平行四边形解题方法与技巧培优拓展提高.docx
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平行四边形解题方法与技巧培优拓展提高
◆解读平行四边形
1.平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心;平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等.
2.平行四边形的性质
(1)从边着眼:
平行四边形的两组对边分别平行且相等;
(2)从角着眼:
平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补;
(3)从对角线着眼:
平行四边形的对角线互相平分.
3.平行四边形的判定
边:
(1)两组对边分别平行;
(2)两组对边分别相等;
(3)一组对边平行且相等;
角:
两组对角分别相等;
对角线:
两条对角线互相平分;
◆平行四边形性质的活用
1.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求□ABCD的周长.
2.在面积为15的□ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线CD于点F,若AB=5,BC=6,求CE+CF的值
3.如图,□ABCD中,点E、F分别在AD、AB上,依次连接EB、EC、FC、FD,图中阴影部分的面积分别为S
、S
、S
、S
,已知S
=2、S
=12、S
=3,求S
的值
4.如图,□ABCD中,M是BC的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,求ABCD的面积.
5.如图,在□ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:
AG=CH.
6.如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=15cm2,S△BQC=25cm2,求阴影部分的面积.
7.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证:
BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
8.在□ABCD中,∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC.
(1)如图1,若∠ADC=90°,G是EF的中点,连接AG、CG.
①求证:
BE=BF.
②请判断△AGC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠ADC=60°,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那么△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)
◆判定平行四边形的五种基本方法
判定平行四边形的五种方法
1.两组对边分别平行
例:
如图1,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。
2.一组对边平行且相等
例:
已知:
如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F
(1)求证:
△BCG≌△DCE;
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,判断四边形E′BGD是什么特殊四边形?
并说明理由。
3.两组对边分别相等
例:
如图3所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF。
求证:
四边形DAEF是平行四边形;
4.对角线互相平分
例:
已知:
如图4,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,AE⊥BD于E,BF⊥AC于F,CG⊥BD于G,DH⊥AC于H,求证:
四边形EFGH是平行四边形。
5.两组对角相等
例:
将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起,四边形ABCD是平行四边形吗?
理由。
(1)如图2,将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形吗?
说出你的结论和理由:
。
◆判定平行四边形的解题思路
在学习了“平行四边形”这部分内容后,对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑:
一、考虑“对边”关系
思路1:
证明两组对边分别相等
例1在平行四边形ABCD中,点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的积为1,求平行四边形ABCD面积。
思路2:
证明两组对边分别平行
例2已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,D在BC上,延长ED到F,使ED=DF=EB.连结FC.求证:
四边形AEFC是平行四边形.
思路3:
证明一组对边平行且相等
例3如图,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证:
四边形ENFM是平行四边形.
二、考虑“对角”关系
思路:
证明两组对角分别相等
例4如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是AD、BC的中点.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路:
证明两条对角线相互平分
例5如图,在平行四边形ABCD中,P1、P2是对角线BD的三等分点.
求证:
四边形AP1CP2是平行四边形.
◆如何构造平行四边形解题
1.作一边的平行线
例
:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,在AB边上取点D,在AC的延长线上取点E,使得BD=CE,连接DE交BC于点G,求证:
DG=GE.
2.借助对角线构造
例:
如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=6,那么BC边上的中线AD的取值范围是________.
3.补形构造
例:
一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°,连续四边的长依次为AB=1,BC=3,CD=3,DE=2,求这个六边形ABCDEF的周长.
◆构造平行四边形解题的主要题型
一、求线段的长
例1如图,在正△ABC中,P为边AB上一点,Q为边AC上一点,且AP=CQ.今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm,则P点到C点的距离等于cm.
.
二、证明线段相等问题
例2如图2,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连接AE.求证:
AE=AC.
三、证明线段和差问题
例3如图3,△ABC中,D,F是AB边上两点,且AD=BF,作DE//BC,FG//BC,分别交AC于点E,G.求证:
DE+FG=BC.
四、证明线段倍分问题
例4如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于O,连接OF.试说明:
AB=2OF.
五、证明两直线平行问题
例5如图5,△ABC中,E,F分别是AB,BC边的中点,M,N是AC的三等分点,EM,FN的延长线交于点D.求证:
AB//CD.
六、证明两直线垂直问题
例6如图6,分别以△ABC的边AB,AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH,M为FH的中点.求证:
MA⊥BC.
◆平行四边形在实际生活中的应用
一、比较路线的长短
例1如图,是某城市街道示意图,AF∥BC,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE。
甲、乙两人同时从B站乘车到F站,甲乘1路车,路线B→A→E→F;乙乘2路车,路线是B→D→C→F。
假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F站?
请说明理由。
二、说明理由
例2如图,某村有一个四边形池塘,在它四个角A、B、C、D处均有一棵桃数,该村准备扩池塘建养鱼池,既想使池塘的面积扩大一倍,有想保留原来的四棵桃树不动,使挖过的池塘更美观,想挖成一个平行四边形,请问能否实现。
若能请设计,若不能,请说明理由。
三、动手操作
例3木工师傅要检验一块木板的一组对边是否平行,先用直角尺的一边紧靠木板边缘,读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度,换一个位置再读一次.如图.这两次的读数如果相等,这一组对边就是平行的.请说明这样做的理由.