哥德尔的抽象直觉与胡塞尔的本质直观.docx
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哥德尔的抽象直觉与胡塞尔的本质直观
哥德尔的抽象直觉与胡塞尔的本质直观
刘晓力
摘要:
作为20世纪最伟大的逻辑学家和数学家哥德尔（KurtGōdel,1906-1978）,是以不完全性定理闻名于世的。
出乎人们意料的是，近年来公布的大量手稿告诉我们，哥德尔自1940年从维也纳移居美国后，几乎大部分精力用于哲学研究。
可以说，哥德尔不仅以精湛优雅的逻辑和数学工作为世人作出了巨大贡献，还以卓然深刻的思想为后人留下一笔丰厚的哲学遗产。
0.哥德尔对胡塞尔情有所钟
作为20世纪最伟大的逻辑学家和数学家哥德尔（KurtGōdel,1906-1978）,是以不完全性定理闻名于世的。
出乎人们意料的是，近年来公布的大量手稿告诉我们，哥德尔自1940年从维也纳移居美国后，几乎大部分精力用于哲学研究。
可以说，哥德尔不仅以精湛优雅的逻辑和数学工作为世人作出了巨大贡献，还以卓然深刻的思想为后人留下一笔丰厚的哲学遗产。
1959年起哥德尔开始系统研读胡塞尔现象学，几乎拥有胡塞尔所有的重要著作，手稿中有大量的批注和笔记，虽然他对胡塞尔的《欧洲科学危机与超验现象学》及后期的某些著作颇有微词，也未必满意从现象学中所获得的东西，但哥德尔对胡塞尔基本上持肯定态度，[1]特别对《现象学观念》和《笛卡儿沉思》以及胡塞尔自唯心主义转向之后的著作流露出赞赏之意，甚至60-70年代，他还多次向其他逻辑学家推荐胡塞尔的《逻辑研究》中专论本质直观的"第六研究"。
何以哥德尔对胡塞尔现象学抱有如此大兴趣，并能与之产生某种共鸣？
事实上，在1959年之前，哥德尔就在多种场合表达了许多与胡塞尔的现象学实在论和本质直观论颇为相似的观点，阅读胡塞尔著作后，他发现，胡塞尔所倡导的建立"作为严格科学的哲学"理论构想，有可能为他自己关于数学基础研究中的大部分思想提供系统化阐释的理论框架，自己始终坚守的理性主义更是胡塞尔高扬的一面旗帜，因此他对胡塞尔哲学倾注了近10年的热情进行研究。
1.与胡塞尔哲学基本目标的一致
如所周知，胡塞尔是通过研究逻辑学和心理学走向哲学基础的探索之路的，他在对心理主义、自然主义、历史主义以及形形色色的相对主义和怀疑主义进行批判的基础上所创立的现象学极其效应，形成了20世纪西方几大哲学运动之一的现象学运动。
1883年获得数学博士学位后，胡塞尔很快转向逻辑和哲学的研究，以至后来对一般哲学产生巨大兴趣并尝试建立新的哲学基础。
[2]在著名的《逻辑研究》（1900/01）出版后，胡塞尔沉默了整整10年，又出版了他的《作为严格科学的哲学》一书（1910），"如今这本书基本上被看作带有胡塞尔签名的现象学宣言。
"
在这部著作中胡塞尔疾呼，自古以来哲学便致力于成为一门严格的科学，但哲学在任何时期都没能满足这个要求。
这些努力的唯一结果是严格的自然科学和精神科学以及各门新的纯粹数学学科的建立，哲学本身却依然如故地缺乏严格科学的特征。
如今哲学不仅是一门未完善的科学，而且根本还不能称其为一门科学，它作为科学的生命尚未开始。
因此，目前至关重要的是要进行一场"哲学变革"：
在严格的意义上彻底重建哲学。
[3]可以说，胡塞尔一生都在致力追求这一明确的理性目标，虽然经过毕生的努力，他认识到自己有生之年所做的工作最多不过是为这座大厦"测量地基"，作为严格科学的哲学仍是一个"无穷远点"，但他坚信，重要的是确立工作方向并为实现这样一个永久性目标而努力。
作为数学家、逻辑学家和带有浓重传统色彩的理性主义者，哥德尔深得古希腊以来的理性主义哲学的滋养，1925年起就是一个数学客观主义者和概念实在论者，而且在阅读胡塞尔之前，已经仔细研究了柏拉图、莱布尼兹和康德。
哲学上他更赞同柏拉图和莱布尼兹，却不赞成康德的二元论和把直觉限定为感性直观的见解。
