平面直角坐标系找规律解析.docx
《平面直角坐标系找规律解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面直角坐标系找规律解析.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
平面直角坐标系找规律解析
平面直角坐标系找规律题型解析
1、如图,正方形ABCD的顶点分别为A(1,1)B(1,-1)C(-1,-1)D(-1,1),y轴上有一点P(0,2)。
作点P关于点A的对称点p1,作p1关于点B的对称点p2,作点p2关于点C的对称点p3,作p3关于点D的对称点p4,作点p4关于点A的对称点p5,作p5关于点B的对称点p6┅,按如此操作下去,则点p2011的坐标是多少?
解法1:
对称点P1、P2、P3、P4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1,P2,P3,P4组成。
第1周期点的坐标为:
P1(2,0),P2(0,-2),P3(-2,0),P4(0,2)
第2周期点的坐标为:
P1(2,0),P2(0,-2),P3(-2,0),P4(0,2)
第3周期点的坐标为:
P1(2,0),P2(0,-2),P3(-2,0),P4(0,2)
第n周期点的坐标为:
P1(2,0),P2(0,-2),P3(-2,0),P4(0,2)
2011÷4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同,为(-2,0)
解法2:
根据题意,P1(2,0)P2(0,-2)P3(-2,0)P4(0,2)。
根据p1-pn每四个一循环的规律,可以得出:
P4n(0,2),P4n+1(2,0),P4n+2(0,-2),P4n+3(-2,0)。
2011÷4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同,为(-2,0)
总结:
此题是循环问题,关键是找出每几个一循环,及循环的起始点。
此题是每四个点一循环,起始点是p点。
2、在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.
(1)填写下列各点的坐标:
A4(,),A8(,),A10(,),A12();
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
(3)按此移动规律,若点Am在x轴上,请用含n的代数式表示m(n是正整数)
(4)指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向.
(5)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.(6)指出A106,A201的的坐标及方向。
解法:
(1)由图可知,A4,A12,A8都在x轴上,
∵小蚂蚁每次移动1个单位,∴OA4=2,OA8=4,OA12=6,
∴A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0);同理可得出:
A10(5,1)
(2)根据
(1)OA4n=4n÷2=2n,∴点A4n的坐标(2n,0);
(3)∵只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上,
∴点Am在x轴上,用含n的代数式表示为:
m=4n或m=4n-1;
(4)∵2011÷4=502…3,
∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致,为向右.
(5)点A100中的n正好是4的倍数,所以点A100和A101的坐标分别是A100(50,0)和A101(50,1),所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
(6)方法1:
点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。
第1周期点的坐标为:
A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0)
第2周期点的坐标为:
A1(2,1),A2(3,1),A3(3,0),A4(4,0)
第3周期点的坐标为:
A1(4,1),A2(5,1),A3(5,0),A4(6,0)
第n周期点的坐标为:
A1(2n-2,1),A2(2n-1,1),A3(2n-1,0),A4(2n,0)
106÷4=26…2,所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1),即(53,1)方向朝下。
201÷4=50…1,所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1),即(100,1)方向朝右。
方法2:
由图示可知,在x轴上的点A的下标为奇数时,箭头朝下,下标为偶数时,箭头朝上。
106=104+2,即点A104再移动两个单位后到达点A106,A104的坐标为(52,0)且移动的方向朝上,所以A106的坐标为(53,1),方向朝下。
同理:
201=200+1,即点A200再移动一个单位后到达点A201,A200的坐标为(100,0)且移动的方向朝上,所以A201的坐标为(100,1),方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少?
第42、49、2011秒所在点的坐标及方向?
