五年级数学基本概念.docx
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五年级数学基本概念
以下是小学数学基本概念,标红部分是五年级及以前应掌握的基本概念,请家长督促孩子背下来并多做练习。
第一部分数与代数
※数的知识
【知识解读】
一、整数
1、整数的计数单位
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是整数的计数单位。
每相邻的两个计数单位间的进率都是10,也就是10个较低的单位等于相邻的一个较高的单位。
这样的计数法叫做十进制计数法。
2、整数的数位和位数
在计数时,计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
如:
2008中的“2”在右起第四位,即“2”所在的数位是千位。
位数是指一个数用几个数字写出来(最左边的数字不是0),有几个数字就是几位数,或者说,一个自然数含有几个数位,就是几位数。
如:
1356含有四个数位,则1356就是四位数。
3、整数的读法和写法
按照我国的读数习惯,采用四位分级法,即从个位起,每四个数位作为一级。
个、十、百、千四位称为个级;万、十万、百万、千万四位称为万级;亿、十亿、百亿、千亿四位称为亿级,等等。
个级、万级、亿级……称为数级。
读整数时,从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加上“亿”字、“万”字就可以了,每一级末尾的0都不读出来,其他数位上有一个0或连续几个0,都只读出一个零。
写整数时,从高位到低位,一级一级地写,哪个数位上一个单位也没有,就在那个数为上写0.
4、整数的改写和近似数
整万、整亿数的改写,就是把万后面的4个0或亿后面的8个0省略,换成一个“万”
或“亿”字。
如果要改写的多位数不是整万或整亿的数改写的方法就是:
在万位或亿位数字的右下角点上小数点,去掉小数末尾的0,再在小数后面加“万”或“亿”字作单位。
生活中一些事物的数量,有时不用精确地数表示,而只用一个与它比较接近的数来表示,这样的数是近似数。
求近似数地方法一般有以下三种:
⑴四舍五入法:
是指要求精确的某一位,后一位数如果是4或比4小的就舍去;如果是5或比5大,就向前一位进1。
⑵进一法:
在截取近似数时,不管多余部分上的数是多少,都向前一位进1。
⑶去尾法:
在截取近似数时,不管多余部分上的数是多少,一概去掉。
5、整数比较大小
比较两个整数的大小,整数数位多的数比较大;整数数位相同的,要从高位依次看相同数位上的数字,相同数位上的数字大的数比较大。
6、整数的分类
(1)自然数:
在数物体时,用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
1是自然数的基本组成单位。
自然数即可以表示事物的多少(基数),也可以表示事物的次序(序数)。
自然数“0”的含义:
自然数“0”表示没有,仅是最初的含义。
随着社会的不断进步和数学研究的不断深入,人们对“0”的认识也有了发展。
“0”不仅表示“没有”,而且具有比较确定的内容。
例如:
“今天的气温是0摄氏度”,并不是说今天没有温度,而是表示在标准大气压时,冰水混合物的温度;在运用测量工具时,“0刻度线”是测量的起点;在写数运算时,“0”还有占位的作用。
数字的含义及种类
①表示数目的书写符号叫做数字。
常见的数字有三种:
中国数字、阿拉伯数字、罗马数字。
②中国数字是我国常用的数字。
分小写和大写两种。
小写是:
0、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿等;大写是:
零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿等。
③阿拉伯数字是:
1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,这是世界各国通用的数字,也是数学中常用的数字。
罗马数字是罗马人创造的计数符号。
共有七个计数符号:
Ⅰ表示1,Ⅴ表示5,Ⅹ表示10,L表示50,С表示100,D表示500,М表示1000。
由于罗马数字计数不方便,现在已很少使用。
(2)负整数
以前我们学过的5、6、3、、300…这样大于0的数都是正数,正数前面也可以加“+”号,如+5,+6,+3,+,+300。
而像-16,-321,-,-0.7…这样小于0的数都是负数。
负数前面“-”称为负号。
0在正数和负数之间,它既不是正数,也不是负数。
像-1、-2、-3、-99……这样的数是负整数。
7、数的整除
⑴因数和倍数
如果自然数a和自然数b的乘积是自然数c,即a×b=c,那么a和b都是c的因数,c是a和b的倍数。
(注:
这里的自然数不包括0)
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的,没有最大的倍数,最小的倍数是它本身。
因数和倍数的关系:
