中考数学总复习 21 代数式.docx

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中考数学总复习21代数式

2．1　代数式

第1课时　用字母表示数

1．字母表示一些简单问题中的数量关系，学会规范书写用字母表示的数量关系，培养学生的符号意识．

2．经历把问题情境中的数量用含字母的式子表示的过程，体会用字母表示数的作用和意义．

3．在用字母表示数量关系的过程中感受从具体到一般的归纳思想．

重点

体会用字母表示数的意义，经历探索规律的过程．

难点

对字母表示数的一般意义的理解；探究规律的过程及方法．

一、创设情境，导入新知

数字游戏：

随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，无论开始想的自然数是什么，按照上面的计算方法得到的数的个位数字一定是0，你相信吗？

给予学生讨论的时间，让他们自己来实践一下，验证这一游戏的正确性，然后提出一个设问：

你知道这是为什么吗？

我们学习了这一课时后就知道了．（感受用字母表示数的优越性，从而引入课题）

二、自主合作，感受新知

阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．

三、师生互动，理解新知

探究点：

用字母表示数

问题1：

2008年9月25日，我国成功发射了“神舟七号”载人飞船．它在椭圆形轨道上环绕地球飞过45周，历时约68h．试求：

（1）该飞船绕地球飞行一周约需多少分？

（2）该飞船绕地球飞行n周约需多少分？

学生口答完后，教师指明用含有字母n的式子表示飞行时间的数量关系．

问题2：

能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数，如果用k表示任意一个整数，用含有k的代数式表示：

（1）任意一个偶数；

（2）任意一个奇数．

整数：

…－3－2－10123…k…

偶数：

…－6－4－20246…（　）…

奇数：

…－7－5－3－10135…（　）…

学生思考并举手回答．

教师通过探究，我们发现字母可以表示任何一个数．

问题3：

（1）如图所示，用长方形框任意框出月历中的三个数

之间有什么关系？

请用一个等式表示这个关系．

（2）如图所示，若用正方形框任意框出月历中的四个数

，我们又能用什么等式表示呢？

学生观察、探究并写出结果．

总结：

从上面的例子可以看到，用字母表示数，可以把一些数量关系抽象化，为我们解决问题带来方便．用字母表示数是代数的一个重要特点，小学里已接触过用字母表示数，初中将进一步研究用字母表示数．

四、应用迁移，运用新知

1．用字母表示数

例1　填空：

（1）小丽去鲜花店买花，她买n枝玫瑰花，每一枝a元，m枝康乃馨，每一枝b元，则她共需付______；

（2）如果a表示一个自然数，那么它的下一个自然数是______．

解析：

（1）应付钱数＝每一枝玫瑰花的单价×枝数＋每一枝康乃馨的单价×枝数；

（2）下一个自然数应该比它大1.所填答案为

（1）（an＋bm）元；

（2）a＋1.

方法总结：

用字母表示数书写要规范，后需带单位时要使用括号．

2．用字母表示运算律和公式

例2　用字母表示下列法则、运算律：

（1）有理数的减法法则；

（2）分数加法法则；（3）乘法分配律．

解析：

回忆法则，把握内涵，用字母表示出来．

解：

（1）a－b＝a＋（－b）；

（2）

＋

＝

；

＋

＝

＋

＝

（a≠0，d≠0）；

（3）a（b＋c）＝ab＋ac.

方法总结：

用字母表示运算法则时要注意运算律的含意，并用字母表示某些数的特定取值范围．

3．用字母表示代数型的数量关系

例3　用字母表示下列问题中的数量关系：

（1）在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的

还多5分，则二班的总成绩为______；

（2）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：

将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为______元．

解析：

（1）二班的总成绩＝

m＋5；

（2）根据题意得m（1＋50%）（1－30%）（1－10%）＝0.945m（元）．

方法总结：

解题时，要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系，如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量的运算顺序，正确使用运算符号及括号．

4．用字母表示几何图形中的数量关系

例4　用字母表示图中阴影部分的面积：

（1）　　　　　　　　　　　　

（2）　　

解析：

（1）图中阴影部分是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是

；

（2）图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x.

解：

（1）S＝a2－π·（

）2；

（2）S＝ab－4x2.