解法1:
到达(1,1)点需要2秒
到达(2,2)点需要2+4秒
到达(3,3)点需要2+4+6秒
到达(n,n)点需要2+4+6+...+2n秒=n(n+1)秒
当横坐标为奇数时,箭头朝下,再指向右,当横坐标为偶数时,箭头朝上,再指向左。
35=5×6+5,所以第5*6=30秒在(5,5)处,此后要指向下方,再过5秒正好到(5,0)
即第35秒在(5,0)处,方向向右。
42=6×7,所以第6×7=42秒在(6,6)处,方向向左
49=6×7+7,所以第6×7=42秒在(6,6)处,再向左移动6秒,向上移动一秒到(0,7)
即第49秒在(0,7)处,方向向右
解法2:
根据图形可以找到如下规律,当n为奇数是n2秒处在(0,n)处,且方向指向右;当n为偶数时n2秒处在(n,0)处,且方向指向上。
35=62-1,即点(6,0)倒退一秒到达所得点的坐标为(5,0),即第35秒处的坐标为(5,0)方向向右。
用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。
4、如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行.从到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示,顶点A55的坐标是( )
解法1:
观察图象,每四个点一圈进行循环,根据点的脚标与坐标寻找规律。
观察图象,点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。
第1周期点的坐标为:
A1(-1,-1),A2(-1,1),A3(1,1),A4(1,-1)
第2周期点的坐标为:
A1(-2,-2),A2(-2,2),A3(2,2),A4(2,-2)
第3周期点的坐标为:
A1(-3,-3),A2(-3,3),A3(3,3),A4(3,-3)
第n周期点的坐标为:
A1(-n,-n),A2(-n,n),A3(n,n),A4(n,-n)
∵55÷4=13…3,∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14),在同一象限
解法2:
∵55=4×13+3,∴A55与A3在同一象限,即都在第一象限,
根据题中图形中的规律可得:
3=4×1-1,A3的坐标为(1,1),7=4×2-1,A7的坐标为(2,2),
11=4×3-1,A11的坐标为(3,3);55=4×14-1,A55(14,14)
5、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动,第一次跳动到OM的中点M3处,第二次从M3跳到OM3的中点M2处,第三次从点M2跳到OM2的中点M1处,如此不断跳动下去,则第n次跳动后,该质点到原点O的距离为( )
解:
由于OM=1,所有第一次跳动到OM的中点M3处时,OM3=OM=,同理第二次从M3点跳动到M2处,即在离原点的2处,同理跳动n次后,即跳到了离原点的处
68、如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)…根据这个规律,第2012个点的横坐标为() 45 .
解:
根据图形,以最外边的矩形边长上的点为准,点的总个数等于x轴上横坐标的平方,
例如:
右下角的点的横坐标为1,共有1个,1=12,
右下角的点的横坐标为2时,共有4个,4=22,
右下角的点的横坐标为3时,共有9个,9=32,
右下角的点的横坐标为4时,共有16个,16=42,
右下角的点的横坐标为n时,共有n2个,
∵452=2025,45是奇数,∴第2025个点是(45,0),第2012个点是(45,13),
7、如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0)…根据这个规律探究可得,第88个点的坐标为 () .
解:
由图形可知:
点的横坐标是偶数时,箭头朝上,点的横坐标是奇数时,箭头朝下。
坐标系中的点有规律的按列排列,第1列有1个点,第2列有2个点,第3列有3个点…第n列有n个点。
∵1+2+3+4+…+12=78,∴第78个点在第12列上,箭头常上。
∵88=78+10,∴从第78个点开始再经过10个点,就是第88个点的坐标在第13列上,坐标为(13,13-10),即第88个点的坐标是(13,3)
10、如图,已知Al(1,0),A2(1,1),A3(﹣1,1),A4(﹣1,﹣1),A5(2,﹣1),….则点A2007的坐标为 () .
解法1:
观察图象,点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。
第1周期点的坐标为:
A1(1,0),A2(1,1),A3(-1,1),A4(-1,-1)
第2周期点的坐标为:
A1(2,-1),A2(2,2),A3(-2,2),A4(-2,-2)
第3周期点的坐标为:
A1(3,-2),A2(3,3),A3(-3,3),A4(-3,-3)
第n周期点的坐标为:
A1(n,-(n-1)),A2(n,n),A3(-n,n),A4(-n,-n)
因为2007÷4=501…3,所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同,即(-502,502)
解法2:
由图形以可知各个点(除A1点和第四象限的点外)都位于象限的角平分线上,
位于第一象限点的坐标依次为A2(1,1)A6(2,2)A10(3,3)…A4n﹣2(n,n)。
因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2,6,10,14,即4n﹣2(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
同理第二象限点的下标是4n﹣1(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
第三象限是4n(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
第四象限是1+4n(n是自然数,n是点的横坐标的绝对值);
因为2007÷4=501…3,所以A2007位于第二象限。
2007=4n﹣1则n=502,
故点A2007在第二象限的角平分线上,即坐标为(﹣502,502).
8、如图,一个机器人从O点出发,向正向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正向走15米到达A5点、按如此规律走下去,当机器人走到A6,A108点D的坐标各是多少。
解法1:
观察图象,点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。
第1周期点的坐标为:
A1(3,0),A2(3,6),A3(-6,6),A4(-6,-6)
第2周期点的坐标为:
A1(9,-6),A2(9,12),A3(-12,12),A4(-12,-12)
第3周期点的坐标为:
A1(15,-12),A2(15,18),A3(-18,18),A4(-18,-18)
第n周期点的坐标为:
A1(6n-3,-(6n-6)),A2(6n-3,6n),A3(-6n,6n),A4(-6n,-6n)
因为6÷4=1…2,所以A6的坐标,与第2周期的点A2的坐标相同,即(9,12)
因为108÷4=27,所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同,(-6×27,-6×27)
解法2:
根据题意可知,A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时,A5A6=18米,点A6的坐标是(9,12);
9、如图,在直角坐标系中,已知点A(﹣3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1、△2、△3、△4…,则△2013的直角顶点的坐标为 () .