从逻辑实证主义者对科学确定性的追求最终走向了怀疑论和经验论的历史教训中，哥德尔深知哲学严格性和明晰性的意义，期望把自然科学、数学和逻辑的精确方法拓展到哲学研究中，在持续6年之久撰写批判逻辑实证主义的文章（*1953/1959？
）的过程中，哥德尔更体会到，他的概念实在论必须建立在一个较先前更加坚实，更加可靠的基础之上。
正是在这种背景下，哥德尔看到现象学恰好对于论证他的概念实在论的合理性，论证抽象数学直觉的重要性等问题，有可能提供一种理论基础。
哥德尔的概念实在论主张"类和概念也可以看作实在的对象，即把类看作是事物的杂多，或由杂多组成的结构，把概念看成是不依赖我们的定义和构造而存在的事物的性质和关系。
......假定这样的对象正如假定物理的客体一样是完全正当的，而且有同样足够的理由相信它们的存在。
"
他的柏拉图主义数学观体现在如下基本原则中：
反对数学中的经验论和语言约定论，坚持数学的先验性；承认数学概念的实在性和数学真理的客观性，承认数学命题描述了可知的数学概念世界的实在性；主张抽象数学直觉是把握概念本质的基本认知能力，断定对高度超穷的数学真理的认识必须从直觉之泉汲取养料。
哥德尔从40年代就提出建立作为严格科学的哲学主张，但哲学要成为严格的科学，首先必须具备完整的体系形态，使其各部分都能从具有确定性的基本概念和基本原理推导出来，因此哥德尔主张，"应当像牛顿在物理学中所做的那样去探讨形而上学"，
应当遵循莱布尼兹单子论的路线去探索哲学。
特别是应当把概念分析视作第一哲学的形而上学的核心任务，哥德尔甚至还尝试给出过建立这种形而上学的几个初始概念，并提出一些建立公理的原则。
接触胡塞尔著作后，他似乎从现象学中找到了莱布尼兹哲学精神的延续，而他认为，胡塞尔超越莱布尼兹之处正是哥德尔始终强调的对概念的分析。
可以说，哥德尔在哲学中的重要使命就是借现象学之助，发展某种意义上取莱布尼兹单子论形式的形而上学，从而使哲学转变为一种精密理论，或称"严格的科学"。
他相信总有一天哲学能够成为一个体现基本真理的自主的理论，而且这种哲学将在几百年或者更短的时间内发展起来。
由此可见，哥德尔与胡塞尔首先在哲学的基本目标上有着极大的共鸣之处。
2.对希尔伯特元数学方案的质疑
在1961年为美国哲学学会会员大会准备的一篇报告《从一般哲学观看数学基础的现代进展》中，哥德尔以大量篇幅集中对胡塞尔哲学给予了评价，但其中许多涉及人类认知，包括数学认知在内的思想却是哥德尔先前在一些哲学论文和手稿（*193？
，1944，1947，*1951，1958，*1953/59）中阐述的基本观点的进一步深化和拓展。
整篇文章从一个侧面无疑可以说,描绘了一条由不完全性定理通往胡塞尔现象学的道路。
[4]
在他看来，自文艺复兴以来，哲学已经从整体上发生了从右倾立场向左倾立场的"偏执转向"，但是由于数学作为一种先验科学的本性以及它越来越具有抽象性的特征，总有一种与时代精神相背离的右倾倾向。
20世纪初的数学基础危机的意义曾被某些怀疑论者和经验论者过分夸大，并且"拿来作为左倾膨胀的借口"，希尔伯特等人的元数学方案就是企图一方面迎合时代的左倾精神，一方面又要按老式右倾观念保全数学本性的一种努力。
为了摆脱数学基础危机，希尔伯特设想，能够使用具体的、有穷的方法，获得对于算术的皮亚诺公理系统，以及所有更高等的数学的形式系统的一致性证明，以确保整个数学的确定性。
这里的证明，特别是指在类似原始递归算术的系统PRA（它可以看作PA的子系统）中可实施的证明，这就预先假设了我们只需考虑先于我们思想的，被直接给予的具体对象及其组合性质，即那些仅仅涉及有穷数目的、离散的、在时空中能够即刻直观到的对象的性质，而不必考虑形式化过程所包含的符号的意义（超不出可数无穷的范围）。
希尔伯特这种按照时代精神和老式右倾观念挽救数学的努力显然受到了不完全性定理的沉重打击。
因为哥德尔1931年已经指出，即使对于初等数论的形式系统，都存在不可判定的命题。
而且对于一切较丰富的数学形式系统，仅仅借助对具体对象的组合性质的反思，不可能实施该系统的一致性证明。
