地震灾后物资分配优化模型.docx
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地震灾后物资分配优化模型
2011年南京理工大学数学建模竞赛
承诺书
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17
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本科
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队员2：
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2011年南京理工大学数学建模竞赛
编号专用页
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（请各个参赛队提前填写好）：
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
2011年南京理工大学数学建模竞赛
题目地震灾后物资分配优化模型
摘要
本文研究了在地震发生后对各灾区进行物资合理分配的问题。
针对问题我们首先利用层次分析法确定了各个灾区对各种物资的相对急需程度，记为
。
其次，我们根据救灾物资分配使所有灾区整体效用最高的原则，引入符号：
—第i个灾区对所需的第j种物资的实际分配量，
—第j种物资的可供分配总量，构建了以整体效用为目标函数的整数规划模型及约束条件：
MAX
S.T.
，然后利用LINDO软件进行数据处理与求解，在求解过程中我们考虑到每个灾区对每种物资的最低保障量
和满意度，于是引入满意度系数，记为
以及最低保障量的约束条件得到以整体满意度为目标函数的整数规划模型及约束条件：
MAX
S.T.
其中
—第i个灾区对第j种物资的需求量，最后利用多目标规划法对两个目标函数进行优化：
MAX
+
S.T.
，
。
其中
，
为各单目标函数修正系数，旨在修正两目标函数因目标数值不在同一数量级上产生的差异。
随后我们用汶川地震的相关数据对模型进行实际算例，证明了模型是可操作的。
同时，我们还讨论了当应急物资重要性不同时的改进模型并对灾情发生变化或在物资分发过程中存在的接受意愿、歧视等主观因素进行了定性的分析，使模型更加全面、科学、合理。
最后，我们对模型进行了优缺点总结及合理推广。
关键词：
物资分配、层次分析法、满意度系数、整数规划、多目标规划
一、问题重述
近年来地震频发，其预测目前比较困难但在灾后如能及时救援，可以很大程度减少伤亡，其中救援物资分配非常关键。
但在物资分配中实际存在着诸多问题，例如：
智利在震后救援物资的分配上严重不均，日本大地震中已经躲过大地震和海啸的灾民因得不到及时的物资分配而在避难所死亡等，因此研究地震灾害后的物资分配问题是具有现实意义的，请从以下方面来考虑物资分配的问题：
1、考虑灾区、受灾者和物资的不同，建立数学模型制定分配原则并给出合理的分配方法。
2、收集各类实际数据，给出一个符合题意的数值算例。
3、通过以上分析，给出你的量化优化方案及建议。
在考虑本本题时，还需注意一些问题：
1、受灾者的灾情不同，对生活物资的急需程度和需求量不同。
而且各地的灾情在不断发生变化，如何优化方案应对这种变化。
2、生活物资应当根据受灾区域大小、受灾程度、人口密度、灾区群众需求进行分配，保证重点，确保及时、快捷、公开、高效、公平、公正发放。
严禁物资发放中的优亲厚友、性别歧视、年龄歧视和孤残歧视行为，在保障需求的同时，避免浪费。
3、数值算例最好采用实际数据，且尽量提高数据容量。
4、可以考虑线性规划、整数规划、多目标规划等各类优化模型。
5、分配中有很多主观因素，例如：
接受意愿、歧视等，这些因素能否考虑到模型中。
二、问题分析
在救灾物资的分配过程中，考虑到物资的流动性与多样性等特点，影响救灾物资的分配效果的因素是众多的，总的来说，灾区对物资的相对急需程度是非常重要的一个因素，如果能够按照各灾区对各种物资的相对急需程度来合理分配物资，那么救灾的效果也就越好，因此如何确定各灾区对各物资的相对急需程度及如何构造效用函数是核心问题。
根据以上问题的特点我们用层次分析法确定物资相对急需程度，用整数规划法构造目标函数建立了基础模型。
但是我们通过数学分析和进一步的考虑发现了基本模型存在着为达到目标函数最大化而牺牲了对物资相对急需程度较小的灾区的利益的问题，于是我们引进了各灾区对各种所需物资的最低保障量作为约束条件的下线。
同时我们也意识到我们忽略了各灾区对各种物资分发的满意度的研究，因为满意度是物资的实际分配量与物资的需求量的比值，满意度系数越大，所得分配的满意程度也就越大，则救灾的效果也就越好，即满意度系数与整体效用成正相关，而这也是影响救灾效果的重要因素。
