分形是普遍存在的。

    分形理论表明，大自然中客观存在的分形现象的分形维大多在1.6—1.7附近，少数在0.6—0.7或2.6附近，这让人想起黄金分割率0.618或1.618。

理论上讲逻辑“空间”的分数维度可以有无穷多个取值，但有意义的肯定是那些特殊数字（我在1983年完成的论文《费尔马大定理研究》中对此逻辑原则作过详尽阐明。

）；因此有理由认为客观事物的分形维基本上应具1.618或0.618或2.618的特征！

也就是说自然界众多庞杂的无规现象具有一定的共同逻辑特征。

通过简单的数学运算可以证明：

任意一个由前两项的和生成随后一项的无穷级数S={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）+a（n）] 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之比a（n+1）/a（n）趋向于1.618的极限；任意一个由前两项的积生成随后一项的无穷级数Q={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）*a（n）] 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之关系趋向于a（n+1）=a（n）^1.618或a（n）=a（n+1）^0.618的极限。

这种关系的意义我将在有关黄金分割率的一节中详细论述，可以说这种关系一定意义上揭示了自然界随机系统分形特性的逻辑基础。

自然界中“无规”变化的事物（或系统）的主要特征是时间上的不可逆性, 这也是自相似性的“基本传递信息”，数学中表现为“时间反演不对称”。

二、价格波动运动的基础与基本特性描述

    大集合体具有某些特征的随机运动是自然界存在的普遍现象之一。

 用数学方法描述即是一个由无穷多个具有某些共同属性的元素组成的系统, 系统内每个元素的某种运动具有不确定性, 描述系统整体的某些变量也具有随机性, 系统的这些随机变量的时间坐标曲线则是一些无规的波动曲线。

 现实生活中属这类性质的曲线很多, 例如气象图、噪声图及有关大气污染、动植物生长状况、人类健康状况、产品质量控制、宏观经济统计数据研究等等方面的某些变量曲线都属于此类。

    系统的随机性并不是说系统的随机变量是不可量度的, 而是说变量的不可精确预测性； 换句话说, 我们只能知道变量的历史及当前已经发生的数值, 将要发生的数值是不能精确确定的。

 这就确定了变量曲线的随机波动基础。

一般情况下, 大集合体（或大系统）的运动过程是渐进的或者说是连续的过程, 不是跳跃式的或突变式的；更严格地讲, 大系统从一个均衡状态演变到另一个均衡状态是经历了无穷多个“时间单位状态”的运动, 系统每个单位时间状态对应一个随机变量数值；无穷多个随机变量数值对应有限个“宏观均衡状态”必然产生宏观变量的随机性, 同时随机理论证明变量的随机变动是围绕某一平均值附近进行的, 这就决定了系统宏观变量曲线的波动性及连续性（当然不是平滑性和均匀性）。

 曲线（或图表）连续性是技术分析的基本假设之一。

    一般国家或地区（或全球性）的证券市场因其公开（信息化）、公平（自由竞争）、快捷严格（无实物交易并迅速结算）的交易制度及有无数交易者参与, 构成典型的价格指标随机波动系统。

价格波动的直接因素是未来时间内参与交易者的数量及建立头寸的位置、方向、数量都是不可精确测度的, 间接因素或过程因素则是由于影响买卖交易的信息传播、资金供应、不同交易者的心理状态变化等等方面总体方面是不可测的。

 价格的随机波动是绝对的，时间越短交易量越大价格波动的随机性就越强。

价格随机波动的一个重要推论是一般情况下（参与交易者少及停板状态除外）,同一位置买和卖都是有赚钱机会的！

 真正赚钱与否关键要看交易者的心态与交易操作是否迅速果断；市场交易量越大，价格波动就越频繁，短线的机会就越多。

一个流动性较强的交易过程（集合），价格的随机波动总是包含某种平均趋势。

这也是传统技术派推崇的道氏趋势理论的基础。

 价格指标曲线的趋势性是国民经济发展的周期运动所决定的。

 曲线的趋势性是指在一定时期内价格或指数随机波动运动中总体上包含向一个方向（向上、向下、横向等）运动的趋势。

 在正常的市场经济条件下经济运动的周期性大致可以解释成:

 一个国家或地区的经济因为某些环境、政策等因素的驱动, 使得某些重要行业或整个社会原有的供求平衡关系发生了变化, 假如需求开始不断增长, 由此引发生产的增长, 由于整个社会经济单元互相关连, 社会需求与社会供给互相推动共同增长（良性循环）, 整个经济呈现繁荣景象； 随着经济的不断发展, 各种新的矛盾不断出现, 如果随着时间的推移这些新的矛盾能在内外因素的影响下合理钝化, 那么整个经济将在更高层次的均衡状态下运行, 否则矛盾的激化最终必将破坏良性发展的供求关系, 由相互促进转变为相互抑制, 最终导致经济的（相对）衰退。