换句话说，PA（或PRA）的一致性证明所必需的对象和概念绝不是那些仅仅依赖于具体直观能够感知的、在时空中完全可描述的、有穷的、离散的对象及其组合性质，因为一致性证明必须诉诸某种非有穷对象和抽象概念以及这些概念的意义分析。
这显然远远超出了希尔伯特所限定的具体直观的范围，需要更高层次的哥德尔意义的抽象直觉，需要来自对证明中的符号组合的意义进行深刻反思的某种洞察，[5]
以哥德尔*1961中的表述，需要一种胡塞尔意义的本质直观。
3.对卡尔纳普语言约定论的批判
另一种受到哥德尔批判的试图以时代精神改造数学的左倾立场是逻辑实证主义者卡尔纳普等人主张的语言约定论。
哥德尔曾被看作维也纳学派值得骄傲的成员，并且是逻辑实证主义的坚定支持者，这是一个历史的误解。
从各种渠道我们可以了解到，虽然哥德尔20-30年代在维也纳大学读书和教学时，适逢其时领略了如日中天时期的维也纳学派早期风采，定期参加维也纳小组活动，甚至与维也纳学派个别领导人私人关系密切，但他从未赞成过他们的哲学立场，也从未在任何公开场合表达过自己相反的见解，对当时占统治地位的这一"官方立场"始终保持缄默，直到50年代后，哥德尔才在他的哲学手稿中对这一学派的某些基本观点给予尖锐批判。
哥德尔曾指出，维也纳学派所倡导的逻辑实证主义"没有正待我们的知识，尤其是对数学本质的理解是错误的"。
而且"逻辑实证主义的一个恶劣影响是宣称自己与数理逻辑紧密相关。
他们倾向于把自己的哲学表现为一种逻辑的结果--为的是给它加上科学的威严。
而其他哲学家以为逻辑实证主义就是数理逻辑，因此避之唯恐不及。
""由于其他的哲学家自然而然反对他们所不喜欢的这一哲学的所谓支柱，让自己远离数理逻辑，因而错过了从一种精确的思维方式中获益的机会。
事实上，数理逻辑让人更容易避免错误--即使对于一个常人来说，也是如此。
""数理逻辑应该被非实证主义哲学家们更多地使用。
非实证主义哲学家们对数理逻辑的无知真令人吃惊。
"[6]
哥德尔对逻辑实证主义最尖锐的批判集中体现在1953/59年的哲学手稿中。
1953年，哥德尔再次应谢尔普之邀，为《在世哲学家文库》中的卡尔纳普卷撰稿。
谢尔普建议哥德尔以"卡尔纳普与数学本体论"为题写一篇25-40页的文章，但哥德尔提出只想写一篇《对数学本质的唯名论观点的评论》短文。
此后1953-1959年间，哥德尔花费六年时间完成了以《数学是语言的句法吗？
》为题的六篇手稿。
到1959年2月却突然给谢尔普写信告之不想发表自己的文章了，他说：
主要的原因是：
"我完成了这个题目的几个版本，但对哪一个都不满意。
按照我自己的意愿作出严厉断言或给出强硬的论证是不难的，但我发现，这一题目与哲学的基本问题之一：
概念及其关系的客观实在性问题密切相关，想要彻底阐明它比我预想的要困难。
[7]
1930年前后，石里克、哈恩和卡尔纳普极大地受到维特根斯坦的影响，形成了关于数学本体论中被哥德尔描述为"唯名论和约定论相融合"的观点，按照这种观点，数学完全可以归约为语言的语法，即数学定理的有效性仅由某些使用符号的语法约定的推论确定，数学定理不是对事件域中事件状态的描述。
或者如卡尔纳普所说，数学是不含内容、不含对象的辅助语句的的系统。
基于此，卡尔纳普倡导一种语法方案，其目标是，无须借助数学直觉，不必依赖数学对象和数学事实，以独立于经验的语法为基础建构整个数学大厦。
在哥德尔看来，卡尔纳普在《语言的逻辑句法》中就是试图实施这样一种语法方案，希尔伯特学派关于形式公理化和证明数学一致性的工作也可以解释成赞同这种方案的行动。
在第六版中哥德尔声称"语言约定论立场的任何哲学断言都是站不住脚的"。
在第五版中，哥德尔把语言约定论归结为如下三个基本论题：
（1）逻辑和数学命题仅仅是支配符号规则的产物。
数学直觉可由约定代替。
（2）数学是不含内容的，不存在数学对象，也不存在数学事实。
（3）由于数学命题不含内容，关于它们的语言约定不可能被任何可能的经验证伪，因此数学的先验确定性、语言约定论及严格经验论之间是一致的。
