全国初中数学竞赛试题及答案.docx

1、全国初中数学竞赛试题及答案2000 年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设 的平均数为 M， 的平均数为 N，N， 的平均数为 P，若 ，则 M与 P的大小关系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。答：（B）。M ，N ，P ，MP， ， ，即 MP0，即 MP。2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回 千米（ ），再前进 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（ ）。答：（C）。因为图（ A）中没有反映休息所消耗的时间；图（ B）虽表明折返后 S的变化，但没有表示消耗的时间；图（ D）中没有反映沿原始返

2、回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（ ）。（A）甲比乙大 5 岁；（ B）甲比乙大 10 岁；（ C）乙比甲大 10 岁；（ D）乙比甲大 5 岁。答：（ A）。由题意知3（甲乙） 2510，甲乙 5。4、一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为A、B，并且过点（ 1， 25），则在线段AB上（包括端点 A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。（A）4 个；（ B）5 个；（ C）6 个；（ D）7 个。答：（B）。在直线 AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 14N， 255N，（N是整数）

3、在线段AB上这样的点应满足 14N0，且 255N 0， N 5，即 N1，2，3，4，5。5、设分别是ABC的三边的长， 且 ，则它的内角 A、B的关系是（ ）。（A）B2A；（ B）B2A；（ C）B2A；（ D）不确定。答：（ B）。由 得 ，延长CB至 D，使 BDAB，于是CD ，在 ABC与DAC中，C 为公共角，且 BC:ACAC:DC，ABCDAC，BACD， BADD， ABCDBAD2D2BAC。6、已知 ABC的三边长分别为 ，面积为 S，A 1B1C1 的三边长分别为，面积为 S1，且 ，则S 与 S1 的大小关系一定是（ ）。（A）SS1；（B）SS1；（ C）SS1

4、；（ D）不确定。答：（ D）。分别构造 ABC与A 1B1C1 如下：作 ABCA 1B1C1，显然，即 SS1；设，则，S10，则S1 10010，即 SS1；设，则，S10， ，则，S110，即 SS1；因此， S与 S1 的大小关系不确定。二、填空题7、已知： ，那么 _。答：1。 ，即 。8、如图，在梯形 ABCD中，ABDC，AB8，BC6 ，BCD45 ，BAD120 ，则梯形 ABCD的面积等于 _。答：666 （平方单位）。作 AE、BF垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由 BC6 ，BCD45 ，得 AEBFFC6。由BAD120 ，得DAE30 ，因为 AE6 得 DE2

5、 ，ABEF8，DC2 86142 ， 。9、已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数有 _个。答：5。当 时， ；当 时，易知 是方程的一个整数根，再由 且 是整数，知 ， ；由、得符合条件的整数 有 5 个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4 米、6 米的 A、C处，向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD与 BC的交点 P 离地面的高度为 _米。答：2.4 米。作 PQBD于 Q，设 BQ 米，QD 米，PQ 米，由ABPQCD，得 及 ，两式相加得 ，由此得 米。即点 P离地面

6、的高度为 2.4 米。（注：由上述解法知， AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 B的坐标为（15，6），直 线恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分，那么 _。答： 。直线 通过点 D（15，5），故BD1。当 时，直线通过 ， 两点，则它恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分。12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4 ，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是 _。（注： 100）答：17。设原进价为 元，销售价为 元，那么按原进价销售的利润率为 100，原进价降低 6.4 后，在销售时的

7、利润率为 100，依题意得： 1008 100，解得 1.17 ，故这种商品原来的利润率为 10017。三、解答题13、设 是不小于 的实数，使得关于 的方程有两个不相等的实数根 。（1）若 ，求 的值。（2）求 的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以， 。根据题设，有 。（1）因为，即。由于 ，故 。（2）。设上是递减的，所以当 时， 取最大值 10。故 的最大值为 10。14、如上图： 已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与 BD的交点为E，AEEC，AB AE，且 BD2 ，求四边形ABCD的面积。解：由题设得AB22AE2AE AC，AB:AC AE:AB，又 E

8、ABBAC， ABEACB， ABEACB，从而 ABAD。连结AD，交 BD于 H，则BHHD 。OH 1，AHOAOH211。 ，E 是 AC的中点， ， ， 。15、一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？ （有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这32 个人恰好是

9、第 2 至第 33 层各住 1 人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第 层的人乘电梯， 而住第 层的人直接走楼梯上楼， 。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第 层。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

10、；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。当 时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多 。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。今设电梯停在第 层，在第一层有 人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：当 27， 6 时， 316。所以，当电梯停在第 27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为 316分。有人问我，爱情是什么？我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等

11、待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。爱情的世界里，究竟是什么样子？我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。我只知道： 我要遇见你，我渴望见到你 ,我要把全部的爱给予你！我为什么如此渴望爱情？因为我相信我们的爱情早已命中注定。都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间 ,你的脑海里都是她的影子，为了让

12、她开心快乐，做什么都是值得的。从此，你的世界里最重要的人就变成了她。有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点 ,都想做那个爱的最深的人 ,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也

13、逃不了魔咒。还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋 ,而我却笃定爱情的世界里只有你和我 .还记得吗？你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，深深的爱着 .最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。有人问我，爱情是什么？我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜

14、老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。爱情的世界里，究竟是什么样子？我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。我只知道： 我要遇见你，我渴望见到你 ,我要把全部的爱给予你！我为什么如此渴望爱情？因为我相信我们的爱情早已命中注定。都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间 ,你的脑海里都是她的影子，为了让她开心快乐，做什么都是值得的。从此，你的世界里最重要的人就变成了她。有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，

15、而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点 ,都想做那个爱的最深的人 ,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也逃不了魔咒。还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋 ,而我却笃定爱情的世界里只有你和我 .还记得吗？你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，深深的爱着 .最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。