因数和倍数是两个不同的概念,但又是相互依存,不能单独存在。
找一个数的因数的方法:
列乘法算式或列除法算式,(一对一对的找)。
找一个数的倍数的方法:
就是用这个数,依次与非零的自然数相乘所得的数就是这个数的倍数,(一倍一倍的找)。
2、5、3和其他数的倍数特征
2的倍数特征:
个位上是0、2、4、6、8的数,都是2的倍数。
3的倍数特征:
一个数的各数位上的数字和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
5的倍数特征:
个位是0或5的数,都是5的倍数。
9的倍数特征:
一个数的各数位上的数字和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
4或25的倍数的特征:
如果一个数的末两位数字所表示的数是4或25的倍数,那么这个数就是4或25的倍数。
8或125的倍数的特征:
如果一个数的末三位数字所表示的数是8或125的倍数,那么这个数就是8或125的倍数。
10、7、11、13的倍数的特征:
如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字组成的差是7或11或13的倍数,那么这个数就是7或11或13的倍数。
⑵奇数、偶数
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数);不是2倍数的数叫做奇数。
奇数、偶数的性质:
(1)奇数+奇数=偶数
(2)奇数-奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数
(4)偶数-偶数=偶数 (5)奇数+偶数=奇数 (6)奇数-偶数=奇数
(7)偶数-奇数=奇数 (8)奇数×奇数=奇数 (9)偶数×偶数=偶数
(10)奇数×偶数=偶数
⑶质数(素数)、合数与分解质因数
质数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(也叫做素数);(质数只有两个因数)
合数:
一个数如果除了1和它本身,还有别的因数,这样的数叫做合数。
(合数最少有3个因数)。
1只有一个因数,所以1既不是质数,也不是合数。
质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数。
如:
30=2×3×5,其中2、3、5本身是质数,又是30的因数,所以2、3、5都是30的质因数。
分解质因数:
把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
分解质因数的方法:
①对于一个较小的数,可采用塔内分解图进行分解。
②短除法:
把一个合数分解质因数,先用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;得出的商如果是合数,就照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止;然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
(4)公因数和最大公因数
公因数和最大公因数的意义:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做它们的最大公因数。
互质数的意义:
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
两个数互质的特殊判断方法:
①1和任何大于1的自然数互质。
②2和任何奇数都是互质数。
③相邻的两个自然数是互质数。
④相邻的两个奇数是互质数。
⑤不相同的两个质数是互质数。
⑥当一个数是合数,而另一个数是质数时,(除了合数是质数倍数情况下)。
一般情况下这两个数也是互质数。
公倍数最小公倍数
(5)公倍数最小公倍数的意义:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个,叫做最小公倍数。
(6)求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法:
①特殊方法:
如果两个数中的较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数,较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的最大公因数就是1。
最小公倍数是这两个数的积。
②一般地,求几个数的最大公因数、最小公倍数通常用短除法。
用短除法求几个数的最大公因数:
一般先用这几个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘起来。
用短除法求几个数的最小公倍数:
一般先用这几个数公有的质因数去除,然后用任意两个数的公因数去除,直到所有的商两两互质为止,然后把所有的除数和最后的商连乘起来。
③最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积。
