人教版七年级上册数学总复习资料.docx

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人教版七年级上册数学总复习资料

初中数学七年级上册

第一章有理数

1.1正数与负数

在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数.

与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）.

【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）

2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略.

3.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.

4.0既不是正数，也不是负数.

5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：

向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面）；（出口）增长与减少……例如：

向东走2米，记作：

+2米；那么向西走3米，记作—3米.

6.用正负数表示加工允许误差例如：

①图纸上注明一个零件的直径是mm，表示零件的直径标准是30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺存在的误差，因此直径可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直径在29.7mm~30.2mm之间都合格.但在这个范围以外的就不合格了.

1.2有理数

1.2.1有理数

有理数的概念：

整数和分数统称有理数.

分类：

（1）按定义分类：

（2）按性质符号分类：

（掌握分类方法应注意两点：

不重复：

即同一事物不能归纳到两个类别中；不疏漏：

即某一事物不能在所有类别中找不到.）

【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.

2.分数分为正分数、负分数.

3.无限循环小数是有理数，它可以化成分数.如0.333…=

阅读材料：

教材95页《无限循环小数化分数》.

4.无限不循环小数是无理数，如：

π.

5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数.

6.最大的负整数是-1，最小的正整数是1。

7.几个常见的概念：

非负数：

指正数和零；非正数：

负数和零；

1.2.2数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；

【说明】1.数轴有三要素：

原点、正方向、单位长度。

2.数轴的画法：

先画一条水平的直线；

在直线的右边画箭头，表示正方向；

在直线上任取一点，作为原点，表示数0；

以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别标出刻度.

3.数轴的性质：

数轴上的点与有理数一一对应关系；

正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。

数轴上到原点的距离相等的点有2个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们互为相反数.

4.利用数轴比较数的大小：

数轴上的点表示的数，右边的总比左边大.

5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题.

6.数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为下学期学习平面直角坐标系打下了坚实的基础.

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

或者说：

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；

【说明】1.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.

2.相反数的代数意义：

互为相反数的两个数相加，和为0.

3.相反数的几何意义：

互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.

4.相反数的读法：

-（-2）读作负2的相反数.从数轴上看-2的相反数是2，因此-（-2）=2.

5.一般地，数a的相反数是-a.

6.有关相反数的化简，遵循符号法则：

同号得正，异号得负.

1.2.4绝对值

在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.

【说明】1.几何意义：

一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.

2.代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

即：

如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0.

3.绝对值等于a（a≠0）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相反数.例如：

|a|=2，则（）.

4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

5.理解：

；；

6.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

7.理解几个特殊的绝对值所表示的意义：

若，则ab≥0；（表示a、b同号或至少其中一个为0）.

若，则ab≤0；（表示a、b异号或至少其中一个为0）.

若，则ab=0；（表示a、b至少其中一个为0）.

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。

【说明】1.进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.

加法的交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变.

用字母表示：

.

加法的结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

用字母表示：

（a+b）+c=a+（b+c）.

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：

先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

1.3.2有理数的减法

减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数.

【说明】1.“两变”：

一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．

2.有理数减法常见的错误：

①没有注意结果的符号；尤其是当结果为负时，往往会忘记“－”；②仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；③只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成它的相反数.

几个正数或负数的和称为代数和．加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式.例如：

.可以读作：

a加b减c，也可以读作：

a，b，-c的代数和.有理数加减混合运算：

先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.

倒数的定义：

乘积是1的两个有理数互为倒数.若ab=1，则a和b互为倒数.

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.

乘法运算律：

乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：

ab=ba.

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：

（ab）c=a（bc）.

乘法交换律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：

a（b+c）=ab+ac.

【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.

2.求一个数的倒数的方法：

①求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置.②求一个整数的倒数：

可以把整数看成是分母为1的分数，再把分子、分母颠倒位置.③带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置.

1.4.2有理数的除法

除法法则：

除以一个数不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

【说明】1.除法法则可以把除法转化为乘法.

2.有理数除法的一般步骤：

①确定商的符号；

②把除数化为它的倒数；

③利用乘法计算结果．

有理数的加减乘除混合运算：

先乘除，后加减.

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

求几个相同因数a的运算叫做乘方，记做“”.其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，表示的意义是n个a相乘的积，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂.

【说明】1.负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数.

用字母表示：

若a＜0，则a2n＞0；a2n-1＜0（n是正整数）.

2.正数的任何次方都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

用字母表示：

若a＞0，则an＞0；0n=0（n是正整数）.

3.互为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂仍互为相反数.

用字母表示为：

a2n=（-a）2n（n是正整数）；a2n-1=-（-a）2n-1（n是正整数）.

有理数的混合运算的运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.

【说明】1.初学时，可以先画出运算顺序框图，理清运算顺序.

2.进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.

3.进行有理数的混合运算时，应注意：

一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.

1.5.2科学记数法

把一个大于10的数表示成a×10n次方的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的就是科学记数法.

【说明】1.a的取值范围是：

1≤a＜10.

2.n比整数位数小1.

3.采用移动小数点儿的方法来确定a和n的值比较好,具体方法是：

将小数点儿向左移动，小数点的位置移到它的前面只有1位整数为止，小数点儿移动了几位，n就等于几.将小数点儿后面的0去掉，剩下的部分就等于a.

1.5.3近似数

近似数：

与实际数据接近的数.

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.

【说明】1.测量工具（如千分尺、螺旋测微器等）测量出来的数值都是近似数.

2.北京时间是确数.

3.合格率、市场占有率等是近似数.

4.考查近似数与有效数字同时考是一个难点.例如：

159620000保留三位有效数字是:

1.60×108.1.2×104精确到千位.

【补充知识】

幻方：

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一行、一列以及对角线的几个数的和相等，具有这种性质的图表叫做幻方.我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.

将1-9这九个数填入的方格中，使每一行，每一列以及两条对角线上的数的和都是15.

填写技巧（如图所示）：

①将要填写的九个数字从小到大依次排列，将中间数5填在方格正中间.

②将中间数两边的两个数4和6填在其中一条对角线上，并求出这三个数的和.

③观察的方格的四个角，如果填的四个角上的数是偶数，则将剩下的两个偶数填在另外两个角上，如果填的是奇数，则将剩下的奇数填在另外两个角上.

④最后在根据每一行三个数的和，填上其余几个方格.

数列：

将数字按照某种规律排列在一起组成的数的队列叫做数列.数列中的每一个数叫做项，排在第几个数位上的数就叫做第几项.例如：

数列1，4，7，10，13，16，19，22…中，4排在第2个数位上，是第2项；13排在第5个数位上，是第5项.

常见的数列有：

①0，1，2，3，4，5，6，7，8…（自然数列）

②1，3，5，7，9，11，13，15…（奇数列）

③2，4，6，8，10，12，14，16…（偶数列）

④1，2，3，5，8，13，21，34…（后一项是它前面两项的和）

⑤1，，3，，5，，7，…

⑥2，6，12，20，30，42，56…（相邻两个数的乘积）

⑦2，4，8，16，32，64，128…（后一项是前一项的2倍）

等差数列

像上面的①自然数列、②奇数列