几何游戏趣题.docx

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几何游戏趣题

例33．（2005年南通市中考数学试题）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．

规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．

问题：

游戏规则对双方公平吗？

请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

（图2）

例34．（2005年徐州市中考数学试题）交通信号灯，俗称“红绿灯”，至今已

有趣的图

1．当心眼睛欺骗你

　　观察下图，并回答下列问题：

（1）图①中A圆大还是B圆大？

（2）图②中线段AB和CD哪一条长？

　　（3）图③中线段l长还是m长？

　　（4）图④中哪条线段长？

　　（5）图⑤中长方形左侧的a，b，c，d，e五条线段中，哪一条与右侧的线段在同一条直线上。

　　（6）图⑥中a、b两条线是曲线还是直线，它们之间有什么位置关系？

　　（7）图⑦中各直线是否平行？

　　（8）图⑧中可以看到多少个立方体？

2．纸条搭图形

（1）纸条三角形准备一些宽2cm，长32cm的纸条，及剪刀、尺和胶水，请你分别按下面所指定的长度（注意要留出粘贴接口），把纸条粘成三角形，像下图那样：

　　①10cm，10cm，10cm；②10cm，8cm，3cm；

　　③10cm，5cm，7cm；④10cm，5cm，5cm；

　　⑤10cm，10cm，8cm；⑥10cm，7cm，5cm；

　　⑦10cm，10cm，1cm；⑧10cm，3cm，6cm；

　　⑨10cm，8cm，6cm；⑩5cm，5cm，4cm。

　　然后回答下列问题：

　　a．哪几个是正三角形（等边三角形）？

哪几个是等腰三角形？

哪几个不能搭成三角形（为什么）？

　　b．哪几个三角形形状一样，大小相同（我们叫它们是全等的）？

哪几个三角形形状一样，大小不同（我们叫它们是相似的）？

　　c．把一条长为24cm的纸条，搭成一个每边长都是整厘米数的等腰三角形，有几种不同的搭法？

　　d．把一条长为29cm的纸条，搭成一个每边长都是整厘米数的等腰三角形，有几种搭法？

　　e．把下图中的五张纸条，按虚线搭成四个小三角形和一个大三角形，你能把四个小三角形都放入大三角形内吗？

　　f．再做四个边长为2cm、3cm、4cm的三角形，这四个三角形能否全部放入边长为4cm、6cm、8cm的三角形内？

（2）纸条四边形分别按下面所给定的四条边的长度和顺序，用纸条粘成四边形。

　　①8cm，8cm，8cm，8cm；②8cm，6cm，8cm，6cm；

　　③8cm，8cm，6cm，6cm；④8cm，6cm，6cm，8cm；

　　⑤6cm，8cm，8cm，6cm；⑥6cm，8cm，8cm，8cm；

　　⑦8cm，6cm，8cm，8cm；⑧5cm，6cm，7cm，8cm；

　　⑨5cm，6cm，6cm，7cm；⑩6cm，6cm，6cm，6cm。

　　然后回答下列问题：

　　a．按①搭成的图形是否一定是正方形？

　　b．按②搭成的图形是否一定是长方形？

　　c．哪几个四边形可能全等？

　　d．哪几个四边形可能相似？

　　e．搭一个大的正方形，使它刚好能放入四个边长都是2cm的小正方形。

这个大正方形的边长应是多少？

　　f．要把四个全等的小长方形刚好放进一个大的长方形内，那么大、小长方形的长与长、宽与宽之间的关系应是怎样？

3．对称图形

（1）下图中哪个是轴对称图形？

哪个是中心对称图形①？

（2）下图中的几何图形是不是轴对称图形？

如果是的，它各有几条对称轴？

其中哪些图形同时又是中心对称图形？

请指它们的对称中心？

　　①如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够和原来的图形本身重合，那么这图形叫做中心对称图形，这点就是它的对称中心。