基于上述分析，我们定义了整体满意度函数，显然，由于定义了两个目标函数使得要求解的问题变成了一个多目标规划的问题，故需要将目标函数转化为新的目标向量。
通过以上分析我们就找到了基础模型建立的路径并在此基础上对模型进行了合理的优化，以下是我们研究思路图：
三、模型假设
1、所有参与分配的物资都是灾区急需的重要物资，不同物资之间不可替代。
2、在地震发生以后，信息是及时且完全对称的，即当地民政部门已经对灾情进行了调查统计并分析评估出了基本数据。
3、分配物资的供给是小于灾区的需求的。
4、为了方便模型建立，将非整数通过数据整数化处理转换为整数来考虑。
5、救灾物资在运输的过程中损坏率为零。
6、不考虑实际分发中主观因素的影响，并且忽略救灾物资在运往救灾点以及救灾物资分配时所占用的时间。
7、分配的物资只能由灾民个人享用，不存在物资的转移，且每个灾区之间相互独立。
四、符号说明
：
第i个灾区对第j种物资的相对急需程度
Aij：
I个灾区对J种物资的相对急需程度矩阵
：
第i个灾区的第j种物资的实际分配量
：
第i个灾区的第j种物资的需求量
：
第i个灾区的第j种物资的最低保障量
：
第j种物资可供分配量
I：
灾区总个数
J：
物资总类数
E1：
物资分配的整体效用
E2：
物资分配的整体满意度
：
效用目标函数的修正权重系数
：
整体满意度目标函数的修正权重系数
:
各种物资相互间的重要性比较后第j种物资的重要指标
五、模型的建立与求解
一、用层次分析法确定I个灾区对J种物资相对急需程度
将目标层设为各个灾区对某一种物资的相对急需程度，准则层定义为影响该种物资急需程度的因素，方案层为各个受灾区。
通过相互比较确定各灾区对某一种物资的相对急需程度，然后依次利用层次分析法确定各灾区对其他种类的物资的相对急需程度，最终得到各灾区对各种物资的相对急需程度，记为
。
1、构建灾区对某种物资急需程度评价体系。
灾害发生后，需要对各个灾区物资急需程度进行评价，但是对每一种物资急需程度进行评价的因素是不一样的，这就需要建立多个层次分析体系分别确立不同的物资急需程度。
在此我们将应急物资分为五类：
饮用水、帐篷、食品、医疗用品、生活用品，将分别影响这五种物资的因素制表如下所示：
“是”代表影响因素，空格代表不是影响因素。
影响因素
饮用水
帐篷
医疗用品
食品
生活用品
人口密度
是
是
是
是
是
水电等基础设施破坏程度
是
是
是
房屋倒塌数量
是
备灾能力
是
是
是
是
是
田地破坏亩数
是
2、比较准则层中的因素对目标层的影响。
在评价各灾区对各种物资的急需程度的问题中分别两两比较各因素对某种物资急需程度的影响，得到判断矩阵：
如分析各灾区对于帐篷的相对急需程度时，根据影响它的因素，我们可得到准则层的三个因素分别是人口密度，房屋倒塌数量，备灾能力。
通过它们的两两比较得到这三个因素对各灾区对于帐篷的相对急需程度的判断矩阵。
同理，我们也可得到其他因素对每个灾区对于其他物资的相对急需程度的判断矩阵。
3、比较方案层对准则层的影响。
根据各灾区反馈的受灾信息以及专家根据经验和数据的评估列出各灾区对于每个准则的成对比较矩阵：
准则1准则2准则3
比较具有不同性质的两个因素对于上一层因素的影响时所采用的相对尺度是由在与灾害相关的领域的资深专家根据丰富的灾害评估经验及救员经验和在灾害发生第一时间内对灾害进行灾情评估的基础上而提供的，这些数据是具有科学性、客观性与合理性的。
3、对上述判断矩阵进行一致性比较。
如果各个判断矩阵的随机一致性比率CR有一个不满足小于0.1的条件，即不具有可接受的一致性，则向各个专家反馈，进行判断矩阵的调整，直到各判断矩阵都具有可接受的一致性。
4、计算组合权向量。
将各矩阵得到的归一化后的权向量相乘，可借助层次分析法软件yaahp辅助计算，得出第i个灾区对每种物资的相对急需程度
，
，
，
，最后建立I个灾区对J种物资的急需程度的矩阵Aij。
二、建立有约束条件的物资分配的总效用函数
通过对问题的分析与理解并结合实际情况，我们确定了物资分配的基本原则：
在救灾物资有限的情况下，对救灾物资进行最有效的分配就是使灾区的救灾物资分配达到的整体效用最高，这就需要我们根据各灾区对各种物资的急需程度来合理分配物资，构建效用函数。
模型Ⅰ：
地震发生后灾区的数量记为I,救灾物资种类记为J，根据以上分析可得总效用函数：
E1=
（1）
同时由于救灾物资是有限的，所以我们得到了一个约束条件即为各灾区对同一种物资的实际分配量应小于这种物资的总量：
（2）
再由上面得到的物资分配的总效用程度为目标函数和约束条件的整数规划模型，即可得：
MAXE1
S.T.
