经济数学基础作业1电大.docx
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经济数学基础作业1电大
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经济数学基础作业1
（微分学部分第1章函数—第2章极限、导数与微分）
知识要点：
1．函数概念：
函数yf（x）,xD的两个要素定义域和对应关系。
要求：
会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。
2．函数的性质：
了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。
3．基本初等函数和函数的复合运算：
记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的
图形特征。
掌握函数的复合与“分解”。
4．极限的概念
：
知道limf（x）
A的意义；
xx0
知道lim
f（x）A的充分必要条件是lim
f（x）A且lim
f
（x）
A
xx0
xx0
x
x0
5.无穷小量的概念和性质：
了解无穷小量的概念：
在某个变化过程中，以
0为极限的函数。
例如若
lim
f（x）0，
xx0
则称当x
x0时，f（x）为无穷小量。
了解无穷小量与无穷大量的关系：
无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数
为无穷大量。
知道无穷小量的性质：
无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。
例如
limx0,
x0
sin1
1，因此limxsin1
0
x
x0
x
6．函数连续的概念和性质：
了解函数y
f（x）在点x0处连续的概念：
limf（x）
f（x0）；了解“初等函数在定义区间连续”的结论；会判断函数在某点的连续
xx0
性，会求函数的间断点。
7．导数的概念：
牢记导数定义的极限表达式
f（x0）
lim
y
；知道函数在某点导数的
x0
x
几何意义：
f（x0）表示曲线y
f（x）在点（x0,f（x0））处的切线的斜率；会求曲线的切线方
程，曲线y
f（x）在x0处的切线方程：
yf（x0）f
（x0）（x
x0）。
了解导数的经济意义。
8．微分的概念：
函数yf（x）的微分：
dy
ydx
.专业.整理.
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9．高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数y（y）
10．函数极限、连续、可导与可微的关系：
可微可导连续极限存在。
11．掌握求简单极限的常用方法
求极限的常用方法有
（1）利用极限的四则运算法则；
（2）利用重要极限
第一重要极限：
limsinx
1
x0x
特点：
当x0时，ⅰ）分子、分母的极限为0；
ⅱ）分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。
第一重要极限的扩展形式：
sin
（x）
lim
1
（x）0
（x）
（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）
；
（4）利用连续函数的定义。
12．熟练掌握求导数或微分的方法。
具体方法有：
（1）利用导数（或微分）的基本公式；
（2）利用导数（或微分）的四则运算法则；
（3）利用复合函数求导或微分法；
（4）利用隐函数求导法则。
作业解答：
一．填空题
1．limx
sinx
.
x0
x
sinx
解：
当x
0时，分子、分母的极限均为
0，且lim
1
x0
x
xsinx
sinx）
因此lim
lim（1
11
0
x0
x
x0
x
2．设f（x）
x2
1,x
0
0处连续，则k
k,
x
在x
0
解：
由函数的连续定义知：
若
yf（x）在x
0处连续，则limf（x）f（0）。
x0
.专业.整理.
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因为
limf（x）lim（x21）1
x0x0
f（0）k
因此，若f（x）在x0处连续，则k1。
3．曲线yx1在（1，2）的切线方程是
解：
根据导数的几何意义有，曲线yx1在（1，2）的切线方程是：
y2y
（1）（x1）
而
y
（1）
1
1
2
2
xx1
故切线方程是：
y2
1（x
1），即y
1
x
3
2
2
2
4．设f（x1）
x2
2x
5,则f（x）
。
解：
先求f（x）
的表达式
令t
x
1
，则x
t
1，
因为f（x
1）
x2
2x
5,
则f（t）
（t
1）2
2（t
1）5
t2
4
则
f（x）
x2
4
f
（x）
2x
5．设f（x）
xsinx,则f
（
）
2
解：
f
（
）
f
（x）x
2
2
f（x）
xsinx
x（sinx）
sinx
xcosx,
f
（x）
（sinx）
xcosxx（cosx）cosx
cosxxsinx,
=
2cosx
xsinx,
.专业.整理.
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f（
）2cos
2
sin
2
2
2
2
二．单项选择题：
1．当x
时，下列变量为无穷小量的是（
）
A.
ln（x
1）
B.
x2
x1
1
sinx
C.
ex
D.
x
解：
无穷小量的概念：
在某个变化过程中，以
0为极限的函数。
A中：
因为
x
时，ln（x
1）
，故x
时，ln（x
1）不是无穷小
量；
B中：
因为
C中：
因为
D中：
因为
x
时，x2
，故x
时，
x2
不是无穷小量
x1
x
1
1
1
1
x
时，
0，ex
1，故x
时，ex不是无穷小量。
x
x
时，sinx
1
sinx
0，故当x
时，sinx是无穷小量。
x
x
x
因此正确的选项是D。
2．下列极限计算正确的是（）。
A.lim
x
1，
B.
lim
x
1
x0
x
x0
x
C.limxsin1
1,
D.
limsinx
1,
x
0
x
x
x
解：
A
不正确。
注意到：
x
x,x
0
x,x
，
0
因此：
lim
x
lim
x
1，lim
x
lim
x
1
x0x
x0x
x0x
x0
x
lim
x
不存在。
x
0
x
B．正确。
.专业.整理.
