平面直角坐标系找规律解析.docx

1、平面直角坐标系找规律解析平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y轴上有一点P(0，2)。作点P关于点A的对称点p1，作p1关于点B的对称点p2，作点p2关于点C的对称点p3，作p3关于点D的对称点p4，作点p4关于点A的对称点p5，作p5关于点B的对称点p6，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？ 解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2周期

2、点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)20114=5023，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（2，0）解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，2） P3（2，0） P4（0，2）。根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，2），P4n+3（2，0）。20114=5023，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（2，

3、0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p点。2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m（n是正整数）（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向 （5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向（6）指出A106，A201的的坐标及方向。解法：（1）由图可知，A

4、4，A12，A8都在x轴上，小蚂蚁每次移动1个单位， OA4=2，OA8=4，OA12=6，A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1） （2）根据（1）OA4n=4n2=2n，点A4n的坐标（2n，0）；（3）只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，点Am在x轴上，用含n的代数式表示为：m=4n或m=4n-1；（4）20114=5023，从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101

5、的移动方向是从下向上。（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)1064=262，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(227-1,1)，即(53,1)方

6、向朝下。 2014=501，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(251-2,1)，即(100,1)方向朝右。方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)

7、，然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0，0)(0，1) (1，1) （1，0），且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？解法1：到达（1，1）点需要2秒到达（2，2）点需要2+4秒到达（3，3）点需要2+4+6秒到达（n，n）点需要2+4+6+.+2n秒n(n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。35=56+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5，0）处，方向向右。42=67，所以第67=42秒在（6，6）处，方向向左49=67

8、+7，所以第67=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）即第49秒在（0，7）处，方向向右解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右； 当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行从到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1，A2，A3，A4，表示，顶点A55的坐标是（）解法1：观察图象，每

9、四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)554=133，A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14

10、,14)，在同一象限解法2：55=413+3，A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=41-1，A3的坐标为（1，1）， 7=42-1，A7的坐标为（2，2），11=43-1，A11的坐标为（3，3）； 55=414-1，A55（14，14）5、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）解：由于OM=1， 所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原

11、点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处68、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根据这个规律，第2012个点的横坐标为（ ）45解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，452=2025，45是奇数，第2025

12、个点是（45，0），第2012个点是（45，13），7、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（ ）解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点第n列有n个点。1+2+3+4+12=78，第78个点在第12列上，箭头常上。88=78+10，从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐

13、标是（13，3）10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（1，1），A4（1，1），A5（2，1），则点A2007的坐标为（ ）解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)第2周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)第3周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)第n周期点的坐标为：A1(n,-(n-1)， A2(n,n

14、)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)因为20074=5013，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502)解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）A4n2（n，n）。因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；同理第二象限点的下标是4n1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝

15、对值）；因为20074=5013，所以A2007位于第二象限。2007=4n1则n=502， 故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（502，502）8、如图，一个机器人从O点出发，向正向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐标各是多少。 解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。第1周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-

16、6,-6)第2周期点的坐标为：A1(9,-6)， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12)第3周期点的坐标为：A1(15,-12)， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18)第n周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6)，A2(6n-3,6n)， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n)因为64=12，所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即(9,12)因为1084=27，所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，(-627, -627)解法2：根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15

17、,当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9，12）；9、如图，在直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（0，4），对OAB连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则2013的直角顶点的坐标为（ ） 解：点A（3，0）、B（0，4），AB=5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，20133=671，2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，67112=8052，2013的直角顶点的坐标为（8052，0）10、如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上从到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A

18、1、A2、A3、A4表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位，求点A3和 A92的坐标分别是多少，解法1：观察图象，点A1、A2、A3、每3个点，图形为一个循环周期。根据计算A3的坐标是（0，1）设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0, 1)第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, )第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, +1)第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0, +n-2)，

19、因为33=1，所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同，即(0, 1)因为923=302，所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即(31, -31)解法2：A1A2A3的边长为2， A1A2A3的高线为2=，A1A2与x轴相距1个单位， A3O=1， A3的坐标是（0，1）；923=302， A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点，第31个等边三角形边长为231=62，点A92的横坐标为62=31，边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、均相距一个单位，点A92的纵坐标为31，点A92的坐标为（31，31）12、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1

