C．q＝r>pD．p＝r>q
【解析】 因为b>a>0，故>.又f（x）＝lnx（x>0）为增函数，所以f>f（），即q>p.又r＝（f（a）＋f（b））＝（lna＋lnb）＝ln＝p.
【答案】 B
2．（2015·四川高