方法总结：

将不规则图形的面积转化为规则图形（如长方形、圆、三角形等）的面积的和或差是解决此类面积问题的关键．

五、尝试练习，掌握新知

课本P57～58练习第1～4题．

《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．

六、课堂小结，梳理新知

引导学生回答如下问题：

本节课学习了哪些基本内容？

学习了什么数学思想方法？

应注意什么问题？

这节课我们通过活动探索规律，得出规律，并用含字母的式子表示出来，使我们知道：

用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系，也可以简明地表达数字和公式，这样给我们研究问题带来很大的方便．

七、深化练习，巩固新知

第2课时　代数式

1．掌握代数式的概念，并了解代数式的书写注意事项．

2．能分析文字语言表述的数量关系，并会列代数式表示．

3．能用文字语言从不同角度说明一些简单代数式表示的意义．

4．进一步体会代数式是表示数量和数量关系的．

重点

用字母表示数的意义；能用代数式表示简单的数量关系．

难点

正确理解题意，从中找出数量关系里的运算顺序并能准确地写成代数式．

一、复习旧知，导入新知

我们在前面学习了用字母表示数，你能完成下面的问题吗？

（1）黑板的长为a米，宽为b米，则它的面积为________米2，周长为________米；

（2）钢笔每支a元，铅笔每支b元，买2支钢笔和3支铅笔共需________元；

（3）某种食品的单价是16元/千克，则n千克需________元；

（4）爷爷的年龄是孙子的年龄的4倍，当爷爷a岁时，孙子的年龄是________岁．

做完后大家交流讨论，观察分析上述所列式子有何特征？

它们是怎样构成的？

你能用自己的语言描述它们的特征吗？

二、自主合作，感受新知

回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．

三、师生互动，理解新知

探究点一：

代数式的意义及书写

上面出现的ab，2（a＋b），（2a＋3b），16n，

等，像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．

交流讨论：

下列各式中，你认为哪些是代数式？

①2mn－1；②S＝

（a＋b）h；③π；④b＋1＞a；⑤7；⑥

；⑦a2＋b2；⑧a（b＋c）＝ab＋ac.

（①③⑤⑥⑦是代数式）

归纳代数式的主要特征：

（1）用基本的运算符号把数和字母连接而成；

（2）单独的一个数或字母也是代数式；（3）代数式不能含有等号或不等号．

归纳总结代数式书写格式的规定：

在含字母的式子里，字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“·”．例如a×b可以写成a·b或ab；字母与数字相乘时，例如91×n可以写成91n；数字与数字相乘时，一般仍用“×”号，也可以用“·”号，但要注意与小数点区分开；字母与字母相除时，例如s÷v记作

.在字母和数字的乘积中，数字通常写在字母的左边．例如a×2b＝2ab.

探究点二：

列代数式

为解决问题常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列代数式．

通过参照课本P58例1、P59例2，学生小组讨论解决．

教师归纳：

列代数式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．

①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；

②理清语句层次明确运算顺序；

③牢记一些概念和公式．

探究点三：

列代数式探求规律性问题

师生互动，完成课本P61“思考”．

四、应用迁移，运用新知

1．代数式的意义及书写

例1　下列各式中，符合代数式书写要求的有（　　）

（1）1

x2y；

（2）a×3；（3）ab÷2；（4）

.

A．4个　　B．3个　　C．2个　　D．1个

解析：

（1）正确的书写格式是

x2y，不符合要求；

（2）正确的书写格式是3a，不符合要求；（3）正确的书写格式是

ab，不符合要求；（4）符合要求．所以符合代数式书写要求的共1个．

方法总结：

代数式的书写要求：

（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；

（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．

例2　见课本P60例4.

2．列代数式

例3　买1个足球需要a元，买1个篮球需要b元，则买2个足球和3个篮球共需要________元．

解析：

买1个足球需要a元，则买2个足球需要2a元；买1个篮球需要b元，则买3个篮球需要3b元，因此一共需要（2a＋3b）元．

方法总结：

生活中的代数式主要有购物问题、销售问题、调配问题、面积问题等，所列代数式大多带有单位，表示和或者差的代数式带单位时需加括号．

例4　见课本P60例3.

3．列代数式探求规律性问题

例5　观察下列图形：

它们是按一定规律排列的．

（1）依照此规律，第20个图形共有几个五角星？

（2）摆成第n个图案需要几个五角星？

（3）摆成第2016个图案需要几个五角星？

解析：

通过观察已知图形可得：

每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．

解：

（1）因为第1个图中，五角星有3个（3×1）；第2个图中，有五角星6个（3×2）；第3个图中，有五角星9个（3×3）；第4个图中，有五角星12个（3×4）；所以第n个图中有五角星3n个．所以第20个图中五角星有3×20＝60（个）；

