浙江省中考数学复习测试专题提升一 代数式在几何中的应用.docx

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浙江省中考数学复习测试专题提升一代数式在几何中的应用

专题提升

（一）　代数式在几何中的应用

利用代数式解决图形分割问题．

例1　如图S1－1，一个长方形被分割成四个正方形①②③④和一个长方形⑤，为了知道⑤的周长，只需测量哪个正方形的周长（　C　）

（图S1－1）

A．①　　B．②　　C．③　　D．④

【解析】　设①的边长为a，②的边长为b，则③的边长为a＋b，④的边长为2a＋b，于是⑤的长和宽分别为3a＋b和b－a，则⑤的周长为4（a＋b）是③的周长．

例2　如图S1－2，一个平行四边形被分割成两个等腰直角三角形（面积都是S1）、两个直角三角形（面积都是S2）和一个正方形（面积是S3），那么这个平行四边形的面积等于（　A　）

（图S1－2）

A．4S1　B．4S2　

C．4S2＋S3　D．3S1＋4S3

【解析】　设等腰直角三角形的直角边长为a，正方形的边长为c，则S2＝

（a＋c）（a－c）＝

a2－

c2，∴S2＝S1－

S3，∴S3＝2S1－2S2，∴S平行四边形＝2S1＋2S2＋S3＝2S1＋2S2＋2S1－2S2＝4S1.

（1）图形分割问题往往难以用几何的方法来解决，而设一个或几个字母表示线段长，用代数式__计算__的方法有时反而会轻松解决．

1．如图S1－3，一个大矩形被分割成四个正方形（用字母A，B，C，D表示）和一个小矩形，四边形MNPQ由其中的三个正方形的对角线和小矩形的对角线顺次连结而成，如果需求出四边形MNPQ的面积，只需知道其中一个正方形的边长，那么表示这个正方形的字母是（　B　）

（图S1－3）

A．A　　B．B　　C．C　　D．D

【解析】　设正方形D的边长为a，正方形A的边长为x，则S四边形MQPN＝

x2＋

（x＋a）2＋

（x＋2a）2＋

（x－a）（x＋3a）＋a2＝2x2＋4ax＋2a2＝2（x＋a）2，恰好是正方形B面积的2倍．

2．如图S1－4，在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图S1－4

（1），图S1－4

（2）两种方式放置（图S1－4

（1），图S1－4

（2）中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图S1－4

（1）中阴影部分的面积为S1，图S1－4

（2）中阴影部分的面积为S2.当AD－AB＝2时，S2－S1的值为（　B　）

（图S1－4）

A．2a　　B．2b　　

C．2a－2b　　D．－2b

【解析】　设AD＝x，AB＝y，则x－y＝2.

S1＝（y－a）·a＋（y－b）（x－a），S2＝y（x－a）＋（a－b）（y－a），

S2－S1＝y（x－a）＋（a－b）（y－a）－（y－a）·a－（y－b）（x－a）

＝（x－a）（y－y＋b）＋（y－a）（a－b－a）

＝b·x－ab－b·y＋ab＝b（x－y）＝2b.

利用代数式解决角的计算和证明问题．

例3　如图S1－5，在△ABC中，点D，E在边BC上，AB＝BE，AC＝DC.

（图S1－5）

（1）当∠BAC＝90°时，求∠DAE的度数；

（2）小明猜想：

不论∠BAC是几度，总有∠DAE＝

∠BAC.你认为小明的猜想对吗？

为什么？

解：

（1）45°；

（2）设∠B＝x，∠C＝y，则∠BAC＝180°－x－y.由AB＝BE，得∠BAE＝

.同理，∠DAC＝

，于是∠DAE＝

＋

－（180°－x－y）＝

.

所以小明的猜想不正确．

例4　将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼成如图S1－6

（1）的形状，使点A，F，C，D在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF，AC＝DF，连结AE，BD.取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α°（0≤α≤90），连结OB，OE，AE，BD，如图S1－6

（2）．当EF平分∠AEO时，探究∠BOD与∠AOE的数量关系，并说明理由．

（图S1－6）

解：

设∠OEF＝x，易证

OA＝OB＝OD＝OE，OC＝OF，∴△BOC≌△EOF，

∴∠EOF＝∠BOC＝90°－x.

∵AO＝EO，∠AEO＝2x，∴∠AOE＝180°－4x，

∴∠AOF＝180°－4x－（90°－x）＝90°－3x，

∴∠BOD＝90°－x－（90°－3x）＝2x，

∴2∠BOD＋∠AOE＝180°.

（2）角的计算和证明问题用纯几何方法难以处理时，可以设一个或几个__字母__表示角，用__代数计算__的方法往往是捷径．

3．如图S1－7，△ABC和△CDE都是正三角形，求证：

∠ADB－∠DBE＝60°.

