新教材人教A版必修第一册322 奇偶性.docx

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新教材人教A版必修第一册322奇偶性

3.2.2　奇偶性

最新课程标准：

结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.

知识点　偶、奇函数

1．偶函数的概念

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数（evenfunction）．

2．奇函数的概念

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（oddfunction）．

3．奇、偶函数的图象特征

（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

（2）偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

　奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．

[教材解难]

　教材P85思考

（1）利用定义判断奇偶性，函数f（x）＝x3＋x的定义域为R，对每一个x，都有f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．

（2）由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象．如图所示．

（3）我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．

[基础自测]

1．设f（x）是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是（　　）

A．f（－x）＋f（x）＝0　　　B．f（－x）－f（x）＝0

C．f（x）·f（－x）<0D．f（0）＝0

解析：

由偶函数的定义知f（－x）＝f（x），

所以f（－x）－f（x）＝0，f（－x）＋f（x）＝0不一定成立．

f（－x）·f（x）＝[f（x）]2≥0，

f（0）＝0不一定成立．故选B.

答案：

B

2．下列函数为奇函数的是（　　）

A．y＝|x|B．y＝3－x

C．y＝

D．y＝－x2＋14

解析：

A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．

答案：

C

3．若函数y＝f（x），x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为（　　）

A．－2B．2

C．0D．不能确定

解析：

因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.

答案：

B

4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．（填序号）

解析：

（1）（3）关于y轴对称是偶函数，

（2）（4）关于原点对称是奇函数．

答案：

（2）（4）　

（1）（3）

题型一　函数奇偶性的判断[教材P84例6]

例1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；

（3）f（x）＝x＋

；

（4）f（x）＝

.

【解析】　

（1）函数f（x）＝x4的定义域为R.

因为∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），

所以，函数f（x）＝x4为偶函数．

（2）函数f（x）＝x5的定义域为R.

因为∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）5＝－x5＝－f（x），

所以，函数f（x）＝x5为奇函数．

（3）函数f（x）＝x＋

的定义域为{x|x≠0}．

因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f（－x）＝－x＋

＝－

＝－f（x），

所以，函数f（x）＝x＋

为奇函数．

（4）函数f（x）＝

的定义域为{x|x≠0}．

因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，

且f（－x）＝

＝

＝f（x），

所以，函数f（x）＝

为偶函数.

奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域，再由奇偶性定义，

满足f（－x）＝f（x）是偶函数，f（－x）＝－f（x）是奇函数．

教材反思

函数奇偶性判断的方法

（1）定义法：

（2）图象法：

若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．

跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x2（x2＋2）；

（2）f（x）＝|x＋1|－|x－1|；

（3）f（x）＝

；

（4）f（x）＝

解析：

（1）∵x∈R，∴－x∈R.

又∵f（－x）＝（－x）2[（－x）2＋2]＝x2（x2＋2）＝f（x），

∴f（x）为偶函数．

（2）∵x∈R，∴－x∈R.

又∵f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－（|x＋1|－|x－1|）＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

（3）f（x）的定义域为[－1,0）∪（0,1]．

即有－1≤x≤1且x≠0，

则－1≤－x≤1，且－x≠0，

又∵f（－x）＝

＝－

＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；

当x<0时，－x>0，f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）．

综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数．

先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．

题型二　函数奇偶性的图象特征[经典例题]

例2　设奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）<0的解集是________．

【解析】　由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f（x）在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f（x）<0的解集为{x|－2

【答案】　{x|－2

根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f（x）<0的解集.

方法归纳

根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．

跟踪训练2　如图，给出了偶函数y＝f（x）的局部图象，试比较f

（1）与f（3）的大小．

解析：

方法一　因函数f（x）是偶函数，

所以其图象关于y轴对称，补全图如图．

由图象可知f

（1）

方法二　由图象可知f（－1）

又函数y＝f（x）是偶函数，

所以f（－1）＝f

（1），f（－3）＝f（3），

故f

（1）

方法一是利用偶函数补全图象，再比较f

（1）与f（3）的大小；

方法二f

（1）＝f（－1），f（3）＝f（－3），观察图象判断大小．

题型三　利用函数奇偶性求参数[经典例题]

例3　

（1）设函数f（x）＝

为奇函数，则a＝________；

（2）已知函数f（x）＝

是奇函数，则a＝________.

【解析】　

（1）方法一（定义法）　由已知

f（－x）＝－f（x），

即

＝－

.

显然x≠0得，x2－（a＋1）x＋a＝x2＋（a＋1）x＋a，

故a＋1＝0，得a＝－1.

方法二（特值法）　由f（x）为奇函数得

f（－1）＝－f

（1），

即

＝－

，

整理得a＝－1.

（2）（特值法）　由f（x）为奇函数，

得f（－1）＝－f

（1），

即a×（－1）2＋（－1）＝－（－12＋1），

整理得a－1＝0，解得a＝1.

【答案】　

（1）－1　

（2）1

利用定义法求a，也可利用特值法f（－1）＝－f

（1）．

方法归纳

由函数的奇偶性求参数应注意两点

（1）函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．

（2）利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．

跟踪训练3　

（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝________，b＝________；

（2）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.

解析：

（1）由f（x）为偶函数知，其定义域关于原点对称，

故有a－2＋2a＝0，解得a＝

.

又f（x）为偶函数，所以其图象关于y轴对称，

即－

＝0，解得b＝0.