由于各类经济活动与相关政策的运作在时间和空间上都有“很难量化的距离”, 经济整体运动的“惯性”很大, 所以一般经济运行的周期是比较长的。

反映经济运行状态及商品供求关系的价格指数曲线自然也会表现出同样的整体运行趋势, 只是由于交易的信息化和资金化, 经济发展的趋势又首先从信息及资金的供应状况表现出来, 所以指数曲线的走势总是超前于经济运行的实际状态。

    周期性是自然界发展变化的基本规律之一， 经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复； 总体上讲人类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。

与经济发展密切相关的证券价格指数的走势变化也是如此，传统技术派基本假设之一 “历史是会重演的”是不确切的。

用分形理论来分析, 价格的随机波动曲线具有“自相似性”。

价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线一样表现为精确的几何图形，随机性是这种曲线走势的基本特征；曲线自相似性的意义是突出随机过程中的关联效应, 抽象地谈分形对分析价格曲线的未来走势是无意义，我将在后面专门阐明价格走势的分形问题。

传统技术派的经验论断是值得怀疑的，R.N.ELLIOT的8波理论只是众多抽象化分形中的一个形态，由此发展起来的所谓‘波浪理论’的实际应用价值不大；对同一种价格波动曲线不同的‘波浪理论’使用者往往得出不同的甚至是相反的结论即很好的说明了这一点。

    传统图表分析派认为, 市场的价格（指数）走势波动曲线, 包融了一切影响价格变动的因素。

 在逐利竞争交易的市场中, 价格的升降成为交易者追求的直接目的, 加上交易手段及信息传播的现代化, 市场的投机性增强, 往往许多价格曲线的短期波动走势与基本的“供求关系”不一致； 换句话说, 供求关系的决定作用可能在某些特殊的交易过程中没有意义, 市场价格走势并不总是“合理”。

另一方面，市场的价格变动反过来又影响市场本来要反映的因素。

图表走势包融的一切因素, 应该融在整个过程中。

既然交易者对市场所包融的一切没有确定的认识，或者说对市场中所发生的和将要发生的一切都存在上认识的不确定性, 这种假设是无短线意义的。

三、黄金分割率与分形的关系及其在客观现实世界中的存在机理

    黄金分割率 0.618 是一个比率数, 其几何意义是一个线段按黄金率分割成的两条线段之比是两条线段中较长的一条与原线段之比, 都是 0.618。

    假设线段长度为 1 个单位, 分成 A 和 B 两段, 则 A + B = 1 

    令 A = 0.382 ,  B = 0.618 , 则 A/B = B/1 , B*B = A , B/A = 1/B

    简单的运算可知:

 0.618*0.618=0.382, 0.618*1.618=1, 0.618/0.382=1.618

1/.382=1.618/0.618=2.618, 1.618*1.618=2.618. 黄金率主要是指0.618或其倒数1.618, 0.382或其倒数2.618则次之, 其它数字如0.191, 0.236等都不是“黄金率”。

同样，我认为维度D=0.618空间是对D=1的一维空间的‘黄金分割’，D^0.618*D^0.382=D^1，维度D=1.618空间是D=0.618空间与D=1空间的（垂直）叠加；维度D=2.618空间是D=1.618空间与D=1空间的（垂直）叠加。

可以认为，维度D=1.618空间是二维空间的一个特殊子空间，该子空间在二维空间中的“表现”就是一个完整的分形！

分形维是决定分形的内在机理。

理论研究表明，D=0.618分形维是最重要的，（当然也是1.618与2.618分形维的逻辑基础）。

从空间的概念来讲，维度D=0.618的逻辑空间是由无穷多的、不连续的、分布不均匀的（“点的密度”与一维空间的测量尺度呈0.618的指数关系）“点域”组成的“实数空间”，所谓“点域”可简单理解为一个数及其最临近数组成的数集。

分数维“空间”这种离散性（不连续性）与不均匀性决定了 1〈D〈2 分形维在二维空间的分形图案。

现实世界中最有意义的分形维其D都在1.618（或0.618或2.618）附近，其分形图案最具代表性的：

一是呈一定中心对称性的向外发散型如闪电、粒子的扩散置限聚集（模型）、细菌的繁衍生长模型、树枝等，如附图二附图三附图四所示；二是平面展开型如海岸线、白云的平面轮廓等。

不平滑性、不相交性、一定程度上形状的相似性是这些图示分形（图案）的共同特点。

    第一节已经讲过，任何一个由前两项之乘积生成随后一项的无穷级数数列Q={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）*a（n）], 其中n=1,2,3,…,∞}，其相临两项的关系趋近1.618（或0.618）的极限指数关系，即a（n+1）=a（n）^1.618 或 a（n）=a（n+1）^0.618；而相临两项的对数比趋于极限关系loga（n+1）/loga（n）=1.618，同时loga（n+2）=loga（n+1）+loga（n），即Q级数又对应一个由相临两项之和生成随后一项的无穷级数 S 。

