立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例).ppt

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立体几何,习题课,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求此三棱锥的体积。

A,B,C,S,E,F,提示：

设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为，SASB。

取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。

可证得：

SC平面ABE。

利用：

VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积。

注意：

分割法求体积。

（KEY：

）,A,B,C,S,D,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求此三棱锥的体积。

法二：

取AB中点D，连接SD，CD。

易得ABC为等腰直角三角形，ACB=90o。

则有SDAB，CDAB。

又SA=SB=SC，S在底面的射影为底面的外心，即点D，SD平面ABC。

由VS-ABC=SABCSD得三棱锥体积。

（解法2）,例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距离。

A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,提示：

利用=求解。

注意：

等体积法求点面距离。

KEY：

例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，

（1）BC1与侧面ABB1A1所成的角为_；

（2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成的角的大小为_。

A,B,C,A1,B1,C1,D,N,注：

（1）中利用面面垂直的性质找线面成角。

（2）中射影面积公式的应用：

SAB1Mcos=SABC.,45o,例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o，VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。

（1）求证：

V，A，B，C四点在以M为球心的球面上；

（2）求VC与AB所成的角的大小。

A,V,B,C,M,E,F,G,例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=，PC=AB=，求三棱锥的体积。

提示：

分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，则VP-ABC=V长方体-4V。

设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：

所以三棱锥P-ABC的体积为20（立方单位）。

P,A,B,C,例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。

（1）求证：

侧棱PBAC；

（2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。

A,B,C,P,D,B,P1,P2,P3,A,D,C,E,2,2,m,m,m,n,n,（甲）,（乙）,B,P1,P2,P3,A,D,C,E,2,2,m,m,m,n,n,A,B,C,P,D,解:

（1）（略）,

（2）甲图中，作PDAC于D，连接BD，可得PDB即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。

乙图中，作AECP3于E点，则AE=P1P2=4。

PA=AC，即P3A=AC，E为CP3的中点。

设AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得：

m-n=2nm=3n又在ACP3中有：

AECP3=ACDP3，而AE=4，由得：

DP3=8/3，即PD=8/3。

甲图RtBPD里，BD=10/3，cosPDB=4/5,为所求。

（甲）,（乙）,2,如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。

R,2R,h,V1,V2,V2=V1+V球,课本P81第8题,小结：

1、分割法求体积；2、利用射影面积法求二面角；3、补形法求体积；4、几何体展开问题。