（2）由

（1）可知摆成第n个图案需要3n个五角星；

（3）摆成第2016个图案需要五角星2016×3＝6048（个）．

方法总结：

此题首先要结合图形数出具体几个值．此题的规律为摆成第n个图案需要3n个五角星．注意由特殊到一般的分析方法．

五、尝试练习，掌握新知

课本P59练习第1～4题、P60练习第1～4题．

《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．

六、课堂小结，梳理新知

通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？

本节课主要学习了代数式的含义、特征以及如何利用代数式表示数量关系并解决生活中的实际问题；学习代数式时应注意书写代数式的规范性；表示代数式的意义时，实际问题中的字母和数要有意义，要符合实际意义；通过代数式的学习，初步体会数学模型的思想．并学会由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法．

七、深化练习，巩固新知

课本P67习题2.1第2、3、4、5题．

第3课时　整式

1．理解单项式和多项式的概念，了解它与代数式之间的联系和区别．

2．会准确地确定一个单项式的系数和次数以及多项式的项和次数．

3．初步认识特殊与一般的辩证关系．

重点

理解单项式、单项式系数、次数及多项式的概念．

难点

识别单项式的系数与次数及多项式的次数．

一、复习旧知，导入新知

1．思考：

（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是________，体积是________；

（2）设n表示一个数，则它的相反数是________；

（3）一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是b，则这个两位数是________；

（4）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为________千米．

2．观察所列式子包含哪些运算？

有何共同的运算特征？

二、自主合作，感受新知

回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．

三、师生互动，理解新知

探究点一：

单项式

1．单项式的概念

问题1：

（1）4x；

（2）2mn；（3）a2b；（4）－n；

（5）

m；（6）70%x.

以上代数式的运算有什么共同特点？

请学生观察上述代数式包含哪些运算？

有何共同运算特征？

（由小组讨论后，经小组推荐人员回答，教师适当点拨）

共同特点：

都表示数与字母的积．

问题2：

什么叫做单项式？

归纳：

只包含数和字母的积的代数式叫做单项式．

注意：

单个的字母或数也是单项式．如a，5.

2．单项式的系数和次数

问题3：

以上单项式有什么结构特点？

学生回答，然后总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的．

问题4：

以四个单项式

a2h，2πr，abc，－n为例，说出它们的数字因数和各字母的指数和分别是多少？

学生回答，教师总结：

单项式中的数字因数，叫做单项式的系数．

一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数．

注意：

（1）单项式的系数应包括它前面的符号，当系数是1或－1时，“1”通常不写．

（2）字母的指数是1时，指数省略不写．如y的指数是1而不是0.

探究点二：

多项式

1．多项式的概念

问题5：

（1）150－m；

（2）2ra＋

πr2；（3）100c＋10b＋a.

请学生观察上述代数式有何共同特征？

与单项式有什么关系？

（由小组讨论后，经小组推荐人员回答，教师适当点拨．）

共同特点：

这些代数式可以看成是由几个单项式的和组成的．

问题6：

什么叫做多项式？

归纳：

由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．

2．多项式的项和次数

教学策略：

教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想．

多项式中：

每一单项式都叫做多项式的项．

不含字母的项叫做常数项．

多项式含有几项就叫做几项式．

次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

如：

多项式150－m由150和－m两项组成，150是常数项，150－m是一次二项式.2ra＋

πr2中有两项，最高次数是2，所以它是二次二项式．

注意：

（1）多项式的次数不是所有的项的次数和．

（2）多项式的每一项都应包括它前面的符号．

探究点三：

整式

单项式和多项式统称整式．结合单项式和多项式的概念讨论分析

，

是整式吗？

结论：

在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算.

表示数字

与字母x的乘积，是一个单项式，所以

是整式．而

是数字2与字母x的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特点是字母不能作分母．

四、应用迁移，运用新知

1．确定单项式的系数和次数

例1　见课本P63例5.

方法总结：

（1）当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．

（2）我们把常数项的次数看作0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.（3）π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．

2．单项式、多项式与整式的识别

例2　指出下列各式中哪些是单项式？

哪些是多项式？

哪些是整式？

x2＋y2，－x，

，10，6xy＋1，

，

m2n，2x2－x－5，

，a7.

解析：

根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．

解：

，

的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．

单项式有－x，10，

m2n，a7；

多项式有x2＋y2，

，6xy＋1，2x2－x－5；

整式有x2＋y2，－x，

，10，6xy＋1，

m2n，2x2－x－5，a7.

方法总结：

（1）分母中含有字母（π除外）的式子不是整式；

（2）单项式和多项式都是整式；（3）单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．

3．确定多项式的项和次数

例3　见课本P64例6.

方法总结：

（1）多项式的项一定包括它的符号；

（2）多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；（3）几次项是指多项式中次数是几的项．

4．根据多项式的概念求字母的取值

例4　已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．

解析：

根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．

解：

由题意得m＋2＝6，解得m＝4.此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.