　　（3）下图所示的26个字母中，哪几个是轴对称的？

哪几个是中心对称的？

并分别画出它们的对称轴或对称中心。

ABCDEFGHI

JKLMNOPQR

STUVWXYZ

4．图形拼图案

　　下图是分别用相同的长方形和等腰梯形拼成的图案，注意图案中没有空隙部分，也没有重叠部分。

（1）剪一些相同的任意三角形，用它们能否拼成图案？

（2）剪一些相同的任意四边形，用它们能否拼成图案？

　　（3）剪一些正五边形，用它们能否拼成图案？

　　（4）剪一些正六边形，用它们能否拼成图案？

　　（5）什么样的图形才能用来拼成一个平面图案？

　　（6）你能用边长相等的正三角形、正方形、正六边形组合起来拼成一个图案吗？

5．数图形

（1）数线段请你数一数，下图中有多少条不同的线段？

　　这类数图形的题目，必须有条理，按次序进行，才能不重复、不遗漏而得到正确的答案。

　　你可以这样想：

把图中的AB、BC，CD、DE4条线段作为基本线段，请填空：

　　含有1条基本线段的有：

AB，BC，CD，DE共4条；

　　含有2条基本线段的有：

____，____，____，共____条；

　　含有3条基本线段的有：

____，____，共____条；

　　含有4条基本线段的有：

____计____条。

　　所以共有线段（）＋（）＋（）＋（）＝（）（条）。

　　仔细观察，可以发现，如只有一条基本线段，则合计也是1条线段；如有两条基本线段，就包含有2＋1＝3条线段；如有三条基本线段，就含有3＋2＋1＝6条线段；……当一条线段共有n条基本线段时，它所包含的线条数是：

