奥数比和比例含答案.docx

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奥数比和比例含答案

比和比例

月日姓名

【知识要点】

一、比和比例的性质

性质 1：

若 a:

 b=c：

d，则（a + c）：

（b + d）= a：

b=c：

d；

性质 2：

若 a:

 b=c：

d，则（a - c）：

（b - d）= a：

b=c：

d；

性质 3：

若 a:

 b=c：

d，则（a +x c）：

（b +x d）=a：

b=c：

d；（x 为常数）

性质 4：

若 a:

 b=c：

d，则 a×d = b×c；（即外项积等于内项积）

正比例：

如果 a÷b=k（k 为常数），则称 a、b 成正比；

反比例：

如果 a×b=k（k 为常数），则称 a、b 成反比．

二、主要比例转化实例

①

x  a

=     ⇒

y  b

b        x  a        mx  a

= = =

x  a    a  b x  y        y  b        my  b    y  mb

③

x  a         x     a

=     ⇒        =

y  b        x + y  a + b

；

a + b

= =

x     a x - y  a - b

；

④

x  a

= ⇒      =

y  b   z  d          z  bd

⑤x 的

c 等于 y 的 d ，则 x 是 y 的 ad ， y 是 x 的 bc ．

a b              bc           ad

三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：

将 x 个物体按照 a :

 b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体

数量与 x 的比分别为 a :

 （a + b ）和 b :

 （a + b ） ，所以甲分配到 ax 个，乙分配到 bx 个.

a + ba + b

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：

两个类别 A 、B ，元素的数量比为 a :

 b （这里 a > b ），数量差为 x ，那么 A 的元素数量为 ax ，B

a - b

的元素数量为 bx ，所以解题的关键是求出 （a - b ） 与 a 或 b 的比值．

a - b

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。

题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具

体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。

在

解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，

还是成反比例。

找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找

到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题

【典型例题】比例转化

【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的

乙两数和的 5 ，求甲:

乙 :

 丙 .

7

1 ，乙等于甲、丙两数和的 1 ，丙等于甲、

3 2

【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 2 ，那么甲的 2 、乙的 2 倍、丙

33

的一半这三个数的比为多少？

【例 3】 如下图所示，圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的 4 ，且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面

5

积的 1 ，圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积的 1 ，圆 C 的阴影部分面积占圆 C 面积的 1 ．求圆 A 、

653

圆 B 、圆 C 的面积之比．

A

BC

【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 3:

 2 ，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数

比是 10:

8:

 7 ，甲组中男、女会员的人数之比是3:

1 ，乙组中男、女会员的人数之比是5 :

 3 ．求

丙组中男、女会员人数之比．

【巩固】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同

多的一段时间后，分别剩下 60% 、 40% 的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率 （建设

速度）之比 3:

1 ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比 .

【例 5】 某团体有 100 名会员，男女会员人数之比是14:

11 ，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人

数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 12:

13 、5 :

 3 、2 :

1 ，那么丙组有多少名男会员？

【例 6】A 、 B 、 C 三项工程的工作量之比为 1:

 2:

3 ，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时

开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙

未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的

工作效率的比是多少？

【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：

①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一

等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:

 6 ；③甲、乙两校获二

等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的

50% ；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍．那么，乙校获一等奖的人数占

该校获奖总人数的百分数等于多少？

【例 7】 ①某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女

生总数多 1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1．那

么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

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【按比例分配与和差关系】

（一）量倍对应

【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到 16 个，而甲、乙两班的人数比为

13:

11 ，求一共有多少个苹果？

【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 3:

4:

6 ，三人一共藏书 52 本，求他们三人各自

的藏书数量.

【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所

捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10:

7 ，则甲捐多少元，乙捐多少元，丙捐多少元．

【巩固】有 120 个皮球，分给两个班使用，一班分到的 1 与二班分到的 1 相等，求两个班各分到多少

32

皮球？

【例 9】 一班和二班的人数之比是 8:

 7 ，如果将一班的 8 名同学调到二班去，则一班和二班的人数比

变为 4 :

 5 ．求原来两班的人数．

【例 10】 幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生．已知大班男生数与女生数的比为 5 :

 3 ，中班

男生数与女生数的比为 2 :

1 ，那么大班有女生多少名？

【巩固】参加植树的同学共有 720 人，已知六年级与五年级人数的比是 3:

 2 ，六年级比四年级多 80 人，

三个年级参加植树的各有多少人 ?

【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是 4：

3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 71．5 元．问圆珠笔的单价

是每支多少元?

