平面向量与解析几何综合问题.docx

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平面向量与解析几何综合问题

平面向量与解析几何交汇的综合问题

设计立意及思路

向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。

而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。

本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量

积及其几何意义，圆锥曲线的定义。

2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

咼考考点回顾

近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：

2002年天

津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全

国卷理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修U）21道；辽宁19道；湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。

就应用层面上又有两个层次。

第一层次：

考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况.第二层次：

考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。

考查学生把向量作为工具的运用能力•这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.

基础知识梳理

1.向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；

2.实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；

3.平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分

点人坐标公式和向量的平衡移公式；

4.椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；

5.曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；

6.直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；

7.平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

例题讲解

一、“减少运算量，提高思维量”是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。

而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无

疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。

在以向量为载体，求轨迹

方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义

例1.已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x一..3）i•yj,b=（x..3）iyj,且满足|a|+|b|=4.

（1）求点P（x,y）的轨迹C的方程.

⑵如果过点Q（O,m）且方向向量为c=（1,1）的直线I与点P的轨迹交于A，B两点，当厶AOB勺面积取到最大值时，求m的值。

解：

⑴a=（x—、.3）iyj,|b|=（x、3）iyj,且|a|+|b|=4.

.点P（x,y）到点（.3,0），（-、3,0）的距离这和为4,故点P的轨迹方

2程为y2=1

（2）设A（x「y1）,B（X2,y2）依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得

5x28mx4m2「4二0，贝Ux1+x2=-备m,x^x2=4（m2-1）

因此，S必ob=*|ABd=5讥5_m2）m2

当5-m2=m2时，即m=-4°时，Smax=1

［题设变式1.1］已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x-3）i•yj,b=（^3）iyj,且满足||a|-|b||=2.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（轨迹为双曲

线）

［题设变式I.2］已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x-〒3）i•yj,b=（^3）iyj,且满足b•i=|a|.求点P（x,y）的轨迹C的方程.

［提示：

设K（-3,0），F（.3,0），则b*i表示KP在x轴上射影，即点P到x=-<3的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=-3的距离比为1,故点

P的轨迹是以（.3,0）为焦点以x=-<3为准线抛物线］

［题设变式I.3］已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x-3）i•yj,b=（^3）i-yj,且满足b•i=■|a|.求点P（x,y）的轨迹C的方程.

［提示：

设K（-..3,0），F（.3,0），则b*i表示KP在x轴上射影，即点P到x=

-3的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=-的距离比为

已―=1，当0:

:

：

1：

:

1时，点P的轨迹是以（...3,0）为焦点，以x=-3为相

b・i

应准线的椭圆；当11时，点P的轨迹是以（...3,0）为焦点，以x=-,3为相应

九

准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支■应满足什么条件？

］

［题设变式1.4］已知平面上两定点K、F,P为一动点，满足，kP・kF=PFKF.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线）

［题设变式1.5］已知平面上两定点KF，P为一动点，满足，K^.K^=ZPF.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。

）

［考题］已知点A（—2...2，0），B（-,2，0）动点P满足APAB=2|AB||BP|

（1）若动点P的轨迹记作曲线Ci，求曲线Ci的方程•

（2）已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，-■）作斜率为k的直线交曲线

3

C1于M、N点，求证：

无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）

［题设变式II.1］已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x-3）i•yj,

■■■■

b=（^3）iyj,且满足|a+b|=4..求点P（x,y）的轨迹C的方程.

（A^+B^=2OP,点P轨迹为圆，其中A（矗，0），B（—，0））

［题设变式11.2］已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x-A3）i•yj,

b=（x「3）i-yj,且满足a*b=6.求点P（x,y）的轨迹C的方程.（轨迹为圆）

例2、已知两点M（-2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影是H,如果PHPH,pMPN分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知过点N的直线I交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B,设R为AB的中点，若过点R与定点Q（0,-2）的直线交x轴于点D（x。

，0），求Xo的取值范围.

导析

（1）设P（x，y），贝UH（0，y），PH二（-x,0）,

PM=（-2-x,-y）,PN=（2-x,-y）.

