秋季新版新人教版八年级数学上学期123角的平分线的性质同步练习2.docx

秋季新版新人教版八年级数学上学期123角的平分线的性质同步练习2.docx

《秋季新版新人教版八年级数学上学期123角的平分线的性质同步练习2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《秋季新版新人教版八年级数学上学期123角的平分线的性质同步练习2.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

秋季新版新人教版八年级数学上学期123角的平分线的性质同步练习2

12．3角的平分线的性质

重点知识讲解

1．角的平分线的性质

（1）性质的推导

如图所示，已知P是∠AOB的平分线OC上一点，且PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，求证：

PE=PF．

∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠2．

∵PE⊥OA于点E，

PF⊥OB于点F，

∴∠OFP=∠OEP=90°．

又∵OP=OP，

∴△POE≌△POF，

∴PE=PF（AAS）．

（2）语言叙述

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

（3）图形说明

如图所示，若OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，则PE=PF．

2．角平分线的判定

（1）判定的推导

如图所示，已知PE⊥OA于点E，PF⊥AB于点F，且PE=PF．求证：

点P在∠AOB的平分线上．

∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，

∴∠PEO=∠PFO=90°．

又∵PE=PF，OP=OP．

∴△POE≌△POF（HL）．

∴∠POE=∠POF，

即点P在∠AOB的平分线上．

（2）语言叙述

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

（3）图形说明

如图所示，若PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，PE=PF，则OP平分∠AOB，即点P在角的平分线上．

3．角的平分线的性质与判定的联系与区别

角的平分线的性质

角的平分线的判定

条件

如果一个点到角的两边的距离相等

如果一个点在角平分的线上

结论

那么这个点到角的两边的距离相等

那么这个点在角的平分线上

4．角的平分线的尺规作图

如图所示．

作法：

①以O为圆心、适当长为半径作弧，交OA于M，OB于N．

②分别以M，N为圆心，大于

MN的长为半径作弧，设两弧在∠AOB的内部交于点P．

③作射线OP，则射线OP即为所求．

5．三角形的平分线的性质

三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等．

如图所示，PG=PF=PE．

易混知识辩析

角的平分线与三角形的角平分线

前者是一条射线，后者是一条线段．

经验与方法技巧

1．证线段相等的方法

（1）三角形全等．

（2）角的平分线的性质．

2．证角相等的方法

（1）三角形全等．

（2）角的平分线的判定．

3．辅助线的添加

用角的平分线的性质（或判定）来证明两条线段的等量关系（或证明一个点是否在角平分线上），若图中没有这一点到角的两边的垂线段，则需要作出这一点到角的两边的垂线段．

典型例题

例已知：

如图所示，PA，PC分别是△ABC外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，则BP是∠MBN的平分线吗？

说明理由．

解析BP为∠MBN的平分线．

理由如下：

过P作PE⊥AC于E，连结BP．

∵PA，PC分别是∠MAC与∠NCA的平分线，且PD⊥BM，PF⊥BN（已知），

∴PD=PE，PF=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

∴PD=PF．

又∵PD⊥BM，PF⊥BN（已知），

∴点P在∠MBN的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

∴BP为∠MBN的平分线．

评注本例综合运用了角的平分线的性质及判定，关键是作出点P到AC的垂线段．

教材例题习题的变形题

例1（P109例）如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？

请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

解析AP平分∠BAC．

结论：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

理由：

过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D．

∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．

同理PF=PE，∴PD=PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

评注由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．

例2（P110习题4）如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

解析AD平分∠BAC．

∵D到PE的距离与到PF的距离相等，

∴点D在∠EPF的平分线上．

∴∠1=∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1=∠3．

同理∠2=∠4．

∴∠3=∠4，∴AD平分∠BAC．

评注由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．

学科内综合题

例1如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F，过点C分别作EF，ED的垂线，交直线EF与点G，交直线ED于点H，CG与CH是否相等？

