大学物理学第3版修订版北京邮电大学出版社下册第九章习题9答案.docx

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大学物理学第3版修订版北京邮电大学出版社下册第九章习题9答案

习题9

9.1选择题

（1）正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零，则Q与q的关系为：

（）

（A）Q=-23/2q（B）Q=23/2q（C）Q=-2q（D）Q=2q

［答案：

A］

（2）下面说法正确的是：

（）

（A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷；

（B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零；

（C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷；

（D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。

［答案：

D］

（3）一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（）

（A）σ/ε0（B）σ/2ε0（C）σ/4ε0（D）σ/8ε0

［答案：

C］

（4）在电场中的导体内部的（）

（A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零；（C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。

［答案：

C］

9.2填空题

（1）在静电场中，电势不变的区域，场强必定为。

［答案：

相同］

（2）一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中

心向外移动至无限远，则总通量将。

［答案：

q/6ε0,将为零］

（3）电介质在电容器中作用（a）——（b）——。

［答案：

（a）提高电容器的容量;（b）延长电容器的使用寿命］

（4）电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。

［答案：

5：

6］

9.3电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：

（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）?

（2）这种平衡与三角形的边长有无关系?

解:

如题9.3图示

（1）以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：

q为负电荷

1q22cos30=1qq

4π0a24π03

00（a）3

解得

q¢=-3q

（2）与三角形边长无关．

9.4两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2,如题9.4图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．

解:

如题9.4图示

解得q=2lsin4mgtan

9.5根据点电荷场强公式E=q，当被考察的场点距源点电荷很近（r→0）时，则场强→

∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解:

E=qr0仅对点电荷成立，当r→0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求4πr20

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

9.6在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则2

这两板之间有相互作用力f，有人说f=q,又有人说，因为f=qE,E=q，所

4d2S

以f=q．试问这两种说法对吗?

为什么?

f到底应等于多少?

解:

题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把

合场强E=

0S看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个

板的电场为E=2qS

的电场力．

9.7长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1的正电荷．试求：

（1）在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；

（2）在导线的垂直平分线上与

用l=15cm，=5.010-9Cm-1,a=12.5cm代入得

E=6.74102NC-1方向水平向右

2πl+4d

以=5.010-9Ccm-1,l=15cm,d=5cm代入得

EQ=EQy=14.96102NC-1，方向沿y轴正向

9.8一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处O点的场强．解:

如9.8图在圆上取dl=Rd

dq=dl=Rd，它在O点产生场强大小为

dE=4πRdR2方向沿半径向外

E=Ex=2πR，方向沿x轴正向．

9.9均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．

（1）求这正方形轴线上离中心为r

处的场强E；

（2）证明：

在rl处，它相当于点电荷q产生的场强E．

解:

如9.9图示，正方形一条边上电荷q4在P点产生物强dEP方向如图，大小为

cos=-cos

dEP在垂直于平面上的分量dE⊥=dEPcos

9.10

（1）点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；

（2）如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?

解:

（1）由高斯定理

sEdS=q0

立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴各面电通量e=

（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则

240

边长2a的正方形上电通量e=60

对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则e

如果它包含q所在顶点则e=0．

9.11均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10-5C·m-3求距球心5cm，8cm,12cm各点的场强．

解:

高斯定理EdS=q,E4πr2=q

s00

当r=5cm时，q=0,E=0

4π

r=8cm时，q=p（r3-r内3）

9.12半径为R1和R2（R2>R1）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和

-,试求:

（1）r

（2）R1R2处各点的场强．

解:

高斯定理EdS=qs0

取同轴圆柱形高斯面，侧面积S=2πrl

EdS=E2πrl

E=沿径向向外2πr

E=0

9.13

两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场

强．

解:

如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，

n：

垂直于两平面由1面指为2面．

9.14半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r

两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解:

将此带电体看作带正电的均匀球与带电-的均匀小球的组合，见题9.14图（a）．

（1）+球在O点产生电场E10=0，

（2）+在O产生电场E10=3dOO'

104πd3

-球在O产生电场E20=0

∴O点电场E0=30OO'

题9.14图（a）题9.14图（b）

（3）设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r（如题8-13（b）图）

EP=EPO+EPO=（r-r）=OO'=

333

∴腔内场强是均匀的．

9.15一电偶极子由q=1.0×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．

解:

∵电偶极子p在外场E中受力矩

M=pE

Mmax=pE=qlE代入数字

M=1.010-6210-31.0105=2.010-4Nm

9.16两点电荷q1=1.5×10C，q2=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为r2=25cm，需作多少功?

解:

A=r2Fdr=r2q1q2dr=q1q2（1-1）

r1r24πr24πrr

=-6.5510-6J

外力需作的功A=-A=-6.5510-6J

9.17如题9.17图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．

9.18

解:

如题9.17图示

9.19如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．

解:

（1）由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl=Rd

4πR[sin（-2）-sin2]

2πR

（2）AB电荷在O点产生电势，以U=0

同理CD产生U=ln2

4π

UO=U1+U2+U3=2πln2+4

9.20一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．（电子质量m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C）

解:

设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强

2πr

ev2

∴=m

2πrr

得=2π0mv=12.510-13Cm-1

9.21空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．解:

平行板电容器内部近似为均匀电场

U=Ed=1.5104V

9.22证明：

对于两个无限大的平行平面带电导体板（题9.21图）来说，

（1）相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；

（2）相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．

证:

如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1，2，

3，4

题9.21图

（1）

则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

∴+=0说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

（2）

在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

又∵

1=4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

9.23三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0mm．B，C都接地，如题9.22图所示．如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?