（图S1－7）

证明：

因为△ADC≌△BEC，所以可设∠DAC＝∠EBC＝x°，∠DBC＝y°，则∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－（60°－x）－（60°－y）＝60°＋x＋y＝60°＋∠DBE，即∠ADB－∠DBE＝60°.

4．如图S1－8，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边AB上，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．

（图S1－8）

解：

设∠EDB＝∠EBD＝x°，则∠A＝∠DEA＝2x°，∠C＝∠BDC＝∠ABC＝3x°，于是8x＝180°，则∠A的度数为45°.

利用代数式解决线段的计算和证明问题．

例5　如图S1－9，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G.试判断EG与FG是否相等，并说明理由．

（图S1－9）

解：

设AD＝a，BC＝b，那么利用切线长定理得AD＝DE＝a，BC＝CE＝b.由△DEG∽△DCB，得

＝

，则EG＝

.

同理可得FG＝

，所以EG＝FG.

（3）利用代数式解决几何问题的一般步骤如下：

①设__字母__；②寻找等量关系；③用__字母__表示有关的量；④对得到的代数式进行__计算或变形__．

5.如图S1－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，作正方形ACDE和正方形BCGH，BE交AC于点I，AH交BC于点J，求证：

CI＝CJ.

（图S1－10）

证明：

设BC＝a，CD＝b，利用相似三角形分别计算CI，CJ的长，证法同例5.

给一些特殊图形（如矩形、等边三角形、等腰直角三角形）建立一个平面直角坐标系，再结合代数式解决问题的方法叫做建系法，建系法对解决含这些特殊图形的问题往往会有意想不到的效果．

知识储备：

已知平面直角坐标系上两点A（x1，x2），B（y1，y2），则线段AB的中点表示为

，线段AB的长度表示为

.

例6　如图S1－11，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是__

__．

（图S1－11）　　（图DS1－1）

【解析】　如图DS1－1，以点B为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则G（4，4），D（6，6），C（6，0），E（0，4）．因为M，N分别是DG，EC的中点，所以M（5，5），N（3，2），则MN＝

＝

.

例7　定义：

如图S1－12

（1），点A，B在线段MN上，若以线段MA，AB，BN为边恰好能组成一个直角三角形，则称点A，B为线段MN的勾股分割点．如图S1－12

（2），在△ABC中，在∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB>MA，AB>BN），过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P.猜想PC的长度是否为定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

（图S1－12）

解：

如图DS1－2，以AB的中点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），C（0，1）．设MA＝a，BN＝b，则M（－a－1，0），N（b＋1，0），P

，于是PC＝

＝

.

（图DS1－2）

因为a2＋b2＝22＝4，所以PC＝

，

即PC的长是定值

.

（4）上述两例如果用纯几何的方法计算，会添加较多的辅助线，并且计算难度较大，利用__平面直角坐标系__，再结合设字母的代数思想，思考的难度和计算的难度都会相对降低．

6．如图S1－13，正方形ABCD的边长为10，G，H在正方形ABCD内，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为__2

__．

（图S1－13）

【解析】　如图DS1－3，以点B为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，先由等积法计算出G

，H

，

（图DS1－3）

则GH＝

＝2

.

7．如图S1－14，在矩形ABCD中，AB＝84，AD＝42，点M是AD的中点，点N在边AB上，BN＝2AN，线段CM与DN交于点O，点P在OC上，BP平分四边形BCON的面积，连结DP，则△CDP的面积为__546__．

（图S1－14）图DS1－4）

【解析】　如图DS1－4，以A点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，

则D（0，42），B（84，0），C（84，42），N（28，0），直线DN的解析式为y＝－

x＋42，

直线CM的解析式为y＝

x＋21，

得O（12，24），连结OA易求S四边形ANOM＝462，

S四边形BCON＝2184，则S△BCP＝1092，设P（x，y），则

＝1092，

解得x＝32，则y＝29，S△CDP＝546.

1．如图ZS1－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成2个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（　A　）

（图ZS1－1）　　（图DT1－1）

A．①②B．②③

C．①③D．①②③

【解析】　如图DT1－1，设③和②的边长分别为a，b，则长方形的周长为8b，①的周长为4b，②的周长为4b，③的周长为4a.