（3）
模型Ⅱ：
在实际的分配过程中，会存在人为因素导致部分灾民分不到物资，例如：
抢劫、歧视等。
而计算机在计算过程中也会因为要得到目标函数的最大值而牺牲部分灾民的利益，同时，各种物资的供应相对于需求总是不足的，为了达到对物资合理科学的分配，以保障在物资分配上每个灾区的每种物资都有最低的满意程度，我们引入了每个灾区对所需每种物资的最低保障量和各灾区对各种物资分配的满意度系数，其中最低保障量是由相关专家根据以往丰富的数据与实际救援经验且结合地震发生后的及时反馈而得出的数据，是具有科学性、合理性与可信性。
满意度系数是由每个灾区所需的每种物资分配到的实际量与需求量的比值来表示的，用它来衡量每个灾区对每种物资的满意程度，从而定义整体满意度函数：
E2=
（4）
又由于每个灾区每种物资的分配量不应小于最底保障量，所以有约束方程：
（5）
根据模型假设3可得：
（6）
模型Ⅲ：
效用函数E1从物资供给者的角度定义了救灾效果的好坏，既仅仅根据各灾区对各种物资的相对急需程度分配给各灾区相应的物资，并不考虑物资对各灾区的实际影响；而满意度函数E2则从物资接受者地角度定义了救灾效果的好坏，能够反映出灾民对实际救灾效果的评价。
我们认为仅仅考虑其中一方对于评价整体救灾效果都是不全面的，应将两函数结合起来引入多目标规划，即可得：
MAX
+
（7）
S.T.
（3）
（5）
（6）
其中:
i=（1,2,3…….I）;
j=（1,2,3…….J）;
值由实际灾情发生后
和
的值确定。
确定原则为消除因效用函数和满意度函数目标数值不在同一数量级上产生的差异对整个目标函数的影响，即修正了权重系数使二个分目标函数对于整个目标函数的权重相等。
又考虑各修正系数分别乘以的是各自的整个分目标函数，所以可以断定
并不会影响最终的优化分配方案。
最后根据以上建立好的优化模型Ⅲ，应用LINDO软件对数据进行处理，给出此模型的一个合理的最优化的分配方案。
.
六、数值算例
1、算例描述。
2008年5月12日四川发生特大地震，由于波及范围极为广泛，受灾地区众多，所以导致统计数据巨大，因此我们只选取了5个具有代表性的灾区进行实例分析。
这5个地区每个地区有人员伤亡，以及房屋和各种基础设施的不同程度的破坏，对灾区人民的生命和生活造成了极大的威胁。
地震发生后救灾总指挥部对各灾区的受灾状况和主要的应急物资的需求量进行了统计，并且救灾物资是有限的。
其中主要救灾物资有五种：
饮用水、帐篷、食品、药品、生活用品，并且对这五种物资进行编号依次为1、2、3、4、5。
表1是各灾区对各种物资的需求量，表2是各灾区对所需的各种物资的最低保障量。
表1各灾区对各种物资的需求量
物资种类
汶川
北川
广元
彭州
雅安
饮用水（万箱）
1.02
0.89
0.54
0.39
0.27
帐篷（万顶）
1.23
0.72
0.44
0.20
0.11
食品（万箱）
1.32
1.12
0.65
0.13
0.08
药品（万盒）
0.97
0.87
0.54
0.23
0.10
生活用品（万件）
1.10
0.74
0.58
0.32
0.09
表2各灾区对所需物资的最低保障量
物资种类
汶川
北川
广元
彭州
雅安
饮用水（万箱）
0.81
0.63
0.34
0.15
0.10
帐篷（万顶）
0.93
0.54
0.30
0.10
0.05
食品（万箱）
1.01
0.90
0.52
0.07
0.05
药品（万盒）
0.75
0.58
0.28
0.11
0.04
生活用品（万件）
0.82
0.47
0.25
0.14
0.03
2、用层次分析法确定各灾区对各种物资的相对急需程度。
首先确定各灾区对饮用水的相对急需程度。
将目标层设为各灾区对饮用水的相对急需程度，准则层为人口密度、水电设施破坏程度、备灾能力，方案层为5个受灾区域。
通过两两比较人口密度、水电设施破坏程度、备灾能力相对于各个灾区对饮用水的急需程度的影响建立判断矩阵，通过yaahp软件先得出判断矩阵的随机一致性指标CR，经检验CR满足小于0.1的要求，因此认为它有可接受的一致性。