以地的电势为零，则A板的电势是多少?

解:

如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为1，右侧面电荷面密度为2

（1）∵

题9.22图

UAC=UAB，即

EACdAC=EABdAB

1EACdAB

2EABdAC

qA2qA

2=,1=

23S13S

qC=-1S=-qA=-2´10C

q=-S=-1´10-7C

（2）

UA=EACdAC=01dAC=2.3103V

9.23两个半径分别为R1和R2（R1

（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；

（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*（3）再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．

解:

（1）内球带电+q；球壳内表面带电则为-q,外表面带电为+q，且均匀分布，其电势

U=E×dr=qdr=q

R2R24πr24πR

（2）外壳接地时，外表面电荷+q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为-q．所以球壳电势由内球+q与内表面-q产生：

U=q-q=0

4πR4πR

（3）设此时内球壳带电量为q；则外壳内表面带电量为-q，外壳外表面带电量为-q+q

（电荷守恒），此时内球壳电势为零，且

U=q'-q'+-q+q'=0A4πR4πR4πR

得q=R1q

外球壳上电势

q'q'-q+q'（R1-R2）q

B4πR4πR4πR4πR2

9.24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d=3R处有一点电荷+q，试求：

金属球上的感应电荷的电量．

解:

如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q，则球接地时电势UO=0

由电势叠加原理有：

UO=4πR+4π3R=0

q¢=

9.25有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求：

（1）用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；

（2）

小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．

（1）小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

q=q,

q=2,

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

q=4q

∴此时小球1与小球2间相互作用力

F=q'q"-8q=3F

14πr24πr280

（2）小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为23q

3q3q4

∴小球1、2间的作用力F2=33=4F0

24πr290

9.26在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q．试求：

（1）电介质内、外的场强；

（2）电介质层内、外的电势；

（3）金属球的电势．

解:

利用有介质时的高斯定理DdS=q

（1）介质内（R1rR2）场强

vQrvQr

4πr3内4πr3

介质外（rR2）场强

vQrvQr

D=,E外=

4πr3外4πr3

（2）介质外（rR2）电势

U=E外×dr=Q

r外4πr

介质内（R1rR2）电势

U=E内×dr+E外×dr

=q（1-1）+Q

4πrR4πR

（3）金属球的电势

R2QdrQdr

R4πr2R24πr2

9.27如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：

在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．

解:

如题9.27图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度

分别为2与1

由DdS=q0得

D1=1，D2=2

D1=0E1,D2=0rE2

E1=E2

2=0rE2=r

10E1

题9.27图题9.28图

9.28两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2（R2>R1），且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：

（1）在半径r处（R1

（2）电介质中的总电场能量；

（3）圆柱形电容器的电容．

解:

取半径为r的同轴圆柱面（S）

当（R1rR2）时，q=Q

∴D=Q

2πrl

（1）电场能量密度

D2Q2

28π2r2l2

薄壳中dW=wd=2πrdrl=

8π2r2l24πrl

（2）电介质中总电场能量

W=Q2C

W=dW=R2Qdr=QlnR2

VR14πrl4πlR

（3）电容：

∵

Q22πl

C=2W=ln（R/R）

题9.29图

9.29如题9.29图所示，C=0.25F，C=0.15F，C=0.20F．C上电压为50V．求：

UAB

解:

电容C1上电量

Q1=C1U1

电容C2与C3并联C23=C2+C3

其上电荷Q23=Q1

Q23C1U12550

C23=C23=35

UAB=U1+U2=50（1+25）=86V

9.30C1和C2两电容器分别标明“200pF、500V”和“300pF、900V”，把它们串联起来后等值电容是多少?

如果两端加上1000V的电压，是否会击穿?

解:

（1）C1与C2串联后电容

C=C1C2=200300=120pF

C+C200+300

（2）串联后电压比

1=2=，而U+U=1000UC212

U=600V,U=400V

即电容C1电压超过耐压值会击穿，然后C2也击穿．

9.31半径为R1=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm

和R=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求：

（1）整个电场储存的能量；

（2）如果将导体壳接地，计算储存的能量；

（3）此电容器的电容值．

解:

如图，内球带电Q，外球壳内表面带电-Q，外表面带电Q

题9.31图

（1）在rR和RrR区域

E=0

在RrR时

14πr3

rR时

E2=

24πr3

∴在RrR区域

）24πr2dr

W1=R210（Q2

R124πr2

=R2Q2dr=Q2（1-1）

R18πr28πRR

在rR区域

W=1（Q）24πr2dr=Q1

2R3204πr28πR

∴总能量

W=W+W=Q（1-1+1）

128πRRR

=1.8210-4J

W=W1=8Qπ（R1-R1）=1.0110-4J

2W11

（3）电容器电容C=2QW2=4π0/（R11-R12）

=4.4910-12F

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