（2）由f（x）为奇函数得f（－x）＝－f（x），即f（－x）＋f（x）＝0，

所以a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝0.

即2ax2＝0，所以a＝0.

答案：

（1）

　0　

（2）0

（1）函数具有奇偶性，定义域必须关于（0,0）对称．

（2）f（0）＝0？

题型四　函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]

例4　已知奇函数y＝f（x），x∈（－1,1），在（－1,1）上是减函数，解不等式f（1－x）＋f（1－3x）<0.

【解析】　∵y＝f（x），x∈（－1,1）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（1－x）＋f（1－3x）<0可化为f（1－x）<－f（1－3x），

即f（1－x）

又∵y＝f（x）在（－1,1）上是减函数，

∴f（1－x）

⇔

⇔

∴0

.即不等式解集为

.

　1.由奇函数得f（－x）＝－f（x）．

2．函数单调递减，若f（x1）x2.

3．定义域易忽略.

方法归纳

1．函数奇偶性和单调性的关系

（1）若f（x）是奇函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．

（2）若f（x）是偶函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．

2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法

（1）充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）>f（x2）或f（x1）

（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．

跟踪训练4　

（1）已知函数y＝f（x）在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f（1－a2）＋f（1－a）<0，求实数a的取值范围．

（2）定义在[－2,2]上的偶函数f（x）在区间[0,2]上单调递减，若f（1－m）

解析：

（1）由f（1－a2）＋f（1－a）<0，得f（1－a2）<－f（1－a）．

∵y＝f（x）在[－1,1]上是奇函数，∴－f（1－a）＝f（a－1），∴f（1－a2）

又f（x）在[－1,1]上单调递减，

∴

解得

∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1）．

（2）∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（|x|）．

∴f（1－m）＝f（|1－m|），f（m）＝f（|m|）．

∴原不等式等价于

解得－1≤m<

.

∴实数m的取值范围是

.

（1）可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．

（2）两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．

一、选择题

1．下列函数是偶函数的是（　　）

A．y＝2x2－3　　　B．y＝x3

C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x

解析：

对于A，f（－x）＝2（－x）2－3＝2x2－3＝f（x），∴f（x）是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.

答案：

A

2．函数f（x）＝

－x的图象（　　）

A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称

C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称

解析：

∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝－

－（－x）＝x－

＝－f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称．

答案：

C

3．如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，则f（－2）＋f（－1）的值为（　　）

A．－2B．2

C．1D．0

解析：

由图知f

（1）＝

，f

（2）＝

，

又f（x）为奇函数，所以f（－2）＋f（－1）＝－f

（2）－f

（1）＝－

－

＝－2.故选A.

答案：

A

4．已知f（x）＝ax3＋bx＋1（ab≠0），若f（2019）＝k，则f（－2019）＝（　　）

A．kB．－k

C．1－kD．2－k

解析：

∵f（2019）＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，则f（－2019）＝a（－2019）3＋b·（－2019）＋1＝－[a·20193＋b·2019]＋1＝2－k.

答案：

D

二、填空题

5．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析：

∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，

∴a－1＋2a＝0，∴a＝

.又f（－x）＝f（x），

∴b＝0，∴a＋b＝

.

答案：

6．已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．

解析：

因为f（x）是奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以（－3）2＋a（－3）＝－6，解得a＝5.

答案：

5

7．定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f

＝0，则满足f（x）>0的x的集合为____________．

解析：

由奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f

＝0，得函数y＝f（x）在（－∞，0）上递增，且f

＝0，∴x>

或－

答案：

三、解答题

8．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝x2－x3；

（3）f（x）＝|x－2|－|x＋2|；

（4）f（x）＝x2＋

（x≠0，a∈R）．

解析：

（1）∵函数f（x）＝

的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．

（2）f（x）的定义域为R，是关于原点对称的．

∵f（－x）＝（－x）2－（－x）3＝x2＋x3，又－f（x）＝－x2＋x3，

∴f（－x）既不等于f（x），也不等于－f（x）．

故f（x）＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．

（3）方法一（定义法）　函数f（x）＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．

∵f（－x）＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－（|x－2|－|x＋2|）＝－f（x），∴函数f（x）＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．

方法二（根据图象进行判断）

f（x）＝|x－2|－|x＋2|＝

画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数．

（4）当a＝0时，f（x）＝x2为偶函数．

当a≠0时，f（x）＝x2＋

（x≠0），取x＝±1，得f（－1）＋f

（1）＝2≠0，f（－1）－f

（1）＝－2a≠0，即f（－1）≠－f

（1），f（－1）≠f

（1），∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f（x）为偶函数．

9．已知函数f（x）＝1－

.

（1）若g（x）＝f（x）－a为奇函数，求a的值；

（2）试判断f（x）在（0，＋∞）内的单调性，并用定义证明．

解析：

（1）由已知g（x）＝f（x）－a得，

g（x）＝1－a－

，

∵g（x）是奇函数，∴g（－x）＝－g（x），

即1－a－

＝－

，

解得a＝1.

（2）函数f（x）在（0，＋∞）内为增函数．

证明如下：

设0

＝1－

－

＝

∵00，

从而

<0，即f（x1）

∴函数f（x）在（0，＋∞）内是增函数．

[尖子生题库]

10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2－2x.

（1）求出函数f（x）在R上的解析式；

（2）画出函数f（x）的图象．

解析：

（1）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，

则f（0）＝0；

②当x<0时，－x>0，∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，

综上，f（x）＝

（2）图象如图：