另外，假设级数Q的第一与第二项分别为a

（1）和a

（2），则Q级数的第n项a（n）是多个a

（1）和多个a

（2）的乘积，具体为a（n）=a

（1）^f（n-2）* a

（2）^f（n-1），其中f（n-1）和f（n-2）分别为FIBONACII级数的第（n-1）项与第（n-2）项（见下面）；假如a

（1）=a

（2）=a , 则 a（n）=a^f（n） 。

妙就妙在乘积逻辑上，如果我们将a

（1）或a

（2）甚至更多的项作为具有某种特殊意义的“传递因子”，其众多的乘积结果不就是包含层层“传递因子”的分形吗？

！

在这里自相似性也就是“传递因子”的某种特征的“层层表现”。

可以非常简单地设想D=0.618空间是由无穷多个Q类级数所构成的，由于该空间的“点”不连续（指离散），所以距离（或线或面）的概念无意义（因此该空间“点”在二维空间的“连线”呈现曲折波浪是必然的）。

进一步研究表明，D=0.618空间的“点”具有“不独立性”与“不可重复性”，可理解为临近关联性和排他性。

任意一个分形维空间的相关“点集”，对应（或代表）一个特定的信息向量（可以理解为一个信息集）。

客观事物的运动变化并不总是均匀的、可重复的，不均衡变化、不可逆性、具有相关性（或者说记忆性）是自然界普遍存在的现象，任何繁杂的看似无规的自然（或社会）现象，都存在一定的内在联系，而且越是“相接近”关联性就越强；同时每个具体的事物都具有区别于其他同类事物的个性特点（排他性）。

这说明自然界的“随机性”并不是无任何规律的。

分形维的逻辑基础正是建立在这些自然法则之上，因此可以说分形维空间的逻辑规则与推论，一定程度上揭示了自然界众多无规现象的内在规律。

进一步研究表明，任何繁杂的自然系统（现象），最普遍的（或者说普遍存在的）相关性是“量”的叠加（和逻辑）与“质”（信息量）的非线性扩张（乘数或指数关系）----这正是自相似性的本质。

这也是黄金分割率在现实世界中普遍存在的逻辑基础，因为体现自然界这种“和逻辑关系”的任意无穷级数S的相临两项之比趋于黄金分割率极限，而体现自然界这种“积逻辑关系”的任意无穷级数Q的相临两项的对数之比同样趋于黄金分割率极限。

 这种普遍规律表明:

 大集合中的元素如果具有无穷尽的叠加衍生（运动）关系, 整体上必然表现某种与黄金率0.618（或1.618）有关系的特征。

发现黄金分割率在波动曲线中的存在是ELLIOT最有价值的贡献。

    一定程度上具有零和比赛规则的证券及外汇市场中的交易活动是典型的大集合意义上的叠加运动, 交易本身是一个和逻辑游戏, 具有结合律与分配律规则。

市场上的交易活动与以前的甚至是很长一段时间内的交易活动都有叠加逻辑关系, 因此价量走势图表中表现出与黄金率有一定关系是自然的。

 可以想象, 充分体现黄金率的图表时间区间应是一个相对完整的交易周期, 这是正确使用黄金率的前提, 反过来又是确定一个完整交易周期的方法。

    ELLIOT波浪理论将黄金分割率在 FIBONACII 级数中的特殊表现主观地作为了其在价格走势研究中的应用基础。

FIBONACII级数是一个由 1 这个自然数生成的无穷自然数级数:

 1，1,2,3,5,8,13,21,34，55，...； 其中每一项是其前面相邻两项的和, 该级数有一个非常有趣的关系是其每相邻两个项的比值 [表示为 a（n）/a（n+1）] 随着项的增大趋向于 0.618 黄金率极限, 级数相隔两项之比[表示为a（n）/a（n+2）]趋于0.382。

前面讲过这种关系并不是 FIBONACII 级数所独有, 任何一个由前两项之和生成随后一项的无穷级 S={a（n）[a（n+2）= a（n+1）+a（n）],n为自然数} 都具有这种性质, FIBONACII级数仅是这种级数的一个特例, 用其项数字 ---3,5,8,13,21,34,55,89,144等去数价格曲线的‘波浪数’显然是幼稚的。

四、价格波动曲线的基本分形形态及价量关系 

    商品的价格曲线或价格指数曲线是价格或指数随时间变化的坐标曲线。

时间是连续发展的，而价格或价格指数是D=0.618分形维空间的“变量”（或者说价格或价格指数的变化符合D=0.618分形维空间性质），因此可以认为价格时间曲线具有1.618分形维，价格曲线的波动性是必然的，同时曲线具有自相似性。

