秋新人教版高中数学必修二第十章概率复习课题型课知识框架思维导图.docx

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秋新人教版高中数学必修二第十章概率复习课题型课知识框架思维导图

第十章　概率复习课

要点训练一　事件的关系与运算

互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥事件不可能同时发生,有可能都不发生,也可能只有一个发生.对立事件必定而且只有一个发生.

1.下列说法正确的是（　　）

A.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

B.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件

C.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小

D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大

解析:

对于选项A、B,由于互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,所以选项A正确,选项B不正确.对于选项C,当A=B时,A,B中恰有一个发生的概率为0,所以选项C不正确.对于选项D,若事件A为不可能事件,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故选项D不正确.

答案:

2.把J,Q,K3张方块牌随机分给甲、乙、丙三人,每人1张.若记“甲得方块J”为事件A,“乙得方块J”为事件B,则事件A与事件B是（　　）

A.不可能事件B.必然事件

C.对立事件D.互斥但不对立事件

解析:

由题意可知,事件A与事件B不可能同时发生,可能同时不发生,从而可以判断事件A与事件B是互斥但不对立事件.

答案:

3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是（　　）

A.至多有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

解析:

事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.故选D.

答案:

4.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B（　　）

A.是互斥事件,不是对立事件

B.是对立事件,不是互斥事件

C.既是互斥事件,也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

解析:

事件A与事件B不能同时发生,是互斥事件,他还可以选择化学和政治,不是对立事件.

答案:

要点训练二　随机事件的频率与概率

在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率

总接近于某个常数,并在这个常数附近摆动,这时就把这个常数称为事件A的概率,记作P（A）.根据定义可知0≤P（A）≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.

1.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.30,则“抽到不合格品”的概率为（　　）

A.0.05B.0.35C.0.70D.0.95

解析:

根据题意,记“抽到一等品”为事件A,“抽到二等品”为事件B,“抽到不合格品”为事件C,因为“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,所以P（C）=1-P（A）-P（B）=0.05.

答案:

2.已知三个事件A,B,C两两互斥,且P（A）=0.3,P（

）=0.6,P（C）=0.2,则P（A∪B∪C）=0.9.

解析:

因为P（

）=0.6,所以P（B）=0.4,

所以P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.9.

3.在一次射击比赛中,若某射手射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率是0.4.

解析:

由题意知,该射手不够8环的对立事件是该射手在一次射击中不小于8环.因为该射手在一次射击中不小于8环包括射中8环,9环,10环,且这三个事件是互斥的,所以该射手在一次射击中不小于8环的概率是0.2+0.3+0.1=0.6,所以该射手在一次射击中不够8环的概率是1-0.6=0.4.

4.对一批U盘进行抽检,结果见下表:

抽出件数a/件

100

200

300

400

500

次品件数b/件

次品频率

（1）计算表中次品的频率（结果保留到小数点后三位）;

（2）从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?

（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?

解:

（1）表中次品频率从左到右依次为0.060,0.040,0.025,0.017,

0.020,0.018.

（2）当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.

（3）设需要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,

则x（1-0.02）≥2000,因为x是正整数,所以x≥2041,即至少需进货

2041个U盘.

要点训练三　古典概型概率的求法

古典概型概率计算,关键是分清样本空间包含的样本点个数n与事件A包含的样本点个数k,利用公式P（A）=

求出概率.解题时要注意用列举法把样本点一一列举出来,列举时可以按某一顺序,做到不重不漏.

1.如果从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数的和除以3余1的概率是（　　）

解析:

从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}中各取一个数,样本点有（1,2）,（1,4）,（1,6）,（1,8）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（3,8）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（5,8）,（7,2）,

（7,4）,（7,6）,（7,8）,（9,2）,（9,4）,（9,6）,（9,8）,共20个,其中两个数的和除以3余1的样本点有（1,6）,（3,4）,（5,2）,（5,8）,（7,6）,（9,4）,共6个,

所以抽取的两个数的和除以3余1的概率为P=

答案:

2.甲、乙两人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,若两人都随机出手势,则一次游戏两人平局的概率为（　　）

解析:

甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的样本点列表如下:

手势

锤

剪子

包袱

锤

（锤,锤）

（锤,剪子）

（锤,包袱）

剪子

（剪子,锤）

（剪子,剪子）

（剪子,包袱）

包袱

（包袱,锤）

（包袱,剪子）

（包袱,包袱）

由上表可知,共有9个样本点.