所以PHPH=x2,PMPN=（2-x）（-2-x）y2=x2y2-4.

22

PMPNxy-4

又因为2,所以有22.

PHPHx

所以点P的轨迹方程为y2-x2=4（x丰0）.

（2）设ABy=k（x-2），AXyJ，Bgy?

），Ra）.y=k（x）_2

22

y-x

2

（k4）

A=16k4—16（k2-1）2

yiy20,

y3y20-

所以x0—

12—

k2k

=32k2-160,

可得k2>1，由题意可知一2vkv1，

22

所以iv1v2，所以2-1v-（1-^）2+-v1,所以2vxov2+22.

kk24

故所求的xo的取值范围为（2,2+22）.

［题后反思］若改变q的值能否构造出椭圆来呢？

［当0vqv1时，点P的轨迹为椭圆］

例3、如图所示，点F（a,0）（a>0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动

且PMPF=0,PN—PM

（1）求点N的轨迹C的方程；

（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于AB两点，设点K（-a，0），KA与KB的夹角为二，求证：

0v二v二.

2

［答案提示］

（1）点N的轨迹C的方程为y2=4ax

［变化］点F（a,0）（a>0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，

且PM卩F=0,PN二.PM，（-为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗？

；

二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

两点,

1-

⑴。

MV（OC6），求点M的轨迹方程.

［答案（x-1）23y2=1］

⑵若相应于焦点F的准线I与x轴相交于点A,|0F|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点•设aP=》-AQ（扎>1），过点P且平行于准线I的直线与椭圆相交于另一点M证明：

FM=-XFQ.

解：

（1）略

（2）证明：

AP=区-3,y1）,AQ二（x2-3,y2）.由已知得方程组

x〔—3=丸（X2_3）,

%=扎y2,

22

62'

22x2y2

—=1.

.62

因F（2,0）,M（x1,-yj，故

FM-2,-力）=（心2-3）1,-yj

1■1=（,-%）「-（,y2）•

22

1

而FQ二区-2,y2）=（,y2），所以

2、

FM7.FQ.

［结论发散］设P（xo,yo）为椭圆上一点,

⑴求PF,・PF的Min

⑵求PF,*PF的Max

⑶当PF,・PF<0时，xo的取值范围。

⑷若相应于焦点F的准线丨与x轴相交于点A,AP•FF^3，求PF,

|PQ+PF=2a+|PQ—PF；<2a+pQ—PF；=2a+FQ

2

例5.已知A、B为抛物线x=2py（p>0）上两点，直线AB过焦点F，AB在准线

线方程得x2-2kpx•-p2=0

212

住二—p,y』2P

2

OA*OB二x1x2y1y^-7p=-6

（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，

1■］■1■IbI211I■I

贝UTA・TB二（TPPA）*（TPPB）TpTP*（PAPB）PA•PB

=H|db-CA）2-PA*PB=4（FB网）2-PA=1AB?

-1AB?

=0故存在点K即点T,使得KA・KB=0

［实质：

以AB为直径的圆与准线相切］

［结论发散1］y轴上是否恒存在一点K,使得KA-KF=0

［实质：

以AF为直径的圆与y轴相切］

［结论发散2］求证：

CF.DF=0

［结论发散3］求证：

存在实数■使得AD二，A0

［实质：

证明AOD三点共线（2001年高考题）］

［结论发散4］

［题设变更1］

标为（0,4p）

（1）求证：

设线段AB中点P在在准线上的射影为T,证明：

FT•AB=0

已知AB为抛物线x=2py（p>0）上两点，OA・OB=0，点C坐

AC//AB

（2）若AM=■BMC-R）且OM・AB=0试求点M的轨迹方程。

［题设变更2］（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m>0）作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

设点P分有向线段AB所成的比为■，证明：

QP_（QA_・QB）；

解：

依题意，可设直线AB的方程为y二kx•m,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-4m0.①

设A、B两点的坐标分别是X，%）、（x2,y2）,则为、X2是方程①的两根.所以x/2二-4m.

