全国初中数学竞赛试题及答案.docx

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全国初中数学竞赛试题及答案

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，

则M与P的大小关系是（）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

答：

（B）。

∵M＝，N＝，P＝，M－P＝

，∵，∴＞，即M－P＞0，

即M＞P。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千

米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是

（）。

答：

（C）。

因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S

的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，

唯图（C）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲

大5岁。

答：

（A）。

由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。

4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、

B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都

是整数的点有（）。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

答：

（B）。

在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝

－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，

∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。

5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B

的关系是（）。

（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

答：

（B）。

由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是

CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:

AC＝AC:

DC，

∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝

2∠BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为

，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。

（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。

答：

（D）。

分别构造△ABC与△A1B1C1如下：

①作△ABC∽△A1B1C1，显然

，即S＞S1；②设，则，S＝10，

，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设

，则，S＝10，，则

，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知：

，那么＝________。

答：

1。

∵，即。

∴

。

8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝

120°，则梯形ABCD的面积等于________。

答：

66＋6（平方单位）。

作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝

6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。

由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因

为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，

∴。

9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条

件的整数有________个。

答：

5。

①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，

再由且是整数，知，∴；由

①、②得符合条件的整数有5个。

10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高

出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，

以固定电线杆。

那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答：

2.4米。

作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，

得及，两式相加得，由此得米。

即点P

离地面的高度为2.4米。

（注：

由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结

论无关。

）

11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线

恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么＝________。

答：

。

直线通过点D（15，5），故BD＝1。

当时，直线

通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率

增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。

（注：

×100％）

答：

17％。

设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为

×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，

依题意得：

×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品

原来的利润率为×100％＝17％。

三、解答题

13、设是不小于的实数，使得关于的方程

有两个不相等的实数根。

（1）若，求的值。

（2）求的最大值。

解：

因为方程有两个不相等的实数根，所以

，∴。

根据题设，

有。

（1）因为

，即

。

由于，故。

（2）

。

设

上是递减的，所以当时，取最大值10。

故的最大值

为10。

14、如上图：

已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，

AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积。

解：

由题设得AB

2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:

AC＝AE:

AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。

连结AD，交BD于H，则BH＝

HD＝。

∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。

∴，∵E是AC的中点，

∴，

，∴，∴。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只

能在第2层至第33层中的某一层停一次。

对于每个人来说，他往下走一层楼梯

感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。

现在有32个人在第一层，

并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：

电梯停在哪一层，可以使得这

32个人不满意的总分达到最小？

最小值是多少？

（有些人可以不乘电梯而直接从

楼梯上楼）

解：

易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住

的层数。

事实上，设住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，。

交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：

设电梯停在第层。

①当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则

这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总

分也为。

②当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则

这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为

。

③当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则

这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分

为，前者比后者多。

④当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这

两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为

，前者比后者多。

⑤当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则

这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分

为，前者比后者多。

今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

当＝27，＝6时，＝316。

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316

分。

有人问我，爱情是什么？

我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？

是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。

爱情的世界里，究竟是什么样子？

我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。

我只知道：

我要遇见你，我渴望见到你,我要把全部的爱给予你！

我为什么如此渴望爱情？

因为

我相信我们的爱情早已命中注定。

都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。

你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间,你的脑海里都是她的影子，为了让她开心快乐，做什么都是值得的。

从此，你的世界里最重要的人就变成了她。

有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。

因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。

而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。

爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点,都想做那个爱的最深的人,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。

有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也逃不了魔咒。

还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋,而我却笃定爱情的世界里只有你和我.

还记得吗？

你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！

或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，

深深的爱着.

最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。

有人问我，爱情是什么？

我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？

是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。

爱情的世界里，究竟是什么样子？

我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。

我只知道：

我要遇见你，我渴望见到你,我要把全部的爱给予你！

我为什么如此渴望爱情？

因为

我相信我们的爱情早已命中注定。

都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。

你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间,你的脑海里都是她的影子，为了让她开心快乐，做什么都是值得的。

从此，你的世界里最重要的人就变成了她。

有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。

因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。

而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。

爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点,都想做那个爱的最深的人,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。

有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也逃不了魔咒。

还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋,而我却笃定爱情的世界里只有你和我.

还记得吗？

你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！

或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，

深深的爱着.

最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。