三角形中位线讲义及自测题含答案.docx

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三角形中位线讲义及自测题含答案

三角形中位线

一复习引入

1）什么叫三角形的中线？

2）三角形的中线有几条？

二合作交流，探究新知

问题引入：

接下来，我们就要来探究一个问题，大家打开课本90页，看练习3，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

用例题证明中位线的定理：

例：

如图已知，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB、AC中线，

求证：

DE∥BC，且DE=1/2BC

证明：

如图3，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.

∵DE=EF、AE=EC

∠AED=∠CEF、

∴△ADE≌△CFE

∴AD=FC、∠A=∠CEF

∴AB∥FC

又AD=DB∴BD∥=CF

所以，四边形BCFD是平行四边形

∴DE∥BC且DE=1/2BC

三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

解决引入问题：

课本P90，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？

如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。

（AB=2DE）

三应用迁移

已知：

如图所示，在四边形ABCD中，E、F、H、M分别是AB、BC、CD、DA的中点．

四课堂检测，巩固提高：

1△ABC中，E、F分别为AB，AC的中点，若AB=8，AC=12，BC=18，那么EF=

2．顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______.

3．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）.

A．3cmB．26cmC．24cmD．65cm

五教学小结

①三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段

②三角形中位线性质定理：

三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半

求证：

四边形EFHM是平行四边形．

三角形的中位线自测题

1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．

2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．

3．一个三角形的中位线有_________条．

△ABC中，D、E分别是AB、

AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，

线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿

5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点

（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm

　　如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm

（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿

6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．

（1）

（2）（3）（4）

7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．

9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）

A．4.5cmB．18cmC．9cmD．36cm

10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：

先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）

A．15mB．25mC．30mD．20m

11．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（）

、

B、

C、

D、

12．如图3所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少

C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定

13．如图4,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）

A．10B．20C．30D．40

14．如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：

OE∥BC．

15.已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：

EF+GH=5cm；

16．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：

EF=

BD．

17．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：

MN∥BC．

18．已知：

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

19.如图，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点。

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

20．已知：

△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

求证：

四边形DEFG是平行四边形．

21.如图5，在四边形

中，点

是线段

上的任意一点（

与

不重合），

分别是

的中点．证明四边形

是平行四边形；

22如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G分别是AB，CD，AC的中点。

求证：

△EFG是等腰三角形。

23.如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．

24．已知：

如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE

分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：

AB＝2OF．

25．已知：

如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：

GF＝GC．

26．已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：

∠AHF＝∠BGF．

答案：

1两边中点。

2平行，第三边的一半。

33。

4中线，中位线。

58，5;互相平分。

64。

77。

86.5。

9B。

10D.11D.12C.13A.

