推荐学习年秋九年级数学上册第章锐角三角函数解直角三角形的应用第课时与坡度方向角.docx
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推荐学习年秋九年级数学上册第章锐角三角函数解直角三角形的应用第课时与坡度方向角
推荐学习年秋九年级数学上册第章锐角三角函数.解直角三角形的应用第课时与坡度方向角
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第４章 锐角三角形函数
4.4解直角三角形的应用
第2课时与坡度、方向角有关的实际问题
知识点1 与坡角、坡度有关的实际问题
1.河堤横断面如图4-４－12所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡度为1∶（坡度是坡面的铅直高度ＢC与水平宽度AC之比）,则AC的长是（ ）
Ａ．5
米 B．１0米
C.15米Ｄ．1０
米
2．20１7·泰州小明沿着坡度i为１∶
的斜坡向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了_＿_＿____m.
图4-４-１2
图４－4－１3
３.2０1７·德阳如图４－4－13所示，某拦水大坝的横断面为梯形ＡBCD,AE，ＤF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α＝45°,坡长AB＝６
米，背水坡CD的坡度ｉ=1∶
（i为DF与ＦＣ的比值），则背水坡CD的坡长为_＿_＿_＿_＿米．
4．教材习题4.4第１题变式2０１7·海南为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：
水坝加高2米（即CD＝2米）,背水坡DE的坡度ｉ=１∶1（即DB∶ＥB=１∶1）,如图4-4-１4所示．已知ＡE=4米,∠ＥAC＝130°，求水坝原来的高度BC．
（参考数据：
sｉn50°≈0．77，cos５0°≈0.６４,ｔan50°≈１.２）
图4-4－14
知识点２与方向角有关的实际问题
5.如图4-4－１5所示,渔船在Ａ处看到灯塔Ｃ在北偏东60°方向上，渔船沿正东方向航行了１2海里到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）
Ａ．12
海里 Ｂ．６海里
C．6海里D.4海里
图4－4-１５
图４－4-16
6．20１7·葫芦岛如图4－4－1６,一艘货轮由西向东航行,在A处测得灯塔Ｐ在它的北偏东60°方向上,继续向东航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P的正南方向４海里的C处是港口,点A，Ｂ,C在一条直线上,则这艘货轮由A到B航行的路程为_＿__＿＿_＿_＿海里．（结果保留根号）
7.如图4－4-１7，要测量点A到河岸BC的距离,在点Ｂ处测得点A在点Ｂ的北偏东３0°方向上，在点C测得点Ａ在点Ｃ的北偏西4５°方向上，又测得BC＝150m．求点A到河岸BC的距离.（结果保留整数,参考数据：
≈1.４１,
≈1．73）
图4－4-１7
8．2017·济南如图4－４－18，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿长1m处的点D离地面的高度DE=０.6 m,又量得竿底与坝脚的距离AB=３ ｍ,则石坝的坡度为（）
Ａ. B.3 C.
D．４
图4-4-18
图4－4－１9
9.如图4－4-19，小岛A在港口P的南偏东45°方向,距离港口81海里处.甲船从A出发,沿AP方向以９海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西６0°方向,以１8海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发,当甲船在乙船的正东方向时,行驶的时间为________小时．（结果保留根号）
1０.如图4-4-20是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是1０米，CＢ⊥DＢ,坡面ＡC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DＣ的坡度为i=∶３.若新坡角下需留3米宽的人行道，则距离原坡角（点A处）１0米的建筑物是否需要拆除?
说明理由.（参考数据：
≈1．４１4,
≈1.732）
图４－４－２０
１1．２01６·常德如图４-４-2１所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东3０°方向上,距离为20海里的B处有—艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后，在Ｃ处成功拦截不明船只．我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？
（最后结果保留整数，参考数据:
ｃoｓ75°≈0.2５88，siｎ７5°≈0.9６59,taｎ75°≈3.７32,≈1.７32,
≈１.４14）
图４－４－21
12．如图4-4－22,在南北方向的海岸线MN上，有A,Ｂ两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知Ａ，B两船相距100（
＋1）海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点Ｄ,测得船Ｃ正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D间的距离（如果运算结果有根号，请保留根号）;
（2）已知距离观测点Ｄ处1０0海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AＣ去营救船C,则在去营救的途中有无触礁的危险（参考数据:
≈1.4１,
≈１.73）?
图4-４-22
详解详析
1．A [解析] 由题意可知，＝
，∴AC=
ＢＣ＝5米.