进而得到各灾点对饮用水的相对急需程度，得到
=[0.38140.29640.15270.09810.0714]。
然后运用相同的方法依次可得到各灾区对帐篷的相对急需程度
=[0.30110.24560.20230.15870.0923],对食品的相对急需程度
=[0.42070.23330.15030.12310.0726],对药品的相对急需程度
=[0.45380.24830.14210.09440.0615],对生活用品的相对急需程度
=[0.39260.31790.17110.07560.0428],从而得到5个灾区对5种物资的相对急需程度，记为矩阵：
=
根据
和上面确定的
，为了消除数量级间的差异，经过分析与计算得到
=0.7，
=0.3.
3、已知5种救灾物资的可供分配量。
饮用水为2.5万箱，帐篷为2.35万顶，食品为2.95万箱，药品为2.00万箱，生活用品为2.00万件。
4、用构建模型中的函数求解该问题。
将相关数据带入到所建模型的函数中应用LINDO软件求解最优分配方案。
用软件实现的5个灾区对5种物资的实际分配量如下表所示：
表3基于效用与满意度最大化的5种物资分配明细表
物资种类
汶川
北川
广元
彭州
雅安
饮用水（万箱）
1.15
0.65
0.37
0.12
0.06
帐篷（万顶）
0.96
0.83
0.43
0.17
0.11
食品（万箱）
1.23
0.99
0.60
0.08
0.05
药品（万盒）
0.88
0.65
0.31
0.12
0.04
生活用品（万箱）
0.92
0.60
0.29
0.16
0.03
5、结果分析。
从结果可以看出，各种物资的总分配量与可供分配量是相等的，并且每个灾区所分配到的每种物资的实际量是不超过需求量的并保证了每个灾区对每种物资的最低保障量，以上都说明了我们计算出来的分配量是满足模型的约束条件的。
各灾区的实际分配量是可以体现出各灾区对各种物资的相对急需程度与满意度的，例如：
雅安灾区对5种救灾物资的相对急需程度较低，在分配过程中就将相对较少的物资分配给雅安灾区，而将大量物资分配给相对需求程度较大的灾区汶川、北川，避免了需求少者多拿需求大者拿不够的局面的出现，能够保证效用与满意度的最优。
同时，我们根据得到的数据计算出满意度系数：
表4各灾区对各种物资分配的满意度系数
物资种类
汶川
北川
广元
彭州
雅安
饮用水
0.93
0.90
0.84
0.59
0.55
帐篷
0.92
0.93
0.80
0.42
0.43
食品
0.90
0.88
0.92
0.62
0.63
药品
0.91
0.75
0.57
0.52
0.40
生活用品
0.82
0.81
0.52
0.53
0.33
由上表可看出大部分满意度系数是大于0.5的，只有极个别满意度系数并没达到0.5，这一方面说明就整体而言各灾区对于所分配物资的满意程度是较高的，另一方面也说明了存在着牺牲需求量小的区域的满意度而满足整体满意度最大化的问题，因此模型在有些方面还是不太准确完备的，仍需要进一步改进。
总体而言运用本模型是可以达到整体救灾效果最优的结果，可以在一定程度上解决灾后物资合理分配的问题，因此模型是合理、实用且较优的。
七、模型的改进
1.讨论当各种救灾物资相互重要性不一样时对模型的改进。
引入
，
可根据灾情发生后，由于众多原因造成的第j种物资的相对重要性指标。
于是对原目标函数进行改动得：
MAX
（8）
约束方程（3）（5）（6）不变；
模型的求解建议：
由于改进后的模型加入了一个衡量某种物资相对重要性指标的系数，且是以指数形式出现，所以使目标函数无法再用线性规划的思维考虑，因此我们建议可以利用遗传算法对此非线性规划模型进行数据处理和求解。
2、讨论对灾区的灾民分类保证各个灾民的效用与满意度。