　　现在请你数一数：

　　①下图线段AB中共有几条线段？

　　②下图∠AOB中包含有几个锐角？

（2）数长方形数一数，下图中有几个长方形。

　　你可以应用数线段的方法来数长方形。

　　BC中有（）条线段，AB中有（）条线段。

把BC中的一条线段作为一个长方形的长，把AB中的一条线段作为这个长方形的宽，就得到了相应的一个长方形。

由是可知，图中共有（）×（）＝（）个长方形。

　　想一想，下图里有多少个长方形（包括正方形）？

　　（3）数正方形

　　①数一数，上图中有多少个正方形？

　　计算有多少个正方形，可看下面的图：

　　现在你得到了一条怎样的规律？

　　根据这一规律，上图中正方形的个数是：

　　（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＋（）＝（）。

　　②分别在3×3共9点、4×4共16点、5×5共25点，……（每相邻两点的最短距离为1个长度单位）的图中，以点作为顶点，可以画出多少个正方形？

　　计算正放的正方形个数不会有困难；计算斜放的正方形个数可能会有遗漏。

下面的图可以帮助你统计。

　　请你先填下表，再观察数据之间的关系，从中你得出了什么？

　　注：

组合指由几个最小的正方形组成的。

　　（4）数三角形如下图那样，在大三角形中，分别画有一排、二排、三排、……相同的小三角形。

数一数，它们各有多少个三角形？

　　请填表，看看他们之间有什么规律。

6．火柴趣题

（1）用8根火柴搭图形用8根火柴可以搭出一个长方形或正方形，如下图。

你能不能用8根火柴，搭出一个面积比长方形、正方形更大的几何图形来。

（2）用20根火柴搭图形下图中的两个图形是用20根火柴搭成的，且①的面积是②的3倍。

现在请你从①中拿一根火柴到②，并对这两个图形略作改动，使它们的面积之比仍为3：

1。

　　（3）用51根火柴搭图形用51根火柴摆成7个立方体，如图。

试问，至少取走几根火柴，才能使图中只出现1个立方体？

　　（4）火柴棒搭算式图中有三道算式，它们都不成立。

请你依次分别移动一、二、三根火柴，使算式都能成立。

7．面积变换

（1）失去的面积把一个边长为8厘米的正方形按下左图划分，然后再拼成如下右图所示的长方形。

正方形面积是：

8×8＝64（cm2），

　　而长方形的面积却是：

13×5＝65（cm2）。

　　面积怎么变了？

你知道这是为什么吗？

（2）等积变形解释下面图中阴影部分的变化过程，从中你能得到什么结论？

8．剪拼正方形

（1）下面有两块正方形地毯，左边一块边长是6个长度单位，右边一块边长是8个长度单位，其中每一小方格是边长为1个长度单位的正方形。

现在要求把这两块地毯剪拼成一个10×10的大正方形，每块最多只能裁成两块，而且不能损坏任何一个小方格。

该怎样剪拼？

　　先这样想：

两块地毯的面积分别是6×6＝36，8×8＝64，而36＋64＝100＝10×10，即剪拼成的地毯，正好是边长为10的正方形。

然后考虑怎样剪拼，可从边长为10来思考。

于是有如下的剪拼方法。

　　将左边两块地毯按图所示剪开，再如右图那样拼成一个大正方形。

　　请你试一试。

　　①根据上面的思路与方法，下图的9×4长方形怎样剪拼成一个正方形？

　　②张师傅要将一块长3米、宽1.2米的木板锯成两块，然后拼成一块长2米、宽1.8米的木板。

你知道他是怎样锯拼的吗？

　　③有甲：

2×2、乙：

3×3、丙：

6×6三个正方形（如图），请你任意选其中两个，分别剪成两部分，然后把全部图形拼成一个7×7的正方形。

（2）下图是由五个相邻的正方形组成的一个长方形，要把它剪拼成一个正方形，并且要求剪的块数最少。

该怎样剪拼？

　　最容易想到的方法是剪成5块，如下图那样拼。

　　这是不是剪的块数最少了呢？

请你试试，你的结论是什么？

　　下面请试着剪拼。

　　①下左图是由两个正方形组成的图形，请把它剪拼成一个正方形，并且要求剪的块数最少。

　　②把上右图的八角星剪成八块，拼成一个正方形。

9．巧分图形

（1）一个5×5的正方形，去掉画阴影线的一格，余下24格。

很容易分成大小、形状都相同的四块。

下图就是其中的一种分法。

你还能想出其他的分法吗？

把它们画在下面的图中。

（2）把下面的图形分成大小、形状完全相同的两块，使每块中都含右相同大小的1996。

　　（3）把下图中的图形分别分成全等的两块。

　　（4）有五个相等的圆，排列如下图所示。

其中O是左下方这个圆的圆心。

现在要求通过O点作一条直线，把五个圆的面积一分为二。

　　（提示：

圆是对称图形。

想一想，再添加些什么，就很容易达到目的了？

）

　　（5）桌上放着三个厚薄一样的饼，其中大的一个的面积等于其他两个面积的和（下图）。

现在要把这三个饼分给四个孩子，要求不仅使每人所得的一样多，而且还要使三个孩子拿到的都只是一块，而只有一个孩子拿到两块。

想一想，该怎样分？

10．图形与分数

（1）按要求把方框内的各图形平均分为若干份，并用阴影部分表示有关的分数。

（2）下列方框中各图表示整体的几分之几，请画出整体图形。

11．画画、算算

（1）画长方形准备方格纸若干张，按下列要求画长方形（正方形是特殊的长方形）。

　　①画一个正方形，周长与②的一样。

　　②画一个长方形，面积是24个面积单位，在长与宽都为整数的前提下最接近一个正方形。

　　③画一个长方形，周长为24长度单位，并且长为宽的3倍。

　　④画一个长方形，周长与③的周长相同，长与宽是两个不同的质数。

　　⑤画一个长方形，面积数是周长数的2倍，宽为8个单位。

　　⑥画一个长方形，面积与周长的数字相同，周长是⑤的周长的1/2。

　　⑦画一个长方形，长与⑤的一样，它的面积是⑤与⑥的面积之差。

　　⑧画一个长方形，面积比⑦的面积少6个单位，宽比⑥的宽多2个单位。

（2）算面积下列图形各是多少单位面积？

（每相邻四点的小方格面积为1个单位面积。

）

　　（3）画图形在下面的方格点子图上（每一小格为1个单位面积），按下列要求画出图形。

　　①分别画出占2，5，8，13个单位面积的正方形。

　　②画出占10个单位面积的平行四边形。

　　③画出占9个单位面积的锐角三角形。

　　④画出占9个单位面积的梯形。

　　⑤画出占12个单位面积的，有两个直角的五边形。

　　⑥画出占10个单位面积的八边形。

　　⑦画出一个图形，它的面积是8个单位，它的周长要是最短的。

　　⑧画出一个图形，它的面积是8个单位，它的周长要是最长的。

图形只能由小的正方形组成，每两个小正方形之间必须有公共边或公共顶点连接，如

答案

　　1．

（1）A圆、B圆一样大。

（2）一样长。

（3）一样长。

（4）一样长。

（5）与线段a在同一条直线上。

（6）是两直线，且相互平行。

（7）平行。

（8）朝上面数（如下图中左边的图）有6个；朝下面数（如下图中右边的图）有7个。

　　2．

（1）a．①是正三角形；⑤、⑦、⑩是等腰三角形；④、⑧不能搭成三角形，因为它们的两边之和等于或小于第三边。

b．③与⑥是全等的，⑤与⑩是相似的。

c．有五种不同的搭法：

11cm，11cm和2cm；10cm、10cm和4cm；9cm、9cm和6cm；8cm，8cm和8cm（等边三角形是特殊的等腰三角形）；7cm、7cm和10cm。

d．有七种不同的搭法：

14cm、14cm和1cm；13cm，13cm和3cm；12cm、12cm和5cm；11cm、11cm和7cm；10cm，10cm和9cm；9cm、9cm和11cm；8cm、8cm和13cm。