波动幅度（指相临波动浪）相比的1.618（0.618）关系是这种自相似性的基本特征之一。

分形维的特点已经决定价格的波动曲线永远不可能重复前者，只是一定程度上的形似。

中心对称空间（极坐标）的分形基本单元为“三树枝”结构，平面直角坐标系下的时间价格曲线的基本分形单元为“类N字”结构，分别见下图所示。

图中所示的线段a、b、c的“长度或幅度”具有黄金分割率关系，类N字结构中的点1、2、3、4 是D=0.618分形维空间的相关点。

    根据分形单元的“类N字”结构，正常的证券外汇期货交易市场的价格或指数的波动曲线的基本波动形态（分形单元）， 包括两种基本结构共十种形态，如下图所示, 其中a、b、c含有一定的黄金分割率关系。

    分形图

（二）中的分形单元的a、b、c波线都可以单独分裂出更小层次的类N字型单元，例如正类N字型单元

（1）常见以下几种分裂图形，见图形（三）。

    周期是一个相对的概念，其本身也具有自相似性。

广义上讲，一个运动变化的系统，其某一描述系统全貌的量（信息量）从小到大再从大到小的变化过程，就是一个相对完整的周期。

对价格曲线来讲， 曲线的价格与成交易量（或者说价量关系）由小逐渐增大到某一最大值以后又逐渐减少到某一最小值即为一个完整的周期。

当然这个周期可能是包括一个更大的最大值的另一个更大周期的一个组成部分；从另一方面讲该周期可能又包含较为小的价量变化周期。

价格和指数在大小周期更替演变过程中走出跌宕不定的行情。

从周期的概念与基本分形单元的构造来看，一般只有正类N字型单元与反类N字型单元共同组成的图形结构才可能是一个相对完整的周期。

这也符合自然界阴阳互补的法则。

    格随机波动曲线都是由分形图

（二）的十种单元以某种层次变化关系组合而成。

价格曲线最常见的波动型是由图

（二）中类N字型单元

（1）

（2）（6）（7）组成的以下四种组合形态（图四所示）。

这四种波动形态都是由两个对应的类N字型单元组成, 这四种组合波形一般在反转或转势时期发生，黄金分割率关系在这四种形态中往往表现得比较充分。

价格指数波动变化的这种形态规律, 是由大集合体随机运动过程中因为具有叠加衍生逻辑所包含的黄金率关系的特征所决定的。

各种分形形态按不同的周期层次“连接”，组成价格波动曲线。

    另外，ELLIOT的八波形态也比较多见，如图形（五）所示，其可以看作图形（四）的一个升（或降）波线分裂成一个类N字型单元而形成。

    由前面所讲的分形理论可知，ELLIOT 的八波形态只是价格曲线繁杂无穷尽的分形图中的一种简单化形态, ELLIOT 波浪理论的最主要部分是以八波假设为前提的， 所以其相关推论及许多技术分析师在其理论基础上的所谓深度发展都是无意义的。

    在本节最后，谈谈如何判断“最近未来”的走势问题。

参考图（六）所示，仅仅从判断图

（1）很难判断a线为什么到2点停止，b线为什么停在3点，因为与1点有D=1.618分形关系的不只是2和3两个点。

需要从大与小多个视角来考虑，比如借助判断图

（2）来考虑abc与ABC的关系，以及考虑abc各自本身在小时空尺度内（或小周期内）的具体走势形态。

以判断图

（2）的2点为例，a和C有黄金率关系，2点又与m点对应（受m点“支撑”），a线在2点转折的可能很大，如果a线的小时间单位尺度内的走势表明在2点的买盘相对于抛盘来讲非常积极，那么2点肯定是a线的停止点。

同理，3点的出现使abc和ABC有可能组成较完美的类N字型周期分形结构，因此这种走势出现的机会较多。

分析其它具体走势可以依此类推。

     以上分析表明， 价格曲线的分形形态，是对其具体对应的价量关系的一种逻辑描述，价量关系是曲线分形的“质”，价量关系的宏观（长时间）与微观（短时间）的准确判断无疑是正确确定价格曲线走势形态的基础手段。

    价格与成交量的基本关系可以表述为:

    1、盘势过程中, 价格变化和成交量都不大，波动曲线较密集；盘势中成交量不断增大, 波动曲线密集区开始放大，预示价格有上涨的可能。

    2、升势中成交量不断放大而且可能进一步放大, 预示价格将继续上扬或再创新高，图形波幅将不断放大；升势中成交量变小预示当前升势将结束或停止（非均衡状态除外，如明显的消息刺激或大户操纵等）。

    3、跌势中成交量变小或无变化, 预示跌势将继续； 反之, 跌势可能将结束或停止；高位盘