解:
∵点A(﹣3,0)、B(0,4),∴AB==5,
由图可知,每三个三角形为一个循环组依次循环,一个循环组前进的长度为:
4+5+3=12,
∵2013÷3=671,∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点,
∵671×12=8052,∴△2013的直角顶点的坐标为(8052,0).
10、如图,所有正三角形的一边平行于x轴,一顶点在y轴上.从到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示,其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位,求点A3和A92的坐标分别是多少,.
解法1:
观察图象,点A1、A2、A3、每3个点,图形为一个循环周期。
根据计算A3的坐标是(0,﹣1)
设每个周期均由点A1,A2,A3,组成。
第1周期点的坐标为:
A1(-1,-1),A2(1,-1),A3(0,﹣1)
第2周期点的坐标为:
A1(-2,-2),A2(2,-2),A3(0,)
第3周期点的坐标为:
A1(-3,-3),A2(3,-3),A3(0,+1)
第n周期点的坐标为:
A1(-n,-n),A2(n,-n),A3(0,+n-2),
因为3÷3=1,所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同,即(0,﹣1)
因为92÷3=30…2,所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同,即(31,-31)
解法2:
∵△A1A2A3的边长为2,∴△A1A2A3的高线为2×=,
∵A1A2与x轴相距1个单位,∴A3O=﹣1,∴A3的坐标是(0,﹣1);
∵92÷3=30…2,∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点,
第31个等边三角形边长为2×31=62,
∴点A92的横坐标为×62=31,∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位,
∴点A92的纵坐标为﹣31,∴点A92的坐标为(31,﹣31).
12、如图是某同学在课外设计的一款软件,蓝精灵从O点第一跳落到A1(1,0),第二跳落到A2(1,2),第三跳落到A3(4,2),第四跳落到A4(4,6),第五跳落到A5 ___ .到达A2n后,要向____方向跳 ____个单位落到A2n+1.
解:
∵蓝精灵从O点第一跳落到A1(1,0),第二跳落到A2(1,2),第三跳落到A3(4,2),第四跳落到A4(4,6),
∴蓝精灵先向右跳动,再向上跳动,每次跳动距离为次数+1,即可得出:
第五跳落到A5(9,6),到达A2n后,要向右方向跳(2n+1)个单位落到A2n+1.
12、将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线AB开始,分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…,按此规律,点A2012在那条射线上.
解:
如图所示:
点名称射线名称
AB
A1
A3
A10
A12
A17
A19
A26
A28
…
CD
A2
A4
A9
A11
A18
A20
A25
A27
…
BC
A5
A7
A14
A16
A21
A23
A30
A32
…
DA
A6
A8
A13
A15
A22
A24
A29
A31
…
根据表格中点的排列规律,可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环,
因为2012=16×125+12,所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样.
因为点A2012所在的射线是射线AB,所以点A2012在射线AB上,故答案为:
AB.
13、如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2011次运动后,动点P的坐标是 _________ .
解法1:
观察图象,每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1,P2,P3,P4组成。
第1周期点的坐标为:
P1(1,1),P2(2,0),P3(3,2),P4(4,0)
第2周期点的坐标为:
P1(5,1),P2(6,0),P3(7,2),P4(8,0)
第3周期点的坐标为:
P1(9,1),P2(10,0),P3(11,2),P4(12,0)
第n周期点的坐标为:
P1(4n-3,1),P2(4n-2,0),P3(4n-1,2),P4(4n,0)
因为2011÷4=502…3,所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(503×4-1,2),即(2011,2)
解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),
∴第4次运动到点(4,0),第5次接着运动到点(5,1),…,
∴横坐标为运动次数,经过第2011次运动后,动点P的横坐标为2011,纵坐标为1,0,2,0,每4次一轮,
∴经过第2011次运动后,动点P的纵坐标为:
2011÷4=502余3,故纵坐标为四个数中第三个,即为2,∴经过第2011次运动后,动点P的坐标是:
(2011,2)
14、将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,3)表示实数9,则(7,2)表示的实数是 _________ .
