综上,实数m的取值范围为.
[常用结论——记一番]
1.函数极值的判别的易错点
(1)可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点.
(2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值.在x0处有f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.
2.函数最值的判别方法
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上最值的关键是求出f′(x)=0的根的函数值,再与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值,只需利用导数法判断函数f(x)的单调性,即可得结论.
(四)三角问题 重在三变
[速解技法——学一招]
[例1] 对于锐角α,若sin=,则cos=( )
A. B.
C.D.-
[解析] 选D 由α为锐角,且sin=,
可得cos=,
所以cos=sin
=sin=-2sincos
=-2××=-.
[例2] 若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( )
A.B.
C.或D.或
[解析] 选A 因为α∈,所以2α∈,
又sin2α=,故2α∈,α∈,
所以cos2α=-.
又β∈,故β-α∈,
于是cos(β-α)=-,
所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]
=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)
=-×-×=,
且α+β∈,故α+β=.
[经典好题——练一手]
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,则sin的值为( )
A.-B.
C.-D.
解析:
选D 由题意可得tanθ=2,cosθ=±,
所以tan2θ==-,cos2θ=2cos2θ-1=-,
所以sin2θ=cos2θ·tan2θ=,
所以sin=(sin2θ+cos2θ)=×=.
2.(2017·沈阳质检)已知f(x)=2sin2x+2sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )
A.2π,B.π,
C.2π,D.π,
解析:
选B ∵f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin+1,∴T==π,由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),令k=0得f(x)在上单调递减.
3.已知α为锐角,若sin=,则cos=________.
解析:
cos=cos=sin=sin=2sincos,因为α为锐角,sin=<,所以<α+<,故cos=,所以cos=2××=.
答案:
4.若0<α<,0<β<,sin=,cos=,则cos的值为________.
解析:
由题易知-<-α<,-<-<-,所以cos==,sin=-=-,所以cos=cos=×+×=.
答案:
[常用结论——记一番]
三角公式中常用的变形:
(1)对于含有sinα±cosα,sinαcosα的问题,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,建立sinα±cosα与sinαcosα的关系.
(2)对于含有sinα,cosα的齐次式
,利用tanα=转化为含tanα的式子.
(3)对于形如cos2α+sinα与cos2α+sinαcosα的变形,前者用平方关系sin2α+cos2α=1化为二次型函数,而后者用降幂公式化为一个角的三角函数.
(4)含tanα+tanβ与tanαtanβ时考虑tan(α+β)=.
(五)正弦余弦 相得益彰
[速解技法——学一招]
三角函数求值的解题策略
(1)寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练准确地应用公式;
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用;
(3)对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析法.
(4)求角的大小,应注意角的范围.
[例1] (2017·福州质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctanC=(acosB+bcosA).
(1)求角C;
(2)若c=2,求△ABC面积的最大值.
[解]
(1)∵ctanC=(acosB+bcosA),
∴sinCtanC=(sinAcosB+sinBcosA),
∴sinCtanC=sin(A+B)=sinC,
∵0∴tanC=,∴C=60°.
(2)∵c=2,C=60°,
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
得12=a2+b2-ab≥2ab-ab,
∴ab≤12,∴S△ABC=absinC≤3,
当且仅当a=b=2时取“=”,
所以△ABC的面积的最大值为3.
[例2] 已知向量m=(2sinωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>0,x∈R.函数f(x)=m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sinB=sinA,求·的值.
[解]
(1)f(x)=m·n=2sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin.
因为f(x)的最小正周期为π,所以T==π.
因为ω>0,所以ω=1.
(2)设△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,C.
因为f(B)=-2,所以2sin=-2,
即sin=-1,得B=.
因为BC=,所以a=.
因为sinB=sinA,所以b=a,得b=3.
由正弦定理有=,解得sinA=.
因为0得C=,c=a=.
所以·=cacosB=××cos=-.
[经典好题——练一手]
1.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
解析:
选A 因为=,由正弦定理得=,所以sin2A=sin2B.由=,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,于是△ABC是直角三角形.故选A.
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC+ccosA=2bsinA,则A的值为( )
A.B.
C.D.或
解析:
选D 由acosC+ccosA=2bsinA结合正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBsinA,即sin(A+C)=2sinBsinA,故sinB=2sinBsinA.又sinB≠0,可得sinA=,故A=或.
3.非直角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=1,C=.若sinC+sin(A-B)=3sin2B,则△ABC的面积为( )
A.B.
C.或D.
解析:
选D 因为sinC+sin(A-B)=sin(