高中物理选修34第十一章第50讲 实验探究单摆的周期与摆长的关系.docx
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高中物理选修34第十一章第50讲实验探究单摆的周期与摆长的关系
第50讲 实验、探究：
单摆的周期与摆长的关系
考情剖析
（注：
①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难）
考查内容
考纲要求
及变化
考查年份
考查形式
考查详情
考试层级
命题难度
单摆的
周期与
摆长的
关系（实
验、探究）
Ⅰ
—
—
—
重点
—
小结
及
预测
单摆的周期与摆长的关系实验虽然在四年来没有考查过，但作为选修3－4内的重点实验，还是要重点掌握实验的原理、操作步骤、注意事项、误差分析以及实验数据处理.
知识整合
一、实验目的：
用单摆测定重力加速度
二、实验原理
单摆在偏角很小（不超过10°）时的摆动，可认为是简谐运动，其固有周期为____________，由此可得____________．只要测出摆长L和周期T，即可算出当地的重力加速度值．
三、实验器材
长约1m的细丝线一条，通过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，____________一根，____________一块．
四、实验步骤
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球____________，在单摆平衡位置处做上标记；③用刻度尺测量单摆的摆长（悬点到球心间的距离）；④把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过10°），然后放开小球让它摆，再用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的____________；⑤改变摆长，重做几次实验；⑥根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值；⑦将测得的重力加速度数值与当地重力加速度值加以比较，分析产生误差的可能原因．
五、注意事项
①摆线不能过短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．②摆球摆动时应使偏角不超过10°，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不能松动．③累积法测周期时，应从最低位置开始计时和记录全振动次数．④使用秒表方法是三次按按钮：
一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：
先读分针刻度（包括半分钟），再读秒针刻度（最小刻度为0.1s，不要再估读）．⑤处理数据时，采用图像法，画出T2－L图像，求得直线的斜率k，即有g＝4π2/k.
六、误差分析
①本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：
悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．
②本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上，因此，要注意测准时间（周期）．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．
③本实验中进行长度（摆线长、摆球的直径）的测量时，读数读到毫米位即可（即使用卡尺测摆球直径也只需读到毫米位）．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
一、秒表读数
1．秒表构造
外壳按钮：
使指针启动、停止和回零，如图所示．
表盘刻度：
秒针指示大圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1秒、0.2秒或0.5秒；秒钟转一周历时30秒；分针指示小圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1分或0.5分，分针转一周历时15分．
2．秒表的工作原理
机械秒表靠发条转动力矩，通过内部齿轮驱动调节器调节摆动的秒针和分针，即将发条的弹性势能转化为动能，使指针摆．
3．秒表的读数
不足30秒即秒针转不到一周时，直接读大圆周上秒针所指的黑体分度值，因为大圆周上有红、黑两种字体，黑字0～30，红字31～60，意思是秒针转两周才60秒；同理分针所指的小圆周上也有两种字体，黑字0～15，红字16～31，分针转两周才30分；通常是分针读红字，秒针读红字，分针读黑字，秒针读黑字，计时为两个示数之和．
4．秒表的使用方法
①按钮开始计时，分针、秒针都启动
②按钮停止计时，分针、秒针都停止
③按钮分针、秒针回“0”位，此时在使用有两个按钮的表时，应按“0”位侧边的钮
1．做单摆：
取约1米长的线绳穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后拴在桌这的支架上．
2．用米尺量出悬线长l，准确到毫米，用游标卡尺测摆球直径，算出半径r也准确到毫米，则摆长为l＋r（注意长即摆绳长的量法）．
3．把单摆从平衡位置拉开一个角度放开它，用秒表测量单摆完成30次全振动（或50次）所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期，反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．
4．把测得的周期（用平均值）和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g的值来．
【典型例题】
（1）在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.如果已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s．单摆的摆动周期是________s.
甲
乙
（2）某同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：
l/m
0.5
0.8
0.9
1.0
1.2
T/s
1.42
1.79
1.90
2.00
2.20
T2/s2
2.02
3.20
3.61
4.00
4.84
以l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2－l图象，利用此图线得重力加速度g＝________.
温馨提示
解答此题时，熟悉秒表读数的方法，熟练应用单摆周期公式及其变形，学会应用图象解决问题．
记录空间
【变式训练】用单摆测定重力加速度实验中：
（1）除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，必需的仪器还有________；
（2）为了减小实验误差：
当摆球的直径约为2cm时，比较合适的摆长应选________（选填：
80cm、30cm、10cm）
（3）实验中，利用g＝
，求得g，其摆长L和周期T的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，________的误差影响较大；
（4）在某次实验中，测得单摆振动50次全振动的时间如图所示，则单摆的周期T＝________s.
随堂演练
1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，摆线应选用（ ）
A．长约10cm的细线B．长约1m的细线
C．长约1m的粗绳D．80cm长的橡皮绳
2．以下实验操作错误的是（ ）
A．单摆的最大偏角不小于10°
B．测摆长时，应先把摆球挂起来再测量
C．用秒表测周期时，应从摆球经过最高点时开始计时
D．记下摆球从第一次经过最低点到第60次经过最低点的时间t，则单摆振动周期
3．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．
身边的器材有：
弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
（1）宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从选择的一个器材是________；
（2）某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数量n（个）
1
2
3
4
5
30次全振动的时间t（s）
13.40
19.20
23.21
26.83
30.01
振动周期T（s）
0.45
0.64
0.77
0.89
1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以________为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线；
（3）根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝________（s），若每个螺帽的质量用m0表示，用T与m的关系式为T＝________（s）；
（4）若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26s，则该物体质量为________m0.
