平行四边形解题方法与技巧培优拓展提高.docx

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平行四边形解题方法与技巧培优拓展提高

◆解读平行四边形

1.平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心;平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等.

2.平行四边形的性质

（1）从边着眼:

平行四边形的两组对边分别平行且相等;

（2）从角着眼:

平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补;

（3）从对角线着眼:

平行四边形的对角线互相平分.

3.平行四边形的判定

边：

（1）两组对边分别平行；

（2）两组对边分别相等；

（3）一组对边平行且相等；

角：

两组对角分别相等；

对角线：

两条对角线互相平分；

◆平行四边形性质的活用

1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．

（1）求证：

OE=OF；

（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求□ABCD的周长．

2.在面积为15的□ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，求CE+CF的值

3.如图，□ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S

、S

、S

、S

，已知S

=2、S

=12、S

=3，求S

的值

4.如图，□ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，求ABCD的面积.

5.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：

AG=CH．

6.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，求阴影部分的面积．

7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：

BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

8.在□ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．

①求证：

BE=BF．

②请判断△AGC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

◆判定平行四边形的五种基本方法

判定平行四边形的五种方法

1.两组对边分别平行

例:

如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF

（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

2.一组对边平行且相等

例:

已知：

如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F

（1）求证：

△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？

并说明理由。

3.两组对边分别相等

例:

如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

求证：

四边形DAEF是平行四边形；

4.对角线互相平分

例:

已知：

如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：

四边形EFGH是平行四边形。

5.两组对角相等

例:

将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起,四边形ABCD是平行四边形吗？

理由。

（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

。

◆判定平行四边形的解题思路

在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：

一、考虑“对边”关系

思路1：

证明两组对边分别相等

例1在平行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的积为1,求平行四边形ABCD面积。

思路2：

证明两组对边分别平行

例2已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.求证：

四边形AEFC是平行四边形.

思路3：

证明一组对边平行且相等

例3如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：

四边形ENFM是平行四边形.

二、考虑“对角”关系

思路：

证明两组对角分别相等

例4如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形BFDE是平行四边形.

三、考虑“对角线”的关系

思路：

证明两条对角线相互平分

例5如图，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.

求证：

四边形AP1CP2是平行四边形.

◆如何构造平行四边形解题

1.作一边的平行线

例

:

如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC的延长线上取点E，使得BD=CE，连接DE交BC于点G，求证：

DG=GE．

2.借助对角线构造

例:

如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________．

3.补形构造

例:

一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB=1，BC=3，CD=3，DE=2，求这个六边形ABCDEF的周长.

◆构造平行四边形解题的主要题型

一、求线段的长

例１如图，在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ．今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于cm．

．

二、证明线段相等问题

例2如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE．求证：

AE=AC．

三、证明线段和差问题

例3如图3，△ABC中，D，F是AB边上两点，且AD=BF，作DE//BC，FG//BC，分别交AC于点E，G．求证：

DE+FG=BC．

四、证明线段倍分问题

例4如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF．试说明：

AB=2OF．

五、证明两直线平行问题

例5如图5，△ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D．求证：

AB//CD．

六、证明两直线垂直问题

例6如图6，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：

MA⊥BC．

◆平行四边形在实际生活中的应用

一、比较路线的长短

例1如图，是某城市街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE。

甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F。

假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？

请说明理由。

二、说明理由

例2如图，某村有一个四边形池塘，在它四个角A、B、C、D处均有一棵桃数，该村准备扩池塘建养鱼池，既想使池塘的面积扩大一倍，有想保留原来的四棵桃树不动，使挖过的池塘更美观，想挖成一个平行四边形，请问能否实现。

若能请设计，若不能，请说明理由。

三、动手操作

例3木工师傅要检验一块木板的一组对边是否平行，先用直角尺的一边紧靠木板边缘，读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度，换一个位置再读一次．如图．这两次的读数如果相等，这一组对边就是平行的．请说明这样做的理由．