首先哥德尔承认，关于数学本质的这种约定论对于指出数学真理与经验真理之间的区别具有不可否认的价值。
而这种区别主要是由于"与经验命题不同，数学命题的真依赖于命题中包含的概念的意义。
"[8]
但是按照哥德尔的分析，语法方案试图不借助数学直觉，不依赖数学对象和数学内容，以语法约定来建构数学大厦这条道路显然是行不通的。
哥德尔的批判性论证基于三个论据：
（1）数学的不可完全性；
（2）数学内容和数学直觉的不可消除性；（3）数学和自然科学的某种可类比性。
他的具体论证如下：
（1）一套具有语法特征的规则系统，应当能从表达经验理论的系统说明中消除，或者预先知道它不蕴涵任何"事实命题"的真或假。
这就要求系统中的语法规则必须具有一致性，因为从不一致可以推出任何命题，包括假命题。
但是由哥德尔不完全性定理，不可能在系统内部获得该系统的一致性证明。
因此，如果构造了将数学化归为语言的语法的规则系统，必定有借助所给的语法规则所未捕获到的数学，即，说数学仅仅是语言的语法是不成立的。
（2）哥德尔认为，在实施数学的语法方案的过程中，刻划抽象概念和超穷概念的那些公理不可能用关于符号的组合以及这些组合的性质极其关系的有穷约定所代替。
因为抽象概念和超穷概念所构成的"非有穷概念类"不是直接所与的，甚至是超越时空实在之外的。
对这些对象的认识以及对非有穷推理的应用只能诉诸经验不可达的抽象数学直觉。
于是哥德尔得出的结论是：
"借助语法解释，数学内容和数学直觉具有不可消去性。
"[9]
（3）如果说数学是不含内容的，数学命题没有断言任何经验事实，那么自然律也同样如此。
因为人们从自然律获得经验推论是离不开数学的。
没有数学和逻辑的自然律就像没有自然律的数学一样是不含内容的。
因为数学加到自然律上的不是关于物理实在的什么新性质，而是与物理实在有关的概念--更确切讲是关于事物组合的概念性质，这些概念性质像物理特性一样也是客观的、不依赖于我们的选择的。
因此有必要区分"事实内容"（factualcontent）和"概念内容"（conceptualcontent）。
卡尔纳普称为内容的东西在哥德尔看来实则事实内容，而数学是包含概念内容的。
说数学不含内容显然基于一种先验的假定：
内容即等同于事实内容。
[10]
卡尔纳普早期认为，一切有效的数学命题，仅就它们在一切场合都成立这种意义上是分析的，因而不具有任何事实内容。
而且，他后来（1956年）还认为，一个人可以在数学中谈论数、集合等概念，但并不因此对它们的存在性有任何承诺，因为，接受一个语言框架，并不意味着关于所谈对象的存在性的任何形而上学信念（蒯因所说的"本体论承诺"立场），正是基于此，卡尔纳普开始致力于寻求一种通用语言，以调和逻辑主义和形式主义。
[11]
其后，又在希尔伯特和塔尔斯基的元数学的影响下，利用哥德尔的算术化方法，逐渐形成一套通用语言结构的理论，写成了《语言的逻辑句法》一书。
书中引进两种类型的通用语言：
语言Ⅰ和语言Ⅱ，语言Ⅰ只承认满足构造主义要求的定义和命题，因此所表达的数学仅限于原始递归算术；语言Ⅱ较为丰富，试图向世人提供表达古典数学和经典物理学的语言结构。
[12]
显然，基于概念实在论，哥德尔对卡尔纳普将唯名论和经验论融合的这种立场的批判是切中要害的。
我们来分析一下哥德尔批判语言约定论的关键之点。
按照哥德尔的分析，如果数学是语言的约定，是不含内容的，就不可能由它推出任何经验命题。
因此，要按照卡尔纳普期望的那样，将它应用于经验科学就需要一种中介，哥德尔认为，这种中介应当是公理和语法规则的一致性。
但是由不完全性定理，一个理论的形式系统的一致性在理论系统内部不可证。
甚至对于仅仅包括有穷组合的那些形式系统，不诉诸超穷方法和抽象概念，其一致性也不可证。
这样一来，严格经验论要求有穷数学，语言约定论要求一致性可证。
可见，数学的先验确定性、语言约定论和严格经验论的结合完全是一个空中楼阁。