【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从 A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，已

知乙蚂蚁的速度是甲的 1.2 倍，求这个长方形的周长．

A甲

乙C

B

【例 12】 甲乙两车分别从 A， B 两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是 5∶4，相遇后，

甲的速度减少 20％，乙的速度增加 20％，这样，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米．问：

A，B 两地相距多少千米？

【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟．完成

任务时，师傅比徒弟多加工 100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【巩固】师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟．完

成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

【例 14】 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440 公升，如果 A 、 B 两桶装满水， C 桶是空的；若将 A 桶

水的全部和 B 桶水的 1 ，或将 B 桶水的全部和 A 桶水的 1 倒入 C 桶，C 桶都恰好装满．求 A 、

53

B 、 C 三个水桶容积各是多少公升？

【巩固】正方向教育学校四五六年级共有 615 名学生，已知六年级学生的 1 ，等于五年级学生的 2 ，

25

等于四年级学生的 3 。

这三个年级各有多少名学生学生？

7

家长留言：

1、由甲等于乙、丙两数和的 1 ，得到甲等于三个数和的 1 = 1 ，同样的乙等于甲、丙两数和的 1 = 1 ，

33+142+13

同样的丙等于甲、乙两个数和的5= 5，所以甲:

乙 :

 丙 = 1 :

 1 :

 5 = 3:

 4:

5 ．

7 + 5124 3 12

2 、 甲 的 一 半 、 乙 的 2 倍 、 丙 的 2 这 三 个 数 的 比 为 1 :

 1 :

 ， 所 以 甲 、 乙 、 丙 这 三 个 数 的 比 为

3

⎛1 ⎫⎛2 ⎫

⎝2 ⎭⎝3 ⎭2 2

4:

1:

3 ，那么甲的

2 、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的比为

3

⎛⎛1 ⎫

ç

A

BC

3 、设 A 与 B 的共同部分的面积为 x ， A 与 C 的共同部分的面积为 y ，则根据题意有

A =

⎛ B

+

4                     5      3                       ⎝ 5  3 ⎭

以 A = 5 （B + C ） = 20C .最后得到 A :

 B :

 C = 20:

15:

1 .

4

4 、以总人数为 1 ，则甲组男会员人数为

10      3    3 ，女会员为 3 1 1 ，乙组男会员为

10 + 8+ 7  3+ 1  10 10  3  10

⎛ 1

10 + 8+ 75+ 3555253+2⎝ 105 ⎭103+2⎝ 1025 ⎭50

所以，丙组中男、女会员人数之比为 1 :

 9 = 5:

9 ．

10 50

【解析】（法一）甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度，仅完成了 40% 的承包任务，而乙工程队完成了 60% ，

所以甲工程队承包任务的 40% 等于乙工程队承包任务的 60% ⨯ 3 = 180% ，所以甲工程队的承包

的任务是乙工程队承包任务的 180% ÷ 40% = 450% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比

为 450%:

1 = 9:

 2 ．

（法二）两个工程队完成的工程任务 （修建公路长度 ）之比等于工作效率之比，等于 3:

1 ，而他们分别完

成 了 各 自 任 务 的 40% 和 60% ， 所 以 两 个 工 程 队 承 包 的 修 建 公 路 长 度 之 比 为

（3 ÷ 40%）:

 （1 ÷ 60%） = 9 :

 2 ．

【解析】会员总人数 100 人，男女比例为14:

11 ，则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人；又已知甲

组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为 50 人，乙、丙人数之和为 50 人，

可设丙组人数为 x 人，则乙组人数为 （50 - x ）人，又已知甲组男、女会员比为 12:

13 ，则甲组

男、女会员人数分别为24 人、 26 人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：

52

83

男会员人数为 18 ⨯ 2 = 12 人．

3

【解析】根据题意，如果把 A 工程的工作量看作 1，则 B 工程的工作量就是 2 ，C 工程的工作量就是 3 ．

设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 x 、 y 、 z .经过 k 天，则：

⎧2kx = - ky

⎪

⎩

（ ） 1

（ ） 2

（3）

将⑶代入⑵，得 ky = 2 + kx

3

（4） ，

将⑷代入⑴，得 2kx = 2 - 2 + kx ， x = 4 ，

37k

将 x = 4 代入⑴，得 y = 6 ．代入⑶，得 z = 3 ．

7k7k

甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是 4 :

 6 :

 3 = 4 :

 6 :

3 ．

7k 7k 7k

【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：

①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一

等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:

 6 ；③甲、乙两校获二

等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的

50% ；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍．那么，乙校获一等奖的人数占

该校获奖总人数的百分数等于多少？

【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为 6 :

 5 ，不妨设甲校有 60 人获奖，则乙校有 50 人

获 奖 ． 由 ③ 知 两 校 获 二 等 奖 的 共 有 （60 + 50） ⨯ 20% = 22 人 ； 由 ⑤ 知 甲 校 获 二 等 奖 的 有

22 ÷ （4.5 + 1）⨯ 4.5 = 18 人；由④知甲校获一等奖的有 60 - 60 ⨯ 50% - 18 = 12 人，那么乙校获一等奖

的也有 12 人，从而所求百分数为 12 ÷ 50 ⨯100% = 24% ．

【解析】如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1；由③知，四至九班

的男生总数比四、五、六班总人数少 1．

一班男生多 1 人

比二、三班女生

二、三班男生

加上二、三班男生

比二、三班总人数多 1 人

一、二、三班男生

七、八、九班男生

四、五、六班女生

比

四、五、六班男生四、五、六班男生

少 1 人

加上

四、五、六、七、八、九班男 比四、五、六班总人数 少 1 人

生

因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女

生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是 5:

 4 ．

模块二、按比例分配与和差关系

（一）量倍对应

【解析】一共有 16 ÷ （13 - 11）⨯ （13 + 11） = 192 个苹果.