为什么？

解析CG与CH相等．

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2．

又∵AE=AC，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴DE=DC，∠ADE=∠ADC．

又∵DK=DK，

∴△EDK≌△CDK（SAS），∴∠3=∠4．

又∵EF∥BC，

∴∠5=∠4，∴∠3=∠5．

又∵CG⊥EF于点G，CH⊥EH于点H，

∴CG=CH．

例2已知：

如图所示，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，求∠A+∠C的度数．

解析如图13-3-9所示，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF．

在Rt△EAD与Rt△FCD中，

AD=DC，DE=DF，

∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）．

∴∠C=∠EAD．

∵∠EAD+∠BAD=180°，

∴∠C+∠BAD=180°．

评注本例考查了角平分线性质的灵活运用，关键是掌握遇到角的平分线时，辅助线的添加方法．

综合应用题

例为了方便修路工人喝水，现决定在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，请找出点P的位置（不写作法，只保留作图痕迹）．

解析如图0所示．

评注由于要求的点P到∠BAC的两边的距离相等，所以点P应该在∠BAC的平分线上．

创新题

例1（信息题）在学习“角的平分线”时，老师要求同学们练习一道题，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC是∠ABC的平分线．在同学们忙于画图和分析题目时，小明忽然兴奋地大声说：

“我有个发现！

”原来他感到自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是这样的：

在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢，请说明理由．

解析如图所示．

小明的画法正确．

∵在Rt△BCD与Rt△BED中，

∠C=∠DEB=90°，BC=BE，BD=BD，

∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）．

∴DC=DE，∴BD平分∠ABC．

评注本题主要考查学生分析问题的能力，因为DE，DC分别是点D到∠ABC两边的距离，故可考虑证明DC=DE，从而判断出点D在∠ABC的平分线上．

例2（探究题）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．判断AD与EF的位置关系，并说明理由．

解析AD⊥EF．

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知），

∴DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）．

在Rt△AED和Rt△AFD中，

DE=DF（已证），

AD=AD（公共边），

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）．

∴AE=AF（全等三角形对应边相等）．

在△AEO和△AFO中，

AE=AF（已证），

∠EAO=∠FAO（已知），

AO=AO（公共边），

∴△AEO≌△AFO（SAS）．

∴∠AOE=∠AOF（全等三角形对应角相等）．

∴∠AOE=

∠EOF=90°，

∴AD⊥EF（垂直定义）．

评注设法寻找∠AOE=∠AOF是解决本题的关键．

中考题

例（2002年安徽卷）如图1所示，直线L1，L2，L3表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）．

A．一处B．两处C．三处D．四处

（1）

（2）

解析∵中转站要到三条公路的距离相同，

∴中转站应在L1与L2，L3与L2，L1与L3夹角的平分线上，如图2所示，应有四处，故选D．

答案D

评注解决本例的关键是确定三条直线两两相交的夹角．

13．3同步测试

教材基础知识针对性训练

一、选择题

1．如图1所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）．

A．PD=PEB．OD=OEC．∠DPO=∠EPOD．PD=OD

（1）

（2）（3）

2．如图2所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：

①AD上任意一点到C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AB=

，AD在∠BAC的平分线上，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为（）．

A．2B．1+

C．

D．无法计算

（4）（5）（6）

4．如图4所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是（）．

（1）作射线OC；

（2）在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE；

（3）分别以D，E为圆心，大于

DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

A．

（1）

（2）（3）B．

（2）

（1）（3）C．

（2）（3）

（1）D．（3）

（2）

（1）

二、填空题

1．

（1）若OC为∠AOB的平分线，点P在OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，则PE=________，根据是________________．

（2）如图5所示，若在∠AOB内有一点P，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE=PF，则点P在_______，根据是____________．

2．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离为_______．

3．如图6所示，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，若DE=DF，只需添加一个条件，这个条件是__________．