在哥德尔看来，任何企图用形式系统解释整个数学的努力都会失败，因为，存在数学的终极内容不能归约到形式系统的逻辑构造；数学直觉也不可能用任何语法约定所替代，因为抽象数学直觉所把握的数学内容远远超出了任何语法约定的界限。
哥德尔的论证显然从整体上提供了对于逻辑实证主义早期观点和卡尔纳普30年代所采取的语言约定论的有力批判，正如他自己所说，借用卡尔纳普的话，实际上他"证明了数学的语法方案才是真正无内容的"，从而消解了它的哲学意义。
卡尔纳普当然清楚由哥德尔不完全性定理揭示的形式系统的一致性在系统中不可证的基本事实，认识到尽管从严格经验论的有穷主义扩展到了超穷，一致性证明仍存在问题。
他甚至也意识到，自己基于非限定概念和超穷归纳法给出的语言Ⅱ的一致性证明不能作为整个古典数学的一致性证明，特别指出对这一证明"不可高估。
"[13]
但是卡尔纳普不会接受哥德尔的论证：
没有一致性证明，数学的语言约定论就是靠不住的。
因为在哥德尔的论证中预设了一种超越或贯穿于不同语言结构的超验的数学内容的存在，而卡尔纳普则根本取消任何这一类的形而上学假定。
晚年在与王浩的谈话中，哥德尔承认，他虽然指出了数学不是语言的语法，但终究未能说明数学是什么。
这恐怕也正是哥德尔几易其稿最终未发表这篇文章的主要原因。
依哥德尔对20世纪初这两大基础学派的看法，希尔伯特调和两大倾向的努力不可能成功，卡尔纳普的语法方案也无例外的失败了。
他建议我们可以尝试另一种寻求某种有效的综合左右倾立场的途径：
"这意味着，不是通过建立可投影到物理对象世界的，支配具体符号的系统以证明某些特性来保证数学的确定性，而应借助培养和加深理解抽象概念的认识本身来保证，这种抽象概念能引导我们建立系统，并进一步按照[与澄清意义]同样的程序获得一种对于可解性的洞察及各种真正解决所有有意义问题的实际方法。
"
那么，如何培养这种认知，如何获得这种神秘的洞察，如何澄清概念的意义？
哥德尔指出，"今天，有一种科学的开端，对于清晰地阐释意义提供了一种系统化方法，这就是胡塞尔的现象学。
......
这种现象学与其说是与其他科学具有相同意义的一门科学，不如说是一种能在我们中间产生新的意识状态的程序和技术，在这种状态下，我们能详细阐明我们思想中所使用的基本概念，或者把握其他迄今对于我们还是未知的基本概念。
......
因此，目前不仅没有反对现象学的客观理由，相反还可以给出赞同和支持它的根据。
"[14]
可见，从不完全性定理出发，哥德尔寻找到了一条通往胡塞尔现象学的通道。
4.抽象数学直觉与本质直观
胡塞尔的现象学中有一个贯穿其整个哲学生涯并具有至上地位的范畴直观概念，也是后来通行的本质直观（categoricalintuition）概念。
依照近代哲学认识论传统，只有个体之物才能作为直观的对象，而观念之物或一般之物必须通过抽象过程才能被我们所认知。
胡塞尔与之相反，提出"本质直观"的概念。
他认为，人的认知总是具有意向性（intentionality）的，是关于某意识对象的认知，意识（consciousness）也总是关于某物的意识，一种意识行为总是直接指向某个特殊的意识对象或事件状态的，每一个意向对象都有一个内容，即它的意义，并通过意义相关于它的对象。
我们的信念和认知行为都是在给定时间的关于某些意识对象和某些概念的范畴（categories）的，这些范畴称为"本质"（essences）。
本质是预设在关于对象的认识中的，在各种不同的实在内容和变动不居的意向内容中直接地直观把握（grasp）不变的本质就是所谓的本质直观。
胡塞尔拒绝形而上学的思辩（悬置），在他那里，本质直观是一种原初给予的看（see），但不是感官意义上的看，实际上是在看概念，看本质。
他说，其实人人都在看概念，看本质，甚至持续地看，但由于偏见使人们满足于理论而以为不可能有本质，不可能有本质直观，因此认定这其中必有一个语法抽象的过程。
本质直观是具有多种形式的一种行为，因而它是类似于感性知觉的东西，而非类似于想象的东西，原则上无须理智的抽象过程就可以通过一次直观把握本质。