方法总结：

此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．

例5　若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．

解析：

多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.

解：

∵关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，

∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.

方法总结：

多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.

五、尝试练习，掌握新知

课本P64练习第1～4题．

《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．

六、课堂小结，梳理新知

通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？

本节课主要学习了单项式、多项式、整式的概念及单项式、多项式的次数及系数的概念．在列代数式的基础上自己推导并归纳各个概念的特征，加深对概念的理解，既为以后学习整式的运算奠定了基础，也锻炼了自己解决问题的能力．

七、深化练习，巩固新知

课本P67习题2.1第6题．

第4课时　求代数式的值

1．会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法．

2．会利用代数式求值推断代数式所反应的规律．

3．能理解代数式值的实际意义．

重点

会求代数式的值并解释代数式值的实际意义．

难点

利用代数式求值推断代数式所反映的规律．

一、创设情境，导入新知

请四位同学到黑板前面来做一个传数游戏，第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学把听到的数减去1报出答案．如果第一个同学报给第二个同学的数是5，第四个同学报出的答案是35，这个结果对吗？

传数程序：

x→x＋1→（x＋1）2→（x＋1）2－1→？

概括：

我们只要按照传数程序做下去，不难发现，第四个同学报出的答案是正确的．实际上，这是在用具体的数来代替最后一个式子（x＋1）2－1中的字母x，然后算出结果．

由此得出什么结论？

学生交流回答：

x取不同的值，代数式（x＋1）2－1的计算结果也不同．

这就是我们这一节将要学习的代数式的值．

二、自主合作，感受新知

回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．

三、师生互动，理解新知

探究点：

代数式的值

问题1：

谁能根据自己的理解说明什么叫代数式的值？

（学生互相讨论后再回答）

教师归纳：

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．

问题2：

由定义看，代数式的值与什么有关？

学生思考很容易得出：

与代数式中字母的取值有关．

问题3：

想一想：

代数式与代数式的值有什么区别和联系？

代数式表示一般性，代数式的值表示特殊性．两者之间的联系是：

代数式的值是代数式解决问题中的一个特例．

问题4：

在今后解决问题的过程中，往往需要根据代数式中字母的取值来确定代数式的值，你能根据代数式的值的概念找出求代数式的值的方法吗？

学生积极思考，合作交流，找出方法：

一是代入，二是计算．

思考：

（1）现在你能归纳求代数式的值有哪些步骤了吗？

求代数式的值的步骤：

①写出条件：

当……时；

②抄写代数式；

③代入数值；

④计算．

（2）把代数式中的字母用负数代替时，或者用分数代替，且是求幂时，应该注意什么？

如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号；如果字母取值是负数，代入时要加括号．

四、应用迁移，运用新知

1．直接代入法求代数式的值

例1　见课本P66例8.

方法总结：

（1）代入时要“对号入座”，避免代错字母；

（2）分数的立方、平方运算，要用括号括起来．

2．利用程序图求代数式的值

例2　有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入的x的值是5，则发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，……则第2016次输出的结果是________．

解析：

按如图所示的程序，当输入x＝5时，第1次输出5＋3＝8；当输入x＝8时，第2次输出

×8＝4；当输入x＝4时，第3次输出

×4＝2；当输入x＝2时，第4次输出

×2＝1；当输入x＝1时，第5次输出1＋3＝4；则第6次输出

×4＝2，第7次输出

×2＝1，…不难看出从第2次开始，其运算结果按4，2，1三个数排列循环出现．因为（2016－1）÷3＝671……2，所以第2016次输出的结果为2.

方法总结：

这种程序运算的特点是程序有多个分支，要先对输入的数据进行判断，再选择适当的某个分支按照指明的程序进行运算．

3．整体代入法求值

例3　已知x－2y＝3，则代数式6－2x＋4y的值为（　　）

A．0　　B．－1　　C．－3　　D．3

解析：

此题无法直接求出x、y的值，这时，我们就要考虑特殊的求值方法．根据已知x－2y＝3及所求6－2x＋4y，只要把6－2x＋4y变形后，再整体代入即可求解．因为x－2y＝3，所以6－2x＋4y＝6－2（x－2y）＝6－2×3＝0.

方法总结：

整体代入法是数学中一种重要的方法，同学们应加以关注．

4．求实际问题中代数式的值

例4　见课本P65例7.

五、尝试练习，掌握新知

课本P66练习第1～3题．

《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．

六、课堂小结，梳理新知

通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？

本节课学习理解代数式的值的概念和求代数式的值的步骤，以及求代数式的值步骤中需要注意什么．

七、深化练习，巩固新知

课本P67～68习题2.1第7～11题．