4．如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为________．

三、解答题

1．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，那么BE与CF相等吗？

为什么？

2．如图所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，判断AM是否平分∠DAB，说明理由．

3．如图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP吗？

为什么？

探究应用拓展性训练

1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区，到公路、铁路的交叉处B点700m．如果你是红方指挥员，请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．

2．（探究题）已知：

在△ABC中，AB=AC．

（1）按照下列要求画出图形：

①作∠BAC的平分线交BC于点D；

②过D作DE⊥AB，垂足为点E；

③过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？

说明理由．

3．（1999年日照卷，2000年天津卷）如图所示，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S．若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP中，正确的是（）．

A．①和③B．②和③C．①和②C．①，②和③

答案:

教材基础知识针对性训练

一、

1．D解析：

∵∠1=∠2，PD⊥OA于E，PE⊥OB于E，∴PD=PE．

又∵OP=OP，∴△OPE≌△OPD．

∴OD=OE，∠DPO=∠EPO．

故A，B，C都正确．

2．D解析：

如答图，设点P为AD上任意一点，连结PB，PC．

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．

又∵AB=AC，AP=AP，

∴△ABP≌△ACP，∴PB=PC．

故①正确．

由角的平分线的性质知②正确．

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD．

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC．

又∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AD⊥BC，故③正确．

由△ABD≌△ACD知，∠B=∠C．

又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠BED=∠CFD=90°，

∴∠BDE=∠CDF．故④正确．

4．C解析：

∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．

又∵AD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．

又∵AC=BC，∴AE=BC，

∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=

．

提示：

设法将DE+BD+EB转成线段AB．

5．C

二、1．

（1）PF角平分线上的点到角的两边的距离相同

（2）∠AOB的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：

如图所示，AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，DM⊥AB于点M．

∴CD=DM，

∴DM=CD=BC-BD=8-5=3．

答案：

3

提示：

利用角的平分线的性质．

3．AD平分∠BAC．

4．解析：

∵OM平分∠AOB，

∴∠AOM=∠BOM=

=20°．

又∵MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，

∴MA=MB．

∴Rt△OAM≌Rt△OBM，

∴∠AMO=∠BMO=70°，

∴△AMN≌△BMN，

∴∠ANM=∠BNM=90°，

∴∠MAB=90°-70°=20°．

答案：

20°

三、1．解析：

BE=CF．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．

又∵BD=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴BE=CF．

提示：

由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△BDE≌△CDF提供了条件．

2．解析：

AM平分∠DAB．

理由：

如答图13-9所示，

作MN⊥AD于点N，

∵DM平分∠CDA，

MC⊥DC于点C，MN⊥AD于点N，

∴MC=MN．

又∵M是BC的中点，∴CM=MB，

∴MN=BM，∴AM平分∠DAB．

3．解析：

可以．

∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB=PC，

∴AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP．

在Rt△ABP和Rt△ACP中，

PB=PC，AP=AP，

∴Rt△ABP≌Rt△ACP，∴AB=AC．

在△ABD与△ACD中，

AB=AC，∠BAP=∠CAP，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠ADB=∠ADC，∴∠BDP=∠CDP．

探究应用拓展性训练

1．如答图所示．

解析：

由题意可知，蓝方指挥部P应在∠MBN的平分线上．

又∵比例尺为1：

20000，∴P离B为3．5cm．

提示：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

2．

（1）解析：

按题意画图，如答图13-11．

（2）可以得到ED=FD，AE=AF，BE=CF，BD=CD．

理由如下：

∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，∴BD=DC．

∵∠1=∠2，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE=DF．

又∵AD=AD，

∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，

∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF．

提示：

正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性质及三角形全等来寻找相等的线段．

3．C解析：

如答图所示，连结AP．

∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，

∴AP平分∠BAC，∴∠1=∠2．

又∵AQ=QP，

∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ∥AR．

在Rt△APR和Rt△APS中，

PR=PS，AP=AP，

∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AR=AS．

而△BRP与△CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．

提示：

本题的突破口是判断出点P在∠BAC的平分线上．