由点p（0，m分有向线段AB所成的比为■，得冬—°,即一鼻.

1+九x2

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，—m，从而QP=（0,2m）.

QA-QB二区，y「m）-'；（x2,y2m）=（捲-'；x2,%-'；y2（1-'；）m）.

QP（QA-■QB）=2m[y,-y2（1-•）m]

4x2

=2m[^也述（1』）n]=2m（X1X2）X1X24m

4x24x2

4x2

c/丄\_4m+4m二2m（x-ix2）

思维能力训练

一、选择题

1、（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3,1）,B（_1,3）,

若点C满足OC=〉OA「OB，其中:

JR，且“〔七-1，则点C的轨迹方程

为（）

A.3x2y_11=0B.（x-1）2（y-2）2=5

C.2x_y=0D.x2y_5=0

2、已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x—2）iyj,b=（x-2）iyj,

且满足|a|+|b|=4.则点P（x,y）的轨迹是.（）

A、椭圆B.双曲线C•线段

3、已知四边形ABCD是菱形，点

D.射线

P在对角线AC上（不包括端点AC），则AP=

OP=OA•'（ABAC），■[0^-），则点P的轨迹一定通过ABC的（）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

——2—-一

5、已知两点A（-1,0）,B（1,0），动点P在y轴上的射影是Q且PQ二2PAPB则动点P的轨迹为（）：

A、抛物线B.双曲线C•椭圆D.直线

6•已知A、B为抛物线x?

=2py（p>0）上两点，直线AB过焦点F，AB在准线上的射影分别为C。

，则

（1）y轴上是否恒存在一点K,使得KA-KF=0

（2）Cf*DF=0（3）存在实数■使得AD=■AO（4）若线段AB中点P在在准线上的射影为T,有FT・AB=0

中说法正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7、已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=（x-3）i•yj,b=（^'3）iyj,

且满足b•i=2|a|.则点P（x,y）的轨迹方程为

22

8、已知Fi,F2椭圆盖碁1的两个焦点，Pg%）为椭圆上一点,

当PF1・PF2<0时，Xo的取值范围为.。

三、解答题

2

9.（2004年全国高考辽宁19）设椭圆方程为XI1，过点M（0,1）的直线

4

l交椭圆于点A、B,O是坐标原点，点P满足OP二丄（OA•OB），点N的坐标为

2

11

（-,-），当I绕点M旋转时，求：

22

（1）动点P的轨迹方程；

（2）|NP|的最小值与最大值.

10.已知双曲线C:

22

冷-爲=1（a0,b0）,B是右项点，F右焦点，点A在x轴

a2b2

正半轴上，且满足，

|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过F作双曲线C在第一、

第三象限的渐近线的垂线I，垂足为P。

（1）求证：

PA・OP=PA・FP

（2）若I与双曲线C的左、右支分别相交于点DE,求双曲线C的离心率e的取值范围。

11.已知点H（0,—3）,点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ

附页:

例1［题设变式1.5］考题：

已知点A（-22,0）,B（-.._2,0）动点P满足

APAB=、2|AB||BP|

（1）若动点P的轨迹记作曲线Ci，求曲线Ci的方程.

42

⑵已知曲线Ci交y轴正半轴于点Q,过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线

3

Ci于M、N点，求证：

无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.

解:

（1）设P（x，y），则有AP=（x22,y）AB二（.、2,0）BP=（x.、2,y）

•/APAB=2|ABII丽I2x4»：

2、2.（x•2）y2

得：

x22y2=4

22_

（2）由』+厶=1得Q（o,J2）设直线C的方程为y=kx^—

423

22十224.2

代入x+2y=4得（1+2k）x-

设M（X1,yjN（X2,y2）

QM

=（兀，y^2）,QN=区』2-•、2）

%*2=42<

3

（1）k2

32

x^"9（12k2）

4J2

）咫-）

3

322

（1k）一一

94、2,4、2k32

3——■

上，且满足HPPM-0,PMMQ.

2

（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；

（2）过定点A（a,b）的直线与曲线C相交于两点S、R,求证：

抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上•