e．能。

f．能。

（2）a．不一定是正方形，也可能是菱形（四边相等，四个角都不是直角）。

b．不一定是长方形，因为也可能是平行四边形。

四边形的四条边决定后，形状仍不是唯一的，这与三角形不一样。

c．③、④、⑤搭成的三个图形可能全等；⑥、⑦搭成的两个图形也可能全等。

想一想：

这里为什么用“可能”两字？

d．①和⑩搭成的图形可能相似。

e．4厘米，即是小正方形边长的2倍。

f．大长方形的长与宽，应分别是小长方形的长与宽的2倍。

　　由上可知，若把一个多边形的各边长都扩大到原来的2倍，那么它的面积就相应地扩大到原来的4倍。

一般地，若把一个多边形的各边长都扩大到原来的n倍，那么它的面积就相应地扩大到原来的n2倍。

　　3．

（1）雪花既是轴对称图形，又是中心对称图形；七星虫是轴对称图形。

（2）圆、正方形、长方形、正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

圆有无数条对称轴（每条直径都是一条对称轴），对称中心是圆心；正方形有四条对称轴，长方形有两条对称轴，对称中心就是它们两条对角线的交点；正三角形有三条对称轴，它的对称中心是三条对称轴的交点（三条对称轴交于一点）。

等腰梯形是轴对称图形，它有一条对称轴。

平行四边形是中心对称图形，对称中心也是两条对角线的交点。

（见下图）

　　（3）见下图。

　　4．

（1）、

（2）、（4）能拼成图案，如下图所示。

　　（3）、（5）用正五边形不能拼成图案。

因为平面上的周角是360°，所以能用一个多边形拼成图案的必要条件是，这个多边形的部分（或全部）内角之和等于360°。

只有把这些角汇合于一点，才能既不重叠，又无空隙地铺满一个周角，从而才有可能铺满平面而组成图案。

正五边形的每个内角都是108°，由于108°×3＜360°＜108°×4，如下左图所示，所以用正五边形不能拼成图案。

　　（6）能，见上右图。

　　5．

（1）AC，BD，CE，3；AD，BE，2；AE，1；4＋3＋2＋1＝10。

①301个点有300条基本线段，所以共有45150条线段。

②中间有499条射线，组成500个基本角，所以共有125250个角。

（注意，这里根据植树问题的原理，在①中，301个点应有300条基本线段；而②中，499条射线应有500个基本角。

）

（2）15，10；15×10＝150。

有3025个长方形。

　　（3）①由n×n个小正方形所组成的一个大正方形中，所包含不同的正方形有12＋22＋32＋…＋（n-1）2＋n2个，即自1开始连续n个自然数平方的和。

12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋92＋102＝385（个）。

　　可得由n×n个小正方形所组成的大正方形中所包含的不同的正方形个数，与由（n-1）×（n-1）个小正方形所组成的大正方形中所包含不同的正方形个数之间的关系。

　　6．

（1）搭成正八边形面积最大，见下左图。

（2）见上右图。

　　（3）至少取走3根，如图是一种取法。

　　（4）

　　7．

（1）用下图中的四块图形并不能拼满一个5×13的长方形，四块图形之间是有空隙的，下图对这个空隙作了放大。

实际上由于这个空隙比较小，所以往往被忽略了。

（2）这是个等积变形的过程。

①～②是一般的面积割补，②～③是平移，③～⑤是应用了同底、等高的平行四边形面积相等的原理。

如果设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么由这一过程可得

c2＝a2＋b2。

　　我国古代把直角三角形的两条直角边分别叫做“勾”和“股”，把斜边叫做“弦”。

因此这一关系就是

勾2＋股2＝弦2，

　　并叫它勾股定理，它是我国古代数学家的重要发现。

在今后学习平面几何时，经常要用到它。

　　8．

（1）①、②照下图那样剪和拼。

　　③把甲、丙如图那样剪开，照右图那样拼。

（2）照下图那样剪成4块就可以了。

　　①

　　②下图是一种简单的剪拼方法。

　　9．

（1）下左图。

（2）下右图。

　　（3）

　　（4）在右上角作一个同样大小的辅助圆，圆心为P。

于是全128部六个圆就其整体而言，便构成了一个对称图形。

只要把O、P两点连线，就把原先的五个圆的面积一分为二了。

（图中A与A’，B与B’，C与C’，D与D’各为对称图形，它们的面积分别相等。

）

　　（5）如下图所示，把大饼平均分给两个孩子，把小饼叠在中饼上，并切下剩余部分的一半（图中的阴影部分），把这一部分和小饼分给一个孩子，把剩下的中饼分给另一个孩子。

　　10．画法不止一种。

（1）

（2）

　　11．

（1）①边长5。

②长6，宽4。

③长9，宽3。

④长7，宽5。

⑤边长为8的正方形。

⑥边长为4的正方形。

⑦长8，宽6。

⑧长7，宽6。

（2）①8。

②6。

③12。

④6。

⑤8。

⑥16。

⑦6.5。

⑧6。

⑨8。

　　（3）①下列1～4图，②～⑧下列依次各一图。