２．25 [解析]如图，过点B作BＥ⊥AC于点E.∵坡度i=1∶
∴taｎA＝１∶
＝
∴∠A＝30°.∵AB=５０m,
∴BＥ＝AB=25ｍ,
∴他升高了25m．
3.1２[解析］ ∵迎水坡AＢ的坡角α=45°，坡长AB=6米,∴AE=６ ×sin45°=6（米）.
∵背水坡CD的坡度i＝1∶
（i为DF与ＦC的比值）,
∴tａnC＝=，∴∠C＝3０°，则DC＝２DＦ＝２ＡＥ=１2米,故答案为12.
4．解：
设BC=x米．
在Rt△ＡＢＣ中,∠ＣAB=１8０°－∠EAC＝５０°,
∴AＢ＝
≈
＝
＝
x.
在Rｔ△EBＤ中,
∵i＝ＤB∶ＥB＝１∶1，
∴DB＝EB,
∴CD+BC＝AE＋AB，
即2＋x=４＋x,解得x＝12,
即BＣ＝12米.
答:
水坝原来的高度BC约为12米.
5.D［解析]BC=ＡB·tan3０°=12×
＝4
（海里）.
6.（4－4）[解析] 根据题意，得PC＝4海里,∠PBC=90°－45°=45°，∠PAＣ＝90°－60°＝30°.
在Ｒt△AＰＣ中，∵∠PAC＝３0°,∠C=9０°，
∴AC＝
PC=4海里.
在Rt△BPC中,∵∠ＰBＣ=4５°,∠C＝90°,
∴ＢＣ=PC＝4海里,
∴AB＝AＣ-BC＝（4
－４）海里．
故答案为（4
-4）.
７.解：
如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AD的长为点A到河岸BＣ的距离.
由题意知∠BAD=30°,∠CAD=4５°.
在Rt△ADC中,ＣD=ＡＤ.
在Rｔ△AＢD中,ＢD=AD·tａｎ３０°.
∵BD+CＤ＝150,
∴AＤ·tan３０°＋ＡD＝150,
即（
+１）AD=１50，
解得ＡD=≈9５（m）．
答：
点A到河岸ＢC的距离约为9５m.
8．Ｂ［解析]如图，过点C作CF⊥AＢ交AB的延长线于点F,则ＤE∥CF,
∴
=,即
＝，解得CF＝３（m），
∴Rt△ACＦ中，AF=
＝4（ｍ）．
又∵ＡB＝３ｍ,∴BF＝４-3＝１（m）,
∴石坝的坡度为＝＝3.故选B.
9.９（-1）
1０．解：
需要拆除.理由如下：
∵ＣB⊥DB,∠CAB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AB＝BＣ=10米．
在Ｒt△BＣＤ中，新坡面DC的坡度为i=∶３,
∴tan∠ＣDB==
，∴BD＝10米,
∴AD=BD－AB=１０-10≈7．32（米）．
∵３+7.３2＝10.3２（米）＞1０米,
∴距离原坡角（点A处）10米的建筑物需要拆除．
１１.解：
过点Ｂ作BD⊥AＣ于点Ｄ,
∵∠BAＣ＝７5°－30°=45°,
∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=4５°，∠ADＢ=9０°,
∴ＢD=ＡD＝×20=１０
（海里）.
在Ｒｔ△BCD中,∠Ｃ＝1５°,∠CBD＝75°，
taｎ∠ＣBＤ＝，
∴ＣＤ≈１０
×３．732≈５2．8（海里），
∴AC=AD＋ＣＤ＝10+5２.８≈67（海里）.
答：
我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．
12.解:
（1）如图,过点C作CE⊥ＡＢ于点E.
设AE=a海里，
则ＢE=AB－ＡE=[１０0（
＋1）-a]海里．
在Rｔ△ACＥ中，∠AＥC＝90°，∠EAC=60°,
∴ＡC=＝2ａ海里,CＥ=ＡE·tan6０°＝ａ海里.
在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，∠CBE＝45°,
∴BE＝CE＝a海里,
∴100（
+１）-a＝a,
∴a＝100，∴AC＝20０海里.
在△ＡCD和△AＢC中，∠ACB=180°－45°－6０°=75°=∠ADＣ，∠CAD=∠BAC,
∴△ＡCD∽△ABＣ,
∴
=，
即=，
∴AD=20０（
－1）海里.
答:
Ａ与C间的距离为200海里,A与D间的距离为20０（
-1）海里．
（2）如图,过点Ｄ作DF⊥AC于点Ｆ.
在Rt△ＡDF中,∠ＤＡＦ=60°，
∴DＦ=ＡD·siｎ60°=200（－1）×=100（３-）≈12７>100,
∴巡逻船Ａ沿直线ＡC去营救船C，在去营救的途中无触礁的危险．
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