第3题图
4．
（1）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________（填“甲”或“乙”）．
（2）实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________（填“变大”、“不变”或“变小”），图丁中的△t将________（填“变大”、“不变”或“变小”）．
丙
丁
第4题图
第5题图
5．（12年江苏模拟）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，将一单摆装置竖直悬于某一深度为h（未知）且开口向下的固定小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示．将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁．如果本实验的长度测量工具只能测量出筒下端口到摆球球心之间的距离l，并通过改变l而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、l为横轴，作出T2－l图象，则可以由此图象得出我们想要测量的物理量．
（1）现有如下测量工具：
A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺，本实验所需的测量工具有________．
（2）如果实验中所得到的T2－l关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．
（3）由图象可知，小筒的深度h＝________cm；当地重力加速度g＝________m/s2（π取3.14，计算结果保留到小数点后两位）．
第50讲 实验、探究：
单摆的
周期与摆长的关系
知识整合
基础自测
2.T＝2π
g＝
3.毫米刻度尺 秒表
4.②自由下垂 ④振动周期
重点阐述
【典型例题】
（1）在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.如果已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s．单摆的摆动周期是________s.
甲
乙
（2）某同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：
l/m
0.5
0.8
0.9
1.0
1.2
T/s
1.42
1.79
1.90
2.00
2.20
T2/s2
2.02
3.20
3.61
4.00
4.84
以l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2－l图象，利用此图线得重力加速度g＝________.
【答案】
（1）
87.40cm 75.2 1.88
（2）图象如图所示 9.96m/s2
【解析】
（1）由单摆周期公式T＝2π
，得g＝4π2l/T2，图中读出长度为88.40cm，则摆长l＝88.40cm－d/2cm＝87.40cm，短针是分针，一格是60s，长针是秒针，长针又指15.2s，故秒表读数是t＝60s＋15.2s＝75.2s，单摆周期T＝t/n＝75.2/40s＝1.88s.
（2）由T＝2π
，可得T2＝
，所以T2－l图线是过坐标原点的一条直线，直线斜率是k＝4π2/g，g＝
.在图线上取较远的两点（l1，T
），（l2，T
），则
k＝
，所以g＝
.
作出图象如图所示，由直线上的点（0.5，2.02）和点（1.0，4.00）可求出k＝
＝3.96，
g＝
＝
m/s2＝9.96m/s2.
变式训练
（1）秒表 游标卡尺
（2）80cm （3）周期
（4）2.018
【解析】
（1）除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，还需要秒表测周期，游标卡尺测摆球直径；
（2）为了减小实验误差，当摆球的直径约为2cm时，比较合适的摆长应选80cm；
（3）实验中，利用g＝
，求得g，其摆长L和周期T的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，周期有平方，周期的误差影响较大；
（4）读图可知，秒表读数为1.5×60＋10.9＝100.9，则周期T＝
s＝2.018s.
随堂演练
1.B 【解析】本题考察实验器材的选取，由于便于实验操作，通常选1m长的细绳．
2.ABC 【解析】单摆的最大偏角应不大于5°，摆长等于长加上小球半径，而小球半径需要用卡尺测量；测量周期时，应从最低点计时，故ABC错．
3.
（1）秒表
（2）T2 （3）
（4）7.94 【解析】
（1）要测量出全振的时间，故还需要秒表
（2）由数据表中的数据可知T2与n成正比 （3）由T2n图线可得T2＝0.2n，即T＝
，每个螺帽的质量为m0时，T2＝0.2n＝0.2
，即T＝
（4）由T＝
，m＝
·m0＝5×1.262m0＝7.94m0
第3题图
4.
（1）乙
（2）2t0 变大 变大
【解析】
（1）应将待测物体正确地放在测脚中如乙图；
（2）单摆1个周期遮光两次；单摆周期与小球质量、大小无关，但若改用直径变为原小球直径的2倍，周期变大，但遮光时间Δt变大．
5.
（1）BD
（2）a （3）30 9.86 【解析】
（1）本实验需要使用秒表测量单摆振动的周期，还需要使用毫米刻度尺测量筒下端口到摆球球心之间的距离l，所以，本题答案为BD.
（2）根据单摆的周期公式T＝2π
，可得
＝
＝k（常数），可见，在理论上T2与摆长l成正比，其T2－l图象如图乙中实线b所示；又因为
＝
＝k（常数），所以，即使l不是摆长，而是筒下端口到摆球球心之间的距离，根据所得数据得到的T2－l图线的斜率是不变的；因为本实验的记录数据中，与周期T相对于的摆长l比实际摆长偏小，据此可知，实验得到T2－l图象应该是图线a. （3）根据
＝
＝k可得g＝
，而图线a的斜率k＝
＝4s2/m，所以，当地重力加速度g＝π2＝9.86m/s2，根据图线a可知，当l＝0时，实际摆长为小筒的深度h，此时，T2＝1.2s2，根据T＝2π
，代入数据，可得h＝30cm.
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