④分解质因数法:
18和30的最大公因数是=2×3=6 或(18,30)=2×3=6
18和30的最小公倍数是=2×3×3×5=90 或〔18,30〕=2×3×3×5=90
二、小数
1、小数的意义
把整数“1”平均分成10份、100份、1000份、……这样的一份或几份是十分之一、百分之一、千分之一……或十分之几、百分之几、千分之几……写成不带分母的形式的数,叫做小数。
2、小数的位数和计数单位
同整数一样,小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的,它们所占的位置叫做小数的数位。
小数的小数部分按从左往右的顺序,十分位的计算单位是十分之一(或0.1)、百分位的计数单位是百分之一(或0.01);千分位的计数单位是千分之一(或0.001);万分位的计数单位是万分之一(或1.0001)……每相邻两个计数单位间的进率都是十。
小数部分最高位十分位上的计数单位十分之一,它与整数部分最低位个位上的计数单位一(或个)之间的进率也是十。
3、小数的读法和写法
(1)直接读法:
读小数一般采用直接读法。
读小数时,整数部分按照整数读法去读,整数部分是0的,就读作零;中间的小数点读作“点”;小数部分按照从左往右的顺序依次读出每一个数位上的数字,小数部分的“0”要一个不少地全部读出来。
(2)间接读法:
小数还有一种“分数读法”,例如:
0.7可读作十分之七,3.57可以读作三又百分之五十七,这种读法有利于理解小数的意义。
写法:
写小数时,要先写整数部分,再写小数点,最后写小数部分。
整数部分按照整数写法来写,整数部分是零的写作“0”;然后把小数点点在个位的右下角;小数部分从十分位起,由高位到低位依次写出每一个数位上的数字;例如:
零点四七写作:
0.47,一千零五点零零三六写作:
1005.0036.
4、小数的性质
小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,小数的大小不变。
这叫做小数的性质。
根据这个性质,可以把小数化简。
例如:
1.800=1.8;也可以根据需要在小数的末尾添上“0”;还可以在整数个位的右下角点上小数点再添上“0”,把整数写成小数形式。
例如:
3=3.000;小数的大小不变,计数单位从“一”变成了“0.001”。
即:
3个“一”等于3000个“0.001”。
5、小数点位置移动引起小数大小的变化
(1)小数点向右移动一位,小数就扩大到原数的10倍。
(2)小数点向右移动两位,小数就扩大到原数的100倍。
(3)小数点向右移动三位,小数就扩大到原数的1000倍。
……
(4)小数点向左移动一位,小数就缩小到原数的。
(5)小数点向左移动两位,小数就缩小到原数的。
(6)小数点向左移动三位,小数就缩小到原数的……
移动小数点时,如果位数不够时就用0补足。
6、小数的分类
⑴按照整数部分分类
①纯小数:
一个整数部分是零的小数叫做纯小数。
②带小数:
一个整数部分不是零的小数叫做带小数或混小数。
⑵按照小数部分分类
①有限小数:
小数部分的位数是有限的小数。
②无限小数:
小数部分的位数是无限的小数。
无限小数又可以分为循环小数和无限不循环小数。
小数部分从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这个小数叫做循环小数。
依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
7、小数大小的比较
比较两个小数的大小,先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
8、小数的近似数
求一个小数的近似数,同求整数的近似数相似,根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
主要看要求精确的某一位后面是满5,还是小于5,如果满5就像前一位进一,小于5,则直接舍去。
三、分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
其中的一份的数,叫做分数单位。
在分数里,表示把单位“1”平均分成多少份的数,叫做分数的分母;表示有这样的多少份的数,叫做分数的分子;
2、分数的分类
(1)真分数:
分子比分母小的分数叫真分数。
真分数小于1。
如:
,
(2)假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于1或等于1。
如:
,
(3)带分数:
一个假分数,如果分子不是分母的倍数,它就可以写成由一个整数(不包括0)和真分数合成的分数,叫做带分数。
如可以写成3。
(4)真分数和假分数互化
①假分数化成整数或带分数的方法:
用分子除以分母。
当分子是分母的倍数时,能化成整数,商就是这个整数;分子不是分母倍数,能化成带分数,商是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子,分母不变。