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C．不正确。
因为
limx
0,
sin
1
1，由无穷小量的运算质量得：
x
0
x
limxsin1
0,
x0
x
D．不正确。
因为
limsinx
lim
1sinx
0
x
x
x
x
因此正确的选项是
B。
3．设y
lg2x,则dy
（
）.
A.
1dx
B.
1
dx
2x
xln10
C．ln10dx
D
．1dx
x
1
x
1
解：
因为dy
ydx
（2x）dx
dx
2xln10
xln10
因此正确的选项是B。
4．函数f（x）在点x0处可导，则（
）是错误的.
A.
函数f（x）在点x0处有定义
B
．lim
f（x）A,但A
f（x0）
x0
C．函数f（x）在点x0处连续
D
．函数f（x）在点x0处可微。
解：
注意到函数极限、连续、可导与可微的关系：
可微
可导
连续
极限存在。
正确的选项是B。
5．若f
（1）
x，则f（x）
（
）.
x
A.
1
B
．
1
x2
x2
C
．1
D
．
1
x
x
解：
令t
1
1
，则x
t
x
因为f
（1）
x，则f（t）
1
，
x
t
f（x）
1
f
（x）
1
x
x2
因此正确的选项是
B。
三．解答题
1.求下列极限：
.专业.整理.
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x2
3x
2
（1）lim
x
2
1
；
x1
解：
该极限属"0"型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算
0
lim
x2
x2
3x
2
=
lim（x
1）（x
2）
x
1
1
x1（x1）（x
1）
=
limx
2=
1
x1x
1
2
（2）lim
x2
5x
6
x2
x2
6x
8
解：
该极限属"0"型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算
0
x2
5x
6
lim
（x
2）（x
3）
lim
6x8
x2x2
x2（x2）（x4）
x
3
2
3
1
lim
4
2
4
2
x
2x
（3）lim
1x
1；
x0
x
解：
该极限属"0"型，分子有理化消去零因子，再利用四则运算法则计算
0
lim
1x
1＝lim（
1
x
1）（
1
x1）
x0
x
x0
x（
1
x1）
=
1
x
1
=lim
1
1
lim
1x1
2
x0x（1x1）
x0
（4）lim
2x2
3x
5
3x
2
2x
4
x
解：
该极限属"
"型，注意到lim
1
0（
0）
xx
分子、分母同除以x2，再利用四则运算法则计算
3
5
2
2
lim
2x
3x5
=lim
x
x2
=
2
002
x
3x2
2x4x
2
4
3
003
3
x2
x
.专业.整理.
（5）lim
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sin3x
x0sin5x
解：
该极限属"
0"型，注意到：
lim
sin
（x）
1
0
（x）0
（x）
分子、分母分别除以
3x,5x，利用重要极限Ⅰ公式计算
sin3x
3x=3
lim
sin3x=lim
3x
.
x0sin5x
x
0sin5x
5x
5
5x
（6）lim
x2
4
2）
x2sin（x
解：
该极限属"
0"型，利用重要极限Ⅰ公式计算
0
lim
x2
4
=lim（x
2）（x2）
x
2sin（x
2）
x
2
sin（x
2）
=lim
1
.（x
2）=4
sin（x
x
2
2）
x
2
1
b,
x
0
xsin
2．设f（x）
x
x
0
a,
sinx
x
0
x
问：
（1）当a,b为何值时，
f（x）在x
0
处有极限存在？
（2）当a,b为何值时，
f（x）在x
0
处连续？
解：
（1）因为要使
f（x）在x
0
处有极限存在，则要
lim
f（x）和limf（x）
x
0
x
0
存在且相等，因为
lim
f（x）
lim
（xsin
1
）
b
x
0
x
0
x
=
lim
f（x）
lim
sinx=1
x
0
x
0
x
因此当b
1
，a取任意实数时，函数
f（x）在x
0
处有极限存在。
（2）因为要使
f（x）在x
0处连续，则要lim
f（x）
limf（x）=
f（0）
x
0
x
0
f（0）
=a
.专业.整理.
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结合
（1）知：
当ab1时，f（x）在x0处连续。
3．求下列导数或微分：
（1）yx22xlog2x22，求y；
解：
利用导数代数和运算法则
知识要点：
导数的基本公式：
y（x2）（2x）（logx2）（22）
2x2xln2
1
xln2
ax
b
（2）y
求y；
cx
d
解：
（ax
b）（cx
d）
（ax
b）（cx
y
（cx
d）2
a（cx
d）
（ax
b）c
ad
bc
=
（cx
d）2
=
d）2
（cx
1
求y
；
（3）y
c0
（x）
x
（a）
（logax）
（lnx）
d）
（sinx）
cosx
x1
（cosx）
sinx
axlna
（tanx）
1
ex
cos2x
1
（cotx）
1
sin2x
xlna
1
x
知识要点：
u
uvuv
（
）
v
v2
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