290415李亚韦实验四函数的插值与多项式近似计算.docx

1、290415李亚韦实验四函数的插值与多项式近似计算函数的插值与多项式近似计算2904203015 李亚韦一、 实验描述我们在进行数据计算时，很多时候得到的数据并不是真真实实的那样精确，很多时候我们选择不同的方法，选择逼近的方式得到一个在误差范围内的一个较为准确的值，即可满足我们日常生活和科学研究的需要，所以函数的逼近在实际中占有很重要的地位，我们一般用到的方法有泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近等，每种方法当然有不同的优势和劣势，不同的场合选择不同的方法。泰勒多项式逼近：将函数按照泰勒级数展开，（1）其中c为x和中的某值。当满足误差要求时，我们就认为逼近函数与原函数相等。牛

2、顿多项式逼近：牛顿多项式的递归关系如下其中,如此关心递归下去得到更为近似的函数值。 拉格朗日逼近：拉格朗日逼近多项式其中，当j=k时，。 帕德逼近：， 帕德逼近要求及其导数在x=0,出连续。设通过以下关系可以求得前面各未知系数， 二、 实验内容利用泰勒多项式逼近，牛顿多项式逼近，拉格朗日逼近，帕德逼近求解的逼近，在同一坐标系下画出原函数和各种逼近的图像，并求出各种逼近的最大误差。泰勒多项式逼近：syms x %定义符号函数xy=tan(x);t9=taylor(y,10,0) %将函数进行9阶泰勒展开所得结果如下：t9 =(62*x9)/2835 + (17*x7)/315 + (2*x5)/

3、15 + x3/3 + x但对t9和y进行绘图时，程序如下：syms xy=tan(x);t9 =(62*x.9)/2835 + (17*x.7)/315 + (2*x.5)/15 + x.3/3 + x; figure(1),ezplot(t9,-pi,pi)hold on %保持前一句指令，以确保下面的画图指令所画图形在同一个图形中ezplot(y,-pi,pi) %图1画泰勒多项式逼近曲线图和原函数y=tan(x)图en=tan(x)-t9; %求误差函数figure(2),ezplot(en,-1,1) %图2画误差函数曲线图拉格朗日多项式逼近：syms xt=linspace(-1,

4、1,10); %在-1到1间平均生成10个数字，%起始数位-1，第十位数为1y1=tan(t);l=zeros(10,10);for k=1:10 V=1; for i=1:10 if k=i V=conv(V,poly(t(i)/(t(k)-t(i); end end l(k,:)=V; endc=y1*l; %求解时的系数xj=x9,x8,x7,x6,x5,x4,x3,x2,x,1c=c*xj; %求函数figure(1),ezplot(c,-pi,pi)hold ony=tan(x);ezplot(y,-pi,pi) %图1画拉格朗日多项式逼近曲线图和y=tan(x)图en=y-c; %

5、误差函数figure(2),ezplot(en,-1,1) %图2画误差函数曲线图牛顿插值多项式逼近：syms xt=-1:2/9:1; %将t在-1到1间分为10份y=tan(t);d=zeros(10,10);d(:,1)=y;for j=2:10 for k=j:10 d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)/(t(k)-t(k-j+1); endendc=d(10,10); %计算牛顿差值系数for k=9:-1:1 c=conv(c,poly(t(k); m=length(c); c(m)=c(m)+d(k,k);end %计算时的系数xj=x9,x8,x7,x6,x5

6、,x4,x3,x2,x,1;c=c*xj;figure(1),ezplot(c,-pi,pi) %图1画牛顿插值多项式逼近曲线图和y=tan(x)图hold ony=tan(x);ezplot(y,-pi,pi)en=tan(x)-c;figure(2),ezplot(en,-1,1) %图2画误差函数曲线图帕德逼近：syms xr54=(945*x-105*x3+x5)/(945-420*x2+15*x4); %怕德逼近表达式figure(1),ezplot(r54,-pi,pi)hold on y=tan(x);ezplot(y,-pi,pi)en=y-r54;figure(2),ezpl

7、ot(en,-1,1)三、 实验结果与分析泰勒多项式逼近：泰勒多项式逼近和y=tan(x)所得图形图（1）,误差函数图形如图（2）图（1）其中红色线泰勒逼近的图线，蓝色线表示y=tan(x)的函数曲线图（2） 由图形知，泰勒多项式逼近的误差在时，误差急剧增大，而在时，误差曲线基本和y=0曲线重合，此时的误差极小。拉格朗日多项式逼近：拉格朗日多项式逼近图线如图（3）所示，图（4）表示误差函数曲线图（3）拉格朗日多项式逼近的曲线如红线所示，蓝线表示函数的曲线由曲线知，在|x|0.5左右误差函数曲线有较为明显的变化，表面此处误差开始急剧的变化。牛顿多项式逼近：牛顿多项式逼近图形如图（5）所示，图（6

8、）表示误差函数曲线图图（5）图中红色曲线表示牛顿多项式逼近曲线，蓝色曲线表示函数y=tan(x)的曲线。图（6）由曲线知，在|x|0.5左右误差函数曲线有较为明显的变化，表面此处误差开始急剧的变化。帕德逼近：帕德逼近曲线图如图（7）所示，图（8）表示误差函数曲线图图（7）图中红色曲线表示函数y=tan(x)的曲线图，蓝色带*标记的曲线表示帕德逼近曲线图图（8）由图（7）和图（8）知，帕德逼近曲线图和原函数y=tan(x)的曲线图基本完全重合，表面帕德误差极为的小，而单从误差曲线来看和泰勒多项式逼近误差曲线相同，帕德逼近的误差在时，误差急剧增大，而在时，误差曲线基本和y=0曲线重合，此时的误差极小。四、实验结论由以上几种逼近曲线和原函数曲线比较知，各种方法的逼近结果大致一样，所得曲线大致相似，和原函数曲线误差不是很大，而其中，误差最小的就是帕德逼近，误差量级到了，其误差已经小到可以忽略的级别，是最好的逼近方式，而其中较为差一些的逼近就是泰勒多项式逼近，其误差量级是，误差较大。而从以上四种逼近方式的误差曲线图来看，几种逼近有些共性就是在自变量到达一定值时，误差曲线就会急剧的变化，即误差开始急剧增大。