②把整数化成假分数用指定的分母作分母,用分母和整数的乘积做分子。
③把带分数化成假分数:
用原来的分母作分母,用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。
3、分数的读法和写法
(1)分数的读法
在读真分数和假分数是先读分母,再读分之,最后读分子。
在读带分数时,先读带分数的整数部分,再读分数部分,并在两者之间加读“又”字。
(2)分数的写法
写真分数或假分数时,先写出分数线,再写分母,后写分子。
写带分数时,先写带分数的整数部分,后写分数部分。
被除数(分子) ÷ (分数线) 除数(分母) = 商(分数值)
注:
因为零不能作除数,因此所有分数的分母不能为0。
5、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质。
(1)约分:
把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。
(2)最简分数:
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
(3)通分:
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
通分的方法:
先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数做分母的数。
6、分数大小比较:
(1)同分母分数的大小比较
分母相同的两个分数相比,分子大的分数比较大。
(2)同分子分数的大小比较
分子相同(0除外)的两个分数相比,分母小的分数比较大。
(3)分子、分母都不相同得分数的大小比较
分子、分母都不相同得分数比较大小,一般先通分再比较,也可以把各分数化成小数再比较。
四、百分数
1、百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数,百分数也叫做百分率或百分比。
2、百分数的读法和写法
百分数的读法与分数的读法相同,先读分母,再读分子。
一个百分数,百分号“%”前面的数是几,我们就把这个百分数读作百分之几。
如:
21%读作百分之二十一。
百分数通常不写成分数形式,而用百分号“%”来表示。
如:
百分之七十八写作78%。
3、成数和折扣
(1)成数:
“成”表示十分之一,成数就是十分之几。
(2)折扣:
折表示十分之几,化成百分数就是百分之几十。
4、税率和利率
纳税是根据国家的有关规定,按照一定的比率把集体或个人的收入的部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税额。
应纳税额与各种收入的比率叫税率。
人们常把暂时不用的钱存入银行,存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。
存入银行的钱叫做本金,取款时银行多付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间。
※数的运算
一、四则运算的意义
加、减法的意义
数的
分类
运算名称
整数
小数
分数
加法
把两个数合并成一个数的运算。
与整数加法的意义相同。
与整数加法的意义相同。
减法
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
与整数减法的意义相同。
与整数减法的意义相同。
乘法
求几个相同加数和的简便运算
1、小数乘整数与整数乘法的意义相同。
2、一个数乘小数表示求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。
2、一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。
除法
已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。
与整数除法的意义相同。
与整数除法的意义相同。
二、四则运算的法则
1、加减法的运算法则:
二、四则运算的法则
1、加减法的运算法则:
同单位相加减,单位不变,单位的个数相加减
整数
小数
分数
1、相同数位对齐;
2、从个位算起;
3、加法中满几十就向前一位进几;减法中不够减时,就从前一位借,借几当几十。
1、相同数位对齐(小数点对齐);
2、从低位算起;
3、按照整数加、减法的法则进行计算;
4、结果中的小数点和相加减数的小数点对齐。
1、同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加减。
2、异分母分数相加减,先通分,然后计算。
3、计算的结果,能约分的要约分。
2、乘除法的运算法则:
整数
小数
分数
乘法
1、从个位起,依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数。
2、用第二个因数去乘,得数的末位就要和第二个因数的那一位对齐。
3、再把每次乘得的得数加起来。
1、按照整数乘法的法则求出积。