我们所研究的模型主要针对的是各个灾区对于各种救灾物资的相对急需程度，然而当物资被分配到各灾区后并不代表着灾区中的每位灾民都能够实现他们对各种物资的需要。
因此，我们认为有必要引入不同灾民对各种物资的相对急需程度的分析，但是具体去分析每个灾民对各种物资的相对急需程度的工作量是巨大的，且可操作性不强，故我们提出对灾民分类的建议，即将具有同样属性的灾民归为一类，针对每一类灾民类似地建立相应的效用函数与满意度函数，从个人角度衡量了救灾物资的分配是否合理。
3、基于灾情进一步扩大的问题，我们认为是对所建模型的再次运用。
因为灾情变化的实质我们认为就是各灾区对各种物资的相对急需程度的变化，核心即为确定新的各灾区对各种物资的相对急需程度，因此我们可以通过层次分析法确定新的各灾区对各种物资的相对急需程度，进而利用所建函数求出各灾区对各种物资的最优分配量，达到解决问题的目的。
八、模型评价与推广
优点
1、模型的建立基于实际情况，具有一定的实用价值。
2、模型对问题研究合理、科学，理论性强。
3、模型适用范围广，易于推广，例如：
在经济生活中对于“如何分配有限的资源使人们获得的最大的收益”此类问题同样适用。
4、模型具有简洁性，层次分析法的基本原理和基本步骤易于理解，计算也相对简便，容易为决策者了解和掌握。
缺点
1、模型中定义的对各种物资的急需程度的因素不够全面。
2、模型对于救灾物资的分类过于笼统宽泛，应进一步细化。
3、模型对于一些人为因素只是进行了简单的定性的分析或是一些泛泛的改进想法而并未深入定量分析，显得不够具体准确。
4、层次分析法的比较与判断是粗糙的且人为主观因素的影响很大，使得决策可能难以被众人接受。
九、建议
基于对以上模型的讨论，我们想给物资分配相关部门和灾民提出一些意见与建议。
当一些不可抗的自然灾害发生后灾民对各种物资的需求量总是远远大于相对有限的可分配量的，因此如何将有限的资源最合理的分配是非常重要的，要做到合理分配就必须对各灾区的实际情况进行详细、准确的了解，此时根据从灾区反馈回来的第一手信息对物资急需程度的评定显得尤为重要，而本文中是利用了层次分析法来确定各灾区对各种物资的相对急需程度，但这个方法本身就存在人为因素的影响，而且在物资分配过程中也存在人为因素，要完全消除这些影响是不可能的，但我们是可以做到将其最小化的，基于此点我想对分配物资的相关部门提出几点建议：
1、在收集灾区信息时要做到及时、全面、准确，减少中间环节，避免不必要的信息失真。
2、用层次分析法确定物资相对急需程度时，相对尺度是由有关专家和数据经验给出的。
我们认为相关部门可以建立灾后各项指标的数据库，加大数据容量，积累更多数据，使得经验数据更加准确有效，从而降低人为因素的过多影响。
3、在对物资实际分配时，应规范分配行为，加强对物资分配的监督与管理，避免让灾民成为歧视、裙带关系的牺牲品。
4、运输部门在物资运输过程中要保证物资的安全性，避免物损率过高的情况出现，从而引起对过少物资不必要的争抢。
当灾害发生时，灾民有着求生的本能，因此争抢救灾物资、抢劫等现象时有发生，不利于救灾物资效用最大化的分配。
基于此，我们给灾民提出如下建议：
1、灾害发生时，保持积极的心态，不慌乱、不制造紧张气氛。
2、在物资分发过程中，灾民保持良好的分发秩序，不争抢、不多抢。
3、在接受物资分发的基础上，也要进行积极的自救，不要把所有的希望都寄托在救灾部门的分配上，因为物资总是不足的，不可能完全满足个人需要。
参考文献
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高等教育出版社，2003
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高等教育出版社，2006
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605-631
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