290415李亚韦实验四函数的插值与多项式近似计算.docx
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290415李亚韦实验四函数的插值与多项式近似计算
函数的插值与多项式近似计算
2904203015李亚韦
一、实验描述
我们在进行数据计算时，很多时候得到的数据并不是真真实实的那样精确，很多时候我们选择不同的方法，选择逼近的方式得到一个在误差范围内的一个较为准确的值，即可满足我们日常生活和科学研究的需要，所以函数的逼近在实际中占有很重要的地位，我们一般用到的方法有泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近等，每种方法当然有不同的优势和劣势，不同的场合选择不同的方法。
泰勒多项式逼近：
将函数按照泰勒级数展开，
（1）
其中c为x和
中的某值。
当
满足误差要求时，我们就认为逼近函数与原函数相等。
牛顿多项式逼近：
牛顿多项式的递归关系如下
其中
如此关心递归下去得到更为近似的函数值。
拉格朗日逼近：
拉格朗日逼近多项式
其中
，当j=k时，
。
帕德逼近：
，
帕德逼近要求
及其导数在x=0,出连续。
设
通过以下关系可以求得前面各未知系数，
二、实验内容
利用泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近求解
的逼近，在同一坐标系下画出原函数
和各种逼近的图像，并求出各种逼近的最大误差。
泰勒多项式逼近：
symsx%定义符号函数x
y=tan（x）;
t9=taylor（y,10,0）%将函数
进行9阶泰勒展开
所得结果如下：
t9=（62*x^9）/2835+（17*x^7）/315+（2*x^5）/15+x^3/3+x
但对t9和y进行绘图时，程序如下：
symsx
y=tan（x）;
t9=（62*x.^9）/2835+（17*x.^7）/315+（2*x.^5）/15+x.^3/3+x;
figure
（1）,ezplot（t9,[-pi,pi]）
holdon%保持前一句指令，以确保下面的画图指令所画图形在同一个图形中
ezplot（y,[-pi,pi]）%图1画泰勒多项式逼近曲线图和原函数y=tan（x）图
en=tan（x）-t9;%求误差函数
figure
（2）,ezplot（en,[-1,1]）%图2画误差函数曲线图
拉格朗日多项式逼近：
symsx
t=linspace（-1,1,10）;%在-1到1间平均生成10个数字，
%起始数位-1，第十位数为1
y1=tan（t）;
l=zeros（10,10）;
fork=1:
10
V=1;
fori=1:
10
ifk~=i
V=conv（V,poly（t（i）））/（t（k）-t（i））;
end
end
l（k,:
）=V;
end
c=y1*l;%求解
时的系数
xj=[x^9,x^8,x^7,x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,1]
c=c*xj';%求
函数
figure
（1）,ezplot（c,[-pi,pi]）
holdon
y=tan（x）;
ezplot（y,[-pi,pi]）%图1画拉格朗日多项式逼近曲线图和y=tan（x）图
en=y-c;%误差函数
figure
（2）,ezplot（en,[-1,1]）%图2画误差函数曲线图
牛顿插值多项式逼近：
symsx
t=-1:
2/9:
1;%将t在-1到1间分为10份
y=tan（t）;
d=zeros（10,10）;
d（:
1）=y';
forj=2:
10
fork=j:
10
d（k,j）=（d（k,j-1）-d（k-1,j-1））/（t（k）-t（k-j+1））;
end
end
c=d（10,10）;%计算牛顿差值系数
fork=9:
-1:
1
c=conv（c,poly（t（k）））;
m=length（c）;
c（m）=c（m）+d（k,k）;
end%计算
时的系数
xj=[x^9,x^8,x^7,x^6,x^5,x^4,x^3,x^2,x,1];
c=c*xj';
figure
（1）,ezplot（c,[-pi,pi]）%图1画牛顿插值多项式逼近曲线图和y=tan（x）图
holdon
y=tan（x）;
ezplot（y,[-pi,pi]）
en=tan（x）-c;
figure
（2）,ezplot（en,[-1,1]）%图2画误差函数曲线图
帕德逼近：
symsx
r54=（945*x-105*x^3+x^5）/（945-420*x^2+15*x^4）;%怕德逼近表达式
figure
（1）,ezplot（r54,[-pi,pi]）
holdon
y=tan（x）;
ezplot（y,[-pi,pi]）
en=y-r54;
figure
（2）,ezplot（en,[-1,1]）
三、实验结果与分析
泰勒多项式逼近：
泰勒多项式逼近和y=tan（x）所得图形图
（1）,误差函数图形如图
（2）
图
（1）
其中红色线泰勒逼近的图线，蓝色线表示y=tan（x）的函数曲线
图
（2）
由图形知，泰勒多项式逼近的误差在
时，误差急剧增大，而在
时，误差曲线基本和y=0曲线重合，此时的误差极小。
拉格朗日多项式逼近：
拉格朗日多项式逼近图线如图（3）所示，图（4）表示误差函数曲线
图（3）
拉格朗日多项式逼近的曲线如红线所示，蓝线表示函数
的曲线
由曲线知，在|x|<0.5时，误差函数曲线较为平稳，在|x|>0.5左右误差函数曲线有较为明显的变化，表面此处误差开始急剧的变化。
牛顿多项式逼近：
牛顿多项式逼近图形如图（5）所示，图（6）表示误差函数曲线图
图（5）
图中红色曲线表示牛顿多项式逼近曲线，蓝色曲线表示函数y=tan（x）的曲线。
图（6）
由曲线知，在|x|<0.5时，误差函数曲线较为平稳，在|x|>0.5左右误差函数曲线有较为明显的变化，表面此处误差开始急剧的变化。
帕德逼近：
帕德逼近曲线图如图（7）所示，图（8）表示误差函数曲线图
图（7）
图中红色曲线表示函数y=tan（x）的曲线图，蓝色带*标记的曲线表示帕德逼近曲线图
图（8）
由图（7）和图（8）知，帕德逼近曲线图和原函数y=tan（x）的曲线图基本完全重合，表面帕德误差极为的小，而单从误差曲线来看和泰勒多项式逼近误差曲线相同，帕德逼近的误差在
时，误差急剧增大，而在
时，误差曲线基本和y=0曲线重合，此时的误差极小。
四、实验结论
由以上几种逼近曲线和原函数曲线比较知，各种方法的逼近结果大致一样，所得曲线大致相似，和原函数曲线误差不是很大，而其中，误差最小的就是帕德逼近，误差量级到了
，其误差已经小到可以忽略的级别，是最好的逼近方式，而其中较为差一些的逼近就是泰勒多项式逼近，其误差量级是
，误差较大。
而从以上四种逼近方式的误差曲线图来看，几种逼近有些共性就是在自变量到达一定值时，误差曲线就会急剧的变化，即误差开始急剧增大。
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