2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图ZS1－2－1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图ZS1－2－2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　C　）

（图ZS1－2－1）（图ZS1－2－2）

A．直角三角形的面积　

B．最大正方形的面积

C．较小两个正方形重叠部分的面积

D．最大正方形与直角三角形的面积和

【解析】　设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a，由勾股定理，得c2＝a2＋b2，阴影部分的面积＝c2－b2－a（c－b）＝a2－ac＋ab＝a（a＋b－c），

较小两个正方形重叠部分的长＝a－（c－b），宽＝a，

则较小两个正方形重叠部分的的面积＝a（a＋b－c），

∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．

3．如图ZS1－3，已知AE＝10，点D为AE上的一点，在AE同侧作正方形ABCD，正方形DEFH，G，M分别为对角线AC，HE的中点，连结GM.当点D沿着线段AE由点A向点E移动时，四边形AGME的面积变化情况为（　B　）

（图ZS1－3）

A．不变B．先减小后增大

C．先增大后减小D．一直减小

【解析】　如图DT1－2，过点G作GK⊥AD于点K，过点M作MN⊥DE于点N.设AD＝x，DE＝10－x，

（图DT1－2）

则AK＝GK＝DK＝

x，MN＝DN＝NE＝

，

容易求得四边形AGME的面积为

x2－

x＋25＝

（x－5）2＋

（0

由二次函数的性质可知其面积变化是先减小后增大．

4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图ZS1－4的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为__24__．

（图ZS1－4）

【解析】　设小正方形的边长为x.∵a＝3，b＝4，

∴斜边长＝3＋4＝7，∴（3＋x）2＋（x＋4）2＝72，整理得，

x2＋7x－12＝0，则该矩形的面积为

（x＋3）（x＋4）＝x2＋7x＋12＝12＋12＝24.

5．如图ZS1－5

（1），四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连结四条线段得到如图ZS1－5

（2）的图案，如果阴影部分的面积与空白部分的面积相等，那么大正方形的边长与小正方形的边长的比值为__

＋1__．

（1）　

（2）

（图ZS1－5）

【解析】　如图DT1－3，设AC＝m，BD＝1，

（图DT1－3）

则大正方形的面积为m2，小正方形的面积为1.设AB＝CD＝a，由题意得2a＋1＝2a2，易得4a2＝m2，解得a＝

，m＝

＋1.

6．如图ZS1－6，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为__36°__．

图ZS1－6

【解析】　设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠BDC＝∠C，∠C＝∠ABC＝2x，易得5x＝180°，则∠A＝36°.

7．如图ZS1－7，已知在平面上从点O出发有5条射线OA，OB，OC，OD，OE，其中∠AOB＝3∠DOE，OC平分∠BOD，∠BOC＋2∠DOE＝70°，则∠AOE的度数为__140°__．

图ZS1－7

【解析】　设∠DOE＝x，则∠AOB＝3x，设∠BOC＝∠DOC＝y，由题意得2x＋y＝70°，于是∠AOE＝3x＋y＋y＋x＝2（2x＋y）＝140°.

8．如图ZS1－8，一个矩形被分割成11个正方形，原矩形的长为a，宽为b（a>b），则

＝__

__．

（图ZS1－8）（图DT1－4）

【解析】　如图DT1－4，设图中左上角的正方形边长为m，则每个正方形的边长如图中正方形内的代数式，∴

＝

÷

＝

.

9．如图ZS1－9，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形DCEF为矩形，P，Q分别为DE，AB的中点，若BD＝1，DC＝2，则PQ＝__

__．

（图ZS1－9）

【解析】　如图DT1－5，以B为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，由中点坐标的意义可得P

，Q

，则PQ＝

＝

.

（图DT1－5）

10．如图ZS1－10，已知三角形ABC的面积为1cm2，且BC＝CD，AD＝3DE，AC与BE交于点F.那么四边形CDEF的面积为__

__．

（图ZS1－10）（图DT1－6）

【解析】　如图DT1－6，S△CDF＝x，S△DEF＝y，易得S△BCF＝x，S△AEF＝2y.由S△ABC＝S△ACD可得S△ABF＝3y，于是x＋3y＝1.由S△ABE＝2S△BDE得5y＝2（2x＋y），解得x＝

，y＝

，则四边形CDEF的面积为

.

11．如图ZS1－11，已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.

求证：

AP＝AB.

（图ZS1－11）

解：

以B为坐标原点，直线BC为x轴，直线BA为y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，易得直线BE的解析式为y＝

x，直线CF的解析式为y＝－2x＋4，解得交点P

以下略．

12．如图ZS1－12，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC，BC.

（图ZS1－12）

（1）求证：

∠BAC＝∠BCP；

（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点D，你认为∠CDP的大小是否发生变化？

若变化，请说明理由；若没有变化，求出∠CDP的度数．

解：

（1）略　

（2）设∠BPC＝2x，∠A＝∠BCP＝y，则∠CDP＝x＋y，而∠ABC＝2x＋y，易得y＋（2x＋y）＝90°，则∠CDP＝x＋y＝45°.

13．如图ZS1－13，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.问：

EP与PD是否相等？

证明你的结论．

（图ZS1－13）

解：

先证△AEP∽△ABC，得

＝

.①

△AED∽△OBC，得

＝

＝

＝

.②

由①②得ED＝2EP，则EP＝PD.