其中平局的有3个样本点,即（锤,锤）,（剪子,剪子）,（包袱,包袱）.设事件A为“甲和乙平局”,则P（A）=

答案:

3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽1道题.

（1）甲、乙两人中一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少?

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

解:

把3道选择题分别记为x1,x2,x3,2道判断题分别记为p1,p2.

“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的样本点有（x1,p1）,（x1,p2）,（x2,p1）,

（x2,p2）,（x3,p1）,（x3,p2）,共6个;

“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的样本点有（p1,x1）,（p1,x2）,（p1,x3）,

（p2,x1）,（p2,x2）,（p2,x3）,共6个;

“甲、乙都抽到选择题”的样本点有（x1,x2）,（x1,x3）,（x2,x1）,（x2,x3）,

（x3,x1）,（x3,x2）,共6个;

“甲、乙都抽到判断题”的样本点有（p1,p2）,（p2,p1）,共2个.

因此样本点的总数为6+6+6+2=20.

（1）“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为

“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为

故“甲、乙两人中一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为

（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为

故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1-

4.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.

（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率;

（2）若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名教师来自同一学校的概率.

解:

设甲校两名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示,乙校男教师用D表示,两名女教师分别用E,F表示.

（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,共9种.

从中选出的2名教师性别相同的结果有（A,D）,（B,D）,（C,E）,（C,F）,共4种,

所以选出的2名教师性别相同的概率P=

（2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,

（D,E）,（D,F）,（E,F）,共15种.

从中选出的2名教师来自同一学校的结果有（A,B）,（A,C）,（B,C）,

（D,E）,（D,F）,（E,F）,共6种.

所以选出的2名教师来自同一学校的概率P=

要点训练四　相互独立事件概率的求法

P（AB）=P（A）P（B）是事件相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.当题目内涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题时,要分清事件间的关系.另外,公式“P（A∪B）=1-P（

）”常用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.

1.“五一”假期中,甲、乙、丙3人去厦门旅游的概率分别是

如果3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（　　）

解析:

记事件A为“至少有1人去厦门旅游”,则其对立事件

为“3人都不去厦门旅游”.

因为P（

）=（1-

）（1-

）=

所以P（A）=1-P（

）=1-

答案:

2.国际羽毛球比赛采用21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为20∶20时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成29∶29时,先达到第30分的一方获胜.在一局比赛中,若甲发球得分的概率为

甲接发球得分的概率为

则在比分为20∶20,且甲发球的情况下,甲以23∶21赢下比赛的概率P为（　　）

解析:

故选B.

答案:

3.某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他的才艺能力,两个社团都能进入的概率为

至少进入一个社团的概率为

并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.

（1）求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率P1和进入“心理社”的概率P2;

（2）学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.

解:

（1）根据题意可得,

所以P1=

P2=

（2）令该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为x,

则P（x=1）=（1-

）×

P（x=1.5）=

所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率P=

要点训练五　补集思想

在解答概率应用问题的过程中,当某一事件的概率不易直接求出或求解较为困难,但该事件的对立事件的概率比较容易求得时,可利用公式“P（A）+P（

）=1”从反面进行思考,将所求事件的概率转化为求其对立事件的概率.

1.甲队和乙队进行足球比赛,若两队踢成平局的概率是

乙队获胜的概率是

则甲队不输的概率是（　　）

答案:

2.若一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未被击毁的概率为（　　）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

答案:

3.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:

（1）两人都射中的概率;

（2）两人中恰有一人射中的概率;

（3）两人中至少有一人射中的概率.

解:

设“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目标”为事件B.事件A与B是相互独立的.

（1）两人都射中的概率为P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）两人中恰有一人射中的概率为

P（A

）+P（

B）=0.8×（1-0.9）+（1-0.8）×0.9=0.26.

（3）两人中至少有一人射中的概率为

1-P（

）=1-P（

）P（

）=1-0.2×0.1=0.98.

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