2、看因数中一共有几位小数,就从积的右边数出几位,点上小数点。
1、分数乘分数用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
2、有整数的把整数看成分母是1的假分数。
3、有带分数的,通常先把带分数化成假分数。
除法
除法是整数的除法:
从被除数的高位起,除数是几位数,就先看被除数的前几位,如果不够除,就要多看一位。
除到哪一位就要把商就写在那一位上面。
商的小数点和被除数的小数点对齐。
除数是小数的除法:
先移动除数的小数点,使它变成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补0),然后按照除数是整数的除法进行计算。
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数
注意:
因数是整十、整百或整千……的多位数乘法,先用这些数十位、百位或千位……上的数去乘,然后在乘得的数末尾添上一个0、两个0或三个0……
4、倒数:
乘积是1的两个数互为倒数。
三、四则运算各部分之间的关系
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
被减数-减数=差 被减数=减数+差
减数=被减数-差
因数×因数=积 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商 被除数=除数×商
除数=被除数÷商
有余数的除法:
被除数=商×除数+余数
除数=(被除数-余数)÷商
四、四则运算的顺序
四则运算分为两级。
加、减法叫做第一级运算,乘、除法叫做第二级运算。
运算顺序:
在一个没有括号的算式里,如果只有同一级运算,按照从左往右的顺序计算;如果含有两级运算,要先做第二级运算,后做第一级运算。
在一个有括号的算式里,要先算小括号里的,再算中括号里的,最后算括号外面的。
五、运算定律
定 律
内 容
字母表示
交换律
加法
两数相加交换加数的位置,和不变。
a+b=b+a
乘法
两数相乘,交换因数的位置,积不变。
ab=ba
结合律
加法
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或先把后两个数相加,再同第一个数相加,和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘第三个数;或先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。
(ab)c=a(bc)
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,所得的结果不变。
(a+b)c=ac+bc
六、运算性质
名称
内容
字母表示及推广
减法性质
一个数减去两个数的和,等于这个数依次减去和里的每一个加数。
a-(b+c)=a-b-c
a-b-c =a-(b+c)
一个数减去两个数的差,等于先从这个书中减去差里的被减数,然后再加上减数。
a-(b-c)=a-b+c
a-b+c=a-(b-c)
a+b-c=a+(b-c)
除法性质
一个数除以两个数的积,等于这个数依次除以积里的两个因数。
a÷(b×c)=a÷b÷c
a÷(b÷c)=a÷×c
(a±b)÷c=a÷c±b÷c
七、和、差、积、商的变化规律
和、差、积、商的变化规律
字母表示
和
加法中,加数增加(或减少)一个数,和也随着增加(或减少)同一个数。
当一个加数增加一个数,另一个数减少同一个数时,和不变。
a+b=c
(a±m)+b=c±m
(a+m)+(b-n)=c+m-n
(a+m)+(b-m)=c
差
减法中,被减数加上(或减去)一个数,减数不变,差也随着增加(或减少)同一个数。
被减数不变,减数加上(或减去)一个数,差反而减少(或增加)同一个数。
当一个被减数和减数都加上(或减去)同一个数,它们的差不变。
a-b=c
(a±m)-b=c±m
a-(b+m)=c-m
a-(b-m)=c+m
(a±m)+(b±m)=c
积
乘法中,因数乘上(或除以)一个数(不为0),积也随着乘上(或除以)这个数。
当一个因数乘上(或除以)一个数(不为0),另一个因数除以(或乘上)这个数时,他们的积不变。
a×b=c
(a×m)+(b÷n)=c×m÷n
(a×m)+(b÷m)=c
商
除法中,被除数乘上(或除以)一个数(不为0),除数不变,商也随着乘上(或除以)这个数。
被除数不变,除数乘上(或除以)一个数(不为0),商则除以(或乘以)这个数。
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)商不变。
a÷b=c
(a×m)÷b=c×m
(a÷m)÷b=c÷m
a÷(b×m)=c÷m
a÷(b÷m)=c×m
(a×m)÷(b×m)=c
(a÷m)÷(b÷m)=c
八、常用的简算的方法
1、分组法:
根据运算定律,运算形式,以及和、差、积、商的一些性质,对算式中的运算进行重新整合,使之便于计算。
例如:
⑴