胡塞尔常以红纸为例阐明个别直观和本质直观的实质性区别。
假定我们的目光朝向作为感性直观被给予之物的一张红纸，它并不是直接指向这张纸的红色，也不是指向红的程度，而是直接指向红本身，在进行这种目光转向时，红本身就原本的直接给予了我们，我们便直接把握了红本身的特殊统一。
正如在《纯粹现象学和现象学的哲学观念》中，胡塞尔所描述的：
"我具有关于红的一个或多个个别直观，我抓住纯粹的内在，我关注现象学的还原。
我截断红在被超越的统摄时所意味着的一切。
现在我纯粹直观地完成了一般的红或特殊的红的意义，个别性不再被意指，被意指的已不是这个红或那个红，而是一般的红"。
[15]
在本质直观理论中，有一个胡塞尔给予极高地位的"显明性"（明证性）（Evidenz,evident）概念。
在《逻辑研究》中它被定义为"对真理的体验"，严格意义上的显明性称为"对真理的相应性感知"。
胡塞尔特别区分了两个级次的显明性，个体直观的显明性是"断言的显明性"（assertorischeEvidenz）；本质直观的显明性是"确真的显明性"（apodictischeEvidenz）。
前者是对个别事物的假定性判定，这类显明性不是纯粹的；后者是我们对事物本质的洞见，现象学所要达到的正是后者。
[16]
我们看到，虽然哥德尔在师承和学理上并未直接受惠于胡塞尔，但在直觉问题的思考上二者却有异曲同工之妙。
哥德尔早期的某些思想与胡塞尔的本质直观颇为契合之处，主要是关于数学内容的本质和我们获得数学知识的"理性知觉"，即数学直觉的。
这是因为，哥德尔的实在论已经假定了一个超越于我们的感性经验之外的、算法不可穷尽的抽象对象世界和概念的世界，为了认识和把握这个世界的本质必须借助直觉的力量。
哥德尔的直觉观主要是包含以下意义：
（1）首先把直觉当作用来判断数学真理和某些数学命题（如数论命题、集合论公理）是否为真的一种直观信念；
（2）他把直觉看作能使我们对抽象概念的本质获得直接把握的意识状态和行为。
（3）在哥德尔思想中，显然已经有一种可称之为合理的具有显明性的东西，他曾多次谈及表达假言推理和数学归纳法的命题以及某些集合论公理的显明性，存在非经验的、非约定的、不要求任何实证证据也不必诉诸演绎证明的具有超穷性的数学真理，认识这些真理的途径之一是依靠数学直觉。
从30年代初到70年代，哥德尔始终坚信，不断发展的数学直觉将引导我们对新的数学公理作出判断，以解决我们所关注的数学基础核心问题。
"特别是这种直觉能很容易地使我们洞察用于判定连续统假设的那些公理是否为真。
""在数学中我们有时会断然拒绝将一个命题作为公理引进，解释这一行为的唯一理由是我们确信直觉的力量。
"从直觉的角度讲，哥德尔最感兴趣也是最经常提及的抽象概念是集合（可证性、真理等）。
在他看来，所有数学可归约为抽象集合论。
由于数学的不可完全性意味着我们总可以适当扩张形式系统使它对某一阶段的数学是完全的，哥德尔说，"我们有一种清晰的数学直觉，它能使我们形成集合论公理的一个开放的扩张序列"。
而集合的迭代是我们获得新的更高类型集合的基本方法。
哥德尔显然把集合的迭代概念的形成过程看作抽象数学直觉最好的应用范例。
因为迭代概念的直观基础是，我们可以借助直觉同时直观或看到两个或更多不同的对象，如果将这种直觉进一步理想化，则可以同时看到，即总览（ranthroughoroverview）任意多，乃至超穷对象，从而形成一系列基数大而又大的集合的一个开序列，而形成每一个更高层集合的过程就是总览杂多中的对象形成一个单一总体的过程。
"为了看或为了总览一个无穷集合，必须把康德直观拓展到无穷直觉上。
"这也表明哥德尔赞成对于概念的本质通过直观它的行为去把握。
他还谈到，我们从直观的"能行可计算性"概念如何通过意义澄清，概念分析达到深刻的"图灵机可计算"和抽象的"算法"的概念。
哥德尔曾在*1961
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