【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 3:

 4:

 6 ，三人一共藏书 52 本，求他们三人各自

的藏书数量.

46

3 + 4 + 63 + 4 + 63 + 4 + 6

34

3 + 4 + 63 + 4 + 6

6

3 + 4 + 6

【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所

捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10:

7 ，则甲捐元，乙捐元，丙捐

元．

【解析】由于甲比丙多捐 18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元，那么甲、乙所

捐资的和为：

 18 ÷ （10- 7）⨯ 10= 60 元），乙、丙所捐资的和为 60 - 18 = 42元．所以，甲捐了

80 - 42 = 38（元），乙捐了 60 - 38 = 22 （元），丙捐了 38 - 18 = 20 （元）．

【巩固】有 120 个皮球，分给两个班使用，一班分到的 1 与二班分到的 1 相等，求两个班各分到多少

32

皮球？

【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比 1 :

 13= 72 个，二班

2 33 + 2

分到皮球 120 - 72 = 48 个．

【解析】原来一班的人数为两班总人数的8= 8 ，调班后一班的人数是两班人数的4= 4 ，调班前

8 + 7154 + 59

后一班人数的比值为 8 :

 4 = 6 :

 5 ，所以一班原来的人数为 8 ÷ （6 - 5）⨯ 6 = 48 人，二班原来的人

15 9

数为 48 ÷ 8 ⨯ 7 = 42 人.

【解析】由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18 名女生

全部是大班，则大班男生数：

女生数= 5:

3 = 30:

18 ，即男生应有 30 人，实际上男生有 32 人，

相差 2 个人；又中班男生数：

女生数 = 2:

1 = 6:

3 ，以 3 个中班女生换 3 个大班女生，每换一

组可增加 1 个男生，所以需要换 2 组；所以，大班女生有 18 - 3 ⨯ 2 = 12 （名）．

【解析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有720 + 80 = 800 人，四、五、六三个年

级的人数比为 3:

 2:

3 ，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级

32

3 + 2 + 33 + 2 + 3

300 - 80 = 220 人．

【解析】设圆珠笔的价格为 4，那么铅笔的价格为 3，则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为 20×4+21

×3=143，则单位“1”的价格为 71.5÷143=0.5 元．所以圆珠笔的单价是 O .5×4=2（元）．

【解析】两只蚂蚁在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，说明乙比甲一共多走了 2 ⨯ 2 = 4 （厘米）．又知乙蚂蚁的

速度是甲蚂蚁的 1.2 倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：

1.2：

1＝6：

5，

所以甲爬的路程是4 ÷ （6 - 5）⨯ 5 = 20 （ 厘米 ） ，乙爬的路程是20 + 4 = 24 （ 厘米 ） ，长方形的周长为

20 + 24 = 44 （厘米）．

【解析】甲、乙原来的速度比是 5∶4，相遇后的速度比是：

[5×（1－20％） ∶[4×（1＋20％） ＝4∶

54

99

度和乙行的长度之比为5 ：

 6 ，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的

484844441

915915454545

为 450 千米.

11

9 15

傅与徒弟分别完成总量的 5 和 3 ，师傅和徒弟一共加工了 100 ÷ （ 5-3 ） = 400 个零件

5 + 35 + 35 + 35 + 3

11

9 15

以师傅与徒弟分别完成总量的

⎛ 5 3 ⎫

-

5 + 3   5 + 3                              ⎝ 5 + 3 5 + 3 ⎭

个．

11

53

的 2 等于 B 桶水的 4 ，那么 A 桶水的全部等于B 桶水的 4 ÷ 2 = 6 ， C 桶水为 B 桶水的

35535

67

+=

55555

65

6 + 5 + 76

升， C 桶的容积是 480 ⨯ 7 = 560 公升．

6

【解析】将六年级学生的

1 ，等于五年级学生的 2 ，等于四年级学生的 3 ，看作一个单位，那么六年

2                     5                     7

级学生人数等于 2 个单位，五年级学生等于 2.5 个单位，四年级学生等于 7 学生，所以六年

3

5

15 14

2 3

1215

12 + 15 + 1412 + 15 + 14

14

12 + 15 + 14