手机版数学 理科 新课标版作业14.docx

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手机版数学理科新课标版作业14

小题专练·作业（十四）

一、选择题

1．（2019·湖北八校第二次联考）将5个人从左至右排成一行，最左端只能排成甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　　）

A．36种　　　　　　　　　B．42种

C．48种D．60种

答案　B

解析　若甲排在最左端，则不同的排法有A44＝24（种）；若乙排在最左端，因为甲不能排在最右端，所以不同的排法有C31A33＝18（种），所以不同的排法共有24＋18＝42（种）．故选B.

2．（2019·湖南长沙周南中学模拟）元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6个参赛节目，其中有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节目．要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这6个节目的不同编排种数为（　　）

A．48B．36

C．24D．12

答案　C

解析　依据题意，分三步情况讨论：

（1）歌曲节目排在首尾，有A22＝2种排法；

（2）将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有A22＝2种排法；（3）排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有A22C31＝6种排法．则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6＝24.故选C.

3．（2019·广西南宁三中月考）已知（mx＋1）n的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则m＝（　　）

A．2B．3

C．－2D．－3

答案　A

解析　展开式二项式系数和为32，则2n＝32，故n＝5.令x＝1，则各项系数和为（m×1＋1）5＝243，据此可得m＝2.故选A.

4．（x2＋1）（x－2）10＝a0（x－1）12＋a1（x－1）11＋…＋a11（x－1）1＋a12，则a0＋a1＋…＋a11的值为（　　）

A．2B．0

C．－2D．－4

答案　C

解析　在展开式中，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a11＋a12＝0，令x＝1，得a12＝2，所以a0＋a1＋…＋a11＝－2.故选C.

5．（2019·安徽六校第二次联考）某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有1个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（　　）

A．222种B．253种

C．276种D．284种

答案　A

解析　本题考查计数原理．设分配给3个场馆的名额数分别为x1，x2，x3，则每个场馆至少有1个名额的分配方法数为不定方程x1＋x2＋x3＝24的正整数解的个数．有C24－13－1＝C232＝253（种），其中至少有2个场馆分配名额数相同的有（i，i，24－2i），（24－2i，i，i），（i，24－2i，i）（i＝1，2，3，4，5，6，7，9，10，11），（8，8，8），共31种，所以各场馆名额互不相同的分配方法共有253－31＝222（种）．故选A.

6.（2019·重庆六区第一次调研揣测）从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有（　　）

A．360种B．510种

C．630种D．750种

答案　D

解析　方法一：

本题考查排列组合的计算，考查分析问题与解决问题的能力．利用4种颜色：

C64A44；利用三种颜色：

C63A33×3；利用两种颜色：

C62×2，故总的涂色方法有C64A44＋C63A33×3＋C62×2＝750（种）．故选D.

方法二：

C61C51C51C51＝750（种）．故选C.

7．（2019·广东揭阳模拟）已知（x＋1）（ax－）5的展开式中常数项为－40，则a的值为（　　）

A．2B．－2

C．±2D．4

答案　C

解析　（ax－）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5r·（ax）5－r·（－）r＝（－1）ra5－rC5rx5－2r.令5－2r＝－1，可得r＝3.结合题意可得（－1）3a5－3C53＝－40，即10a2＝40，所以a＝±2.故选C.

8．已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（　　）

A．－4B．－3

C．－2D．－1

答案　D

解析　由二项式定理，得（1＋x）5的展开式的通项为Tr＋1＝C5r·xr，所以当r＝2时，（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为C52，当r＝1时，x2的系数为C51a，所以C52＋C51a＝5，a＝－1.故选D.

9．使（3x＋）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

答案　B

解析　Tr＋1＝Cnr（3x）n－r·x－r＝Cnr·3n－r·xn－r－r＝Cnr·3n－r·xn－（r＝0，1，2，…，n），若Tr＋1是常数项，则有n－r＝0，即2n＝5r（r＝0，1，…，n），当r＝0，1时，n＝0，，不满足条件；当r＝2时，n＝5.故选B.

10．（2019·辽宁五校联考）把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（　　）

A．12种B．24种

C．36种D．48种

答案　C

解析　根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，可分两步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，C42＝6；

②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33＝6种方法．

则不允许有空盒子的放法有6×6＝36（种）．故选C.

11．在中国文字语言中有回文句，如：

“中国出人才人出国中．”其实，在数学中也有回文数．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如：

3位回文数：

101，111，121，…，191，202，…，999.则5位回文数有（　　）

A．648个B．720个

C．900个D．1000个

答案　C

解析　由题设中定义的回文数的概念可知：

先考虑五位回文数的中间的一个位置，每个数字都能选取，共有10种可能；其次是考虑首位数字应有除了0之外的9个数字，共有9种；最后再考虑第二个位置，10个数字都可选取，共有10种可能．由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是9×10×10＝900.故选C.