解:
第1排的第一个数为1,
第2排的第一个数为2,即2=1+1
第3排的第一个数为4,即4=1+1+2
第4排的第一个数为7,即7=1+1+2+3
第n排的第一个数为1+1+2+3+…+n-1=1+n(n-1)/2
将7带入上式得1+n(n-1)/2=1+7×3=22,所以第七排的第二个数是23,即(7,2)表示的实数是23.
15、如图,在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点A1(﹣1,1),第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2),…,依此规律跳动下去,点A第100次跳动至点A100的坐标是 ()。
点A第103次跳动至点A103的坐标是 ()
解法1:
观察图象,点A1、A2每2个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1,A2组成。
第1周期点的坐标为:
A1(-1,1),A2(2,1)
第2周期点的坐标为:
A1(-2,2),A2(3,2)
第3周期点的坐标为:
A1(-3,3),A2(4,3)
第n周期点的坐标为:
A1(-n,n),A2(n+1,n),
因为103÷2=51…1,所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同,即(-52,52)
解法2:
(1)观察发现,第偶数次跳动至点的坐标,横坐标是次数的一半加上1,纵坐标是次数的一半,即第n次跳至点的坐标为
.第2次跳动至点的坐标是A2(2,1),
第4次跳动至点的坐标是A4(3,2),
第6次跳动至点的坐标是A6(4,3),
第8次跳动至点的坐标是A8(5,4),
第n次跳动至点的坐标是An
,∴第100次跳动至点的坐标是(51,50).
(2)观察发现,第奇数次跳动至点的坐标,横坐标是次数加上1的一半,纵坐标是横坐标的相反数,即第
次跳动至点A
的坐标为
第1次跳动至点的坐标是A1(-1,1),第3次跳动至点的坐标是A3(-2,2),
第5次跳动至点的坐标是A5(-3,3),第7次跳动至点的坐标是A7(-4,4),
…
第n次跳动至点的坐标是
,
∴第103次跳动至点的坐标是(-52,52).
16、如图,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次,点P依次落在点P1,P2,P3…P2008的位置,则点P2008,P2007的横坐标分别为为()()
解法1:
观察图象,点P1、P2、P3每3个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3组成。
第1周期点的坐标为:
P1(1,0),P2(1,0),P3(2.5,y)
第2周期点的坐标为:
P1(4,0),P2(4,0),P3(5.5,y)
第3周期点的坐标为:
P1(7,0),P2(7,0),P3(8.5,y)
第n周期点的坐标为:
P1(3n-2,0),P2(3n-2,0),P3(3n-1+0.5,y)
因为2008÷3=669…1,所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同,
(3×670-2,0),即(2008,0)所以横坐标为2008
因为2007÷3=669,所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同,
(3×669-1+0.5,y),即(2006.5,y)所以横坐标为2006.5
解法2:
观察图形结合翻转的方法可以得出
P1、P2的横坐标是1,P3的横坐标是2.5,
P4、P5的横坐标是4,P6的横坐标是5.5
…依此类推下去,能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。
P2005、P2006的横坐标是2005,P2007的横坐标是2006.5,
P2008、P2009的横坐标就是2008.故答案为2008.
2007÷3=667,能被3整除,所以P2007的横坐标为2006.5
其实,关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点,可以先观察P3、P6、P9的可以发现3个一循环。
由2008÷3=669…1即在第669个循环后面,所以应该是类似P4这样的偶数点,它们的特点是点P4对应的横坐标是4,所以点P2008对应的横坐标是2008
17、如图,将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次,点P依次落在点P1,P2,P3,P4,…,P2006的位置,则P2006的横坐标x2006是多少?
P2012的横坐标又是多少
解法1:
观察图象,点P1、P2、P3、P4每4个点,图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。
第1周期点的坐标为:
P1(1,1),P2(2,0),P3(2,0),P4(3,1)
第2周期点的坐标为:
P1(5,1),P2(6,0),P3(6,0),P4(7,1)
第3周期点的坐标为:
P1(9,1),P2(10,0),P3(10,0),P4(11,1)
第n周期点的坐标为:
P1(4n-3,0),P2(4n-2,0),P3(4n-2,0),P4(4n-1,1)
因为2006÷4=501…2,所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同,
(4×502-2,0),即(2006,0)所以横坐标为2006.
因为2012÷4=503,所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同,
(4×503-1,1),即(2011,1)所以横坐标为2011
解法2:
从P到P4要翻转4次,横坐标刚好加4,
∵2006÷4=501…2,
∴501×4﹣1=2003,(之所以减1,是因为p点的起始点的横坐标为-1)
由上式可知,P2006的位置是正方形完成了501次翻转后,还要再翻两次,即完成类似从P到P2的过程,横坐标加3,即2003+3=2006
则P2006的横坐标x2006=20