14∵AE＝BE

∴E是AB的中点

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO＝OC

∴EO是△ABC的中位线

∴OE‖BC

15EF是三角形ABP中点，EF=1/2BP,同理GH=1/2CP,EF+GH=1/2（BP+CP）=5

16∵CD=CA,CF平分∠ACB,CF为公共边

∴三角形ACF与三角形DCF全等

∴F为AD边的中点

∵AE=BE

∴E为AB的中点

∴EF为三角形ABD的中位线

∴EF=1/2BD=1/2（bc-ac）=2倒过来即可

17△AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线。

所以MN∥BC。

18证明；连接BD,∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点

EH平行且等于BD/2，FD平行且等于BD/2

∴EH平行且等于FD

∴四边形EFGH是平行四边形。

19连接BD∵H为AD中点，G为AB中点

∴GH为△ABD中位线

∴GH∥BD且EH=1/2BD

∵E为CD中点，F为BC中点

∴FE为△DCB中位线

∴FE∥BD且FG=1/2BD

∴HG∥＝EF

20∵E、D分别为AB、CD的中点

∴ED//=½BC（中位线性质）

在△BOC中，

∵F、G分别为OB、OC的中点

∴FG//=½BC（中位线性质）

∴FG//=ED

∴四边形DEFG为平行四边形

21.∵F，H分别是BC,CE的中点,∴FH‖BE,FH=1/2BE（中位线定理）,∵G是BE的中点,∴BG=EG=FH,∴四边形EGFH是平行四边形。

22略。

23因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠FAD。

由BD⊥AD于D，得∠ADB=∠ADF=90°

还有AD=AD，所以△ADB≌△ADF。

所以BD=FD,AF=AB，还有E是BC中点，于是DE是△BCF中位线，

于是DE=CF/2，有CF=AC-AF=AC-AB=10-6=4，于是DE=CF/2=4÷2=2

24证明：

∵CE//AB

∴∠E=∠BAF，∠FCE=∠FBA

又∵CE=CD=AB

∴△FCE≌△FBA（ASA）

∴BF=FC

∴F是BC的中点，

∵O是AC的中点

∴OF是△CAB的中位线，

∴AB=2OF

25取BE的中点H，连接FH、CH

∵F、G分别是AE、BE的中点

∴FH是△ABE的中位线

∴FH∥ABFH=1/2*AB

∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD∥ABCD=AB

∵E是CD的中点

∴CE=1/2*AB

∵CE=1/2*ABFH=1/2*AB

26证明：

连接AC，取AC的中点M，连接ME、MF

∵M是AC的中点，E是DC的中点

∴ME是△ACD的中位线

∴ME＝AD/2,PE∥AH

∴∠MEF＝∠AHF（同位角相等）

同理可证：

MF＝BC/2,∠MFE＝∠BGF（内错角相等）

∵AD＝BC

∴ME＝MF

∴∠MFE＝∠MEF

∴∠AHF＝∠BGF

知识回顾:

：

你们现在看到的是什么图形？

目标解读:

：

1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念。

2.能正确地画出一个三角形的角平分线、中线、高线，并会用符号语言表述三角形的角平分线、中线的有关数量关系。

3.逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力。

基础训练:

1．判断 

（1）三角形的一条内角平分线是一条线段（） 

（2）三角形三条中线、三条角平分线、三条高线都在三角形的内部（） 

（3）如果三角形一条高和它的一条边重合，则这个三角形中有一个内角是直角。

（） 

（4）三角形的高是一条垂线。

（） 

2．填空题 

（1）如图，图中有___个三角形，分别是________；∠B是△ABD中______边的对角，又分别是△ABE、△ABD中______________边的对角；△ACE中∠C的对边是________；AD是哪些三角形的边________。

（2）如图，在△ABC中AB⊥BC，BD⊥AC，则△ABC的三条高分别是________，点B到AC所在直线的距离是________。

（3）如图，以AD为高的三角形分别是________。

（4）三角形中线，角平分线，高线中有可能位于三角形外部的是________，此时三角形是________。

（5）△ABC的三边a=4.8，b=2a，c=b-1.9，△ABC的周长________. 

（6）三角形周长是36cm，三边a：

b：

c=2：

3：

4.则a=________,b________,c=________. 

（7）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，和ACD面积相等的三角形是_____。

2（3）题图2（7）题图

3．△ABC的周长是8，三边a、b、c间存在关系a=b+1、b=c+1，求三边长。

4．已知：

△ABC中，AC边中线是BM，AB与BC的差是2。

求：

△ABM和△BCM的周长差。

5．已知：

△ABC中，BC=5cm，点A到BC边距离是2cm，求：

△ABC的面积。

6．如图，在△ABC中， 

（1）画出AC边中线BD； 

（2）画出∠C的平分线CE； 

   （3）画出△CED的边ED和边EC上的高

7、下列说法中正确的个数有（） 

   ①三要线段首尾顺次相接近所组成的图形叫三角形。

   ②三角形的角平分线、中线、高都是线段。

   ③只有一条高在三角形内部的在三角形是钝角三角形。

   ④三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

   A、0个B、1个C、2个D、3个 

8、三角形是（） 

   A、连结任意三点组成的图形B、由三条线段组成的图形 

   C、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 D、以上均不对 

9.下列判断：

   ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； 

   ②三角形的中线、角平分线、高线都是线段；

   ③一个三角菜有三条角平分线、三条中线和三条高线；

   ④三角形的中线是通过经过顶点和对边中点的直线，其中正确的是（） 

   A、①②③④B、②③④C、①④D、②③ 

10.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） 

   A、直角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定 

能力拓展:

11.已知：

如图在△ABC中，BC边上的高是（）

   A.AD      B.BE      C.CF

12.在△ABC中，∠A=50°，∠B和∠C的平分线相交于O，则∠BOC=（） 

   A.65°   B.115°    C.130°     D.100°