20、（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5_到达A2n后，要向_方向跳_个单位落到A2n+1 解：蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出：第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+112、将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、，按此规律，点A2012在那条射线上 解：如图所示：点名称射线名称ABA1A3

21、A10A12A17A19A26A28CDA2A4A9A11A18A20A25A27BCA5A7A14A16A21A23A30A32DAA6A8A13A15A22A24A29A31根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，因为2012=16125+12，所以点A2012所在的射线和点 A12所在的直线一样因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，故答案为：AB 13、如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2011

22、次运动后，动点P的坐标是_ 解法1：观察图象，每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0)第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0)第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0)第n周期点的坐标为：P1(4n-3,1)， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0)因为20114=5023，所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(5034-1,

23、2)，即（2011，2）解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：20114=502余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2） 14、将正整数按如图所示的规律排列下去若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表

24、示实数9，则（7，2）表示的实数是_解：第1排的第一个数为1， 第2排的第一个数为2，即2=1+1 第3排的第一个数为4，即4=1+1+2 第4排的第一个数为7，即7=1+1+2+3 第n排的第一个数为1+1+2+3+n-1=1+n（n-1）/2 将7带入上式得1+n（n-1）/2=1+73=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）表示的实数是23.15、如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（ ）。点A第103次跳动至点A103的坐标是（ ）解法1：观

25、察图象，点A1、A2每2个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1，A2组成。第1周期点的坐标为：A1(-1,1)， A2(2,1)第2周期点的坐标为：A1(-2,2)， A2(3,2) 第3周期点的坐标为：A1(-3,3)， A2(4,3)第n周期点的坐标为：A1(-n,n)， A2(n+1,n)， 因为1032=511，所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52，52）解法2：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为第2次跳动至点的坐标是A2（2，1），第4次跳动至点的坐标是A4（3，2），第6次跳

26、动至点的坐标是A6（4，3），第8次跳动至点的坐标是A8（5，4），第n次跳动至点的坐标是An，第100次跳动至点的坐标是（51，50）（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐标的相反数，即第次跳动至点A的坐标为第1次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第3次跳动至点的坐标是A3（-2，2），第5次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第7次跳动至点的坐标是A7（-4，4），第n次跳动至点的坐标是，第103次跳动至点的坐标是（-52，52）16、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3P2008的位置，则点P

27、2008, P2007的横坐标分别为为( )（ ）解法1：观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1、P2、P3组成。第1周期点的坐标为：P1(1,0)， P2(1,0), P3(2.5,y)第2周期点的坐标为：P1(4,0)， P2(4,0), P3(5.5,y)第3周期点的坐标为：P1(7,0)， P2(7,0), P3(8.5,y)第n周期点的坐标为：P1(3n-2,0)， P2(3n-2,0)， P3(3n-1+0.5,y)因为20083=6691，所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同，(3670-2，0)，即（2008，0）所以横坐标

28、为2008因为20073=669，所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同，(3669-1+0.5，y)，即（2006.5，y）所以横坐标为2006.5解法2：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5依此类推下去，能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，P2008、P2009的横坐标就是2008故答案为200820073=667，能被3整除，所以P2007的横坐标为2006.5其实，关键是确定P2008对应的是P4

29、这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点，可以先观察P3、P6、P9的可以发现3个一循环。由20083=6691即在第669个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点，它们的特点是点P4对应的横坐标是4，所以点P2008对应的横坐标是200817、如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006是多少？P2012的横坐标又是多少解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0),

30、 P3(2,0), P4(3,1)第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0), P3(6,0), P4(7,1)第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0), P3(10,0), P4(11,1)第n周期点的坐标为：P1(4n-3,0)，P2(4n-2,0)， P3(4n-2,0), P4(4n-1,1)因为20064=5012，所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同，(4502-2，0)，即（2006，0）所以横坐标为2006.因为20124=503，所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，(4503-1，1)，即（2011，1）所以横坐标为2011解法2：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，20064=5012，50141=2003，（之所以减1，是因为p点的起始点的横坐标为-1）由上式可知，P2006的位置是正方形完成了501次翻转后，还要再翻两次，即完成类似从P到P2的过程，横坐标加3，即2003+3=2006则P2006的横坐标x2006=20