12．（2019·湖南三湘名校教育联盟联考）“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（　　）

A．360种B．480种

C．600种D．720种

答案　C

解析　从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，由分步乘法计数原理可知，排法共有C54A55＝600（种）．故选C.

13．（2019·湖北黄冈中学模拟）对33000分解质因数得33000＝23×3×53×11，则33000的正偶数因数的个数是（　　）

A．48B．72

C．64D．96

答案　A

解析　33000的因数有若干个2（共有23，22，21，20，四种情况），若干个3（共有3，30两种情况），若干个5（共有53，52，51，50四种情况），若干个11（共有111，110两种情况）．由分步计数乘法原理可得，33000的因数共有4×2×4×2＝64（个）,不含2的共2×4×2＝16（个），所以正偶数因数的个数有64－16＝48（个），即33000的正偶数因数的个数是48.故选A.

14．（2019·安徽马鞍山二模）二项式（x＋）n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（　　）

A．3B．5

C．6D．7

答案　D

解析　根据（x＋）n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴（x＋）20的展开式的通项为Tr＋1＝C20r·（x）20－r·（）r＝（）20－r·C20r·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项．故选D.

15．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．

例如：

163可表示为“”，27可表示为“”，问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（　　）

A．48B．60

C．96D．120

答案　C

解析　设8根算筹的组合为（a1，a2，a3）（ai∈{1，2，3，4，5}，i＝1，2，3），不考虑先后顺序，则可能的组合为（1，2，5），（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3）．对于（1，2，5），组合出的可能的算筹为（1，2，5），（1，6，9），（1，2，9），（1，6，5），共4种，可以组成的三位数的个数为4×3！

（种），同理（1，3，4）可以组成的三位数的个数为4×3！

（种）；对于（2，2，4），组合出的可能的算筹为（2，2，4），（6，6，4），（2，2，8），（6，6，8），（2，6，4），（2，6，8），共6种，可以组成的三位数的个数为2×3！

＋4×（种），同理（2，3，3）可以组成的三位数的个数为2×3！

＋4×（种）．利用分类加法计数原理可得，8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为12×3！

＋8×＝16×3！

＝96.故选C.

二、填空题

16．（2019·湖南五市十校共同体联考）（x＋1）（x－1）6的展开式中x6的系数为________．

答案　－5

解析　（x－1）6展开式的通项为Tr＋1＝C6rx6－r（－1）r，则T2＝C61（－1）x5，T1＝C60x6，所以（x＋1）（x－1）6的展开式中x6的系数为C61（－1）＋C60＝－5.

17．（2019·湖北部分重点中学第二次联考）将甲、乙、丙、丁、戊共5名大学生安排到3个不同地区实习（每地至少1人），其中甲和乙不能安排在同一地区，甲和丙必须安排在同一地区，则不同的安排方案共有________种（用数字作答）．

答案　30

解析　若一个地区安排3人，另两个地区各安排1人，则有C21A33＝12种不同的安排方案；若两个地区各安排2人，另一个地区安排1人，则有C32A33＝18种不同的安排方案，由分类加法计数原理可得不同的安排方案有12＋18＝30（种）．

18．二项式（2＋）n（n∈N*）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．

答案　3

解析　由题意可得Cn0·2n，Cn1·2n－1，Cn2·2n－2成等差数列，即2Cn1·2n－1＝Cn2·2n－2＋Cn0·2n，化简可得n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1（舍去）．故二项式（2＋）n＝（2＋）8的展开式的通项为Tr＋1＝C8r·28－r·x，令为整数，可得r＝0，4，8.所以展开式中有理项有3项．

19．设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i＝1，2，3，4）使得ai＝i成立，则满足此条件的不同排列的个数为________．

答案　15

解析　根据题意，a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44＝24（个），假设不存在i（i＝1，2，3，4）使得ai＝i成立，则a1可取2，3，4其中的1个，有3种不同的情况，不妨设a1＝2，则a2可取1，3，4其中的1个，也有3种不同的情况，此时a3，a4只有1种取值情况，则不存在i（i＝1，2，3，4）使得ai＝i成立的不同排列有3×3＝9（个），则至少有一个i（i＝1，2，3，4）使得ai＝i成立的不同排列的个数为24－9＝15.

20．（2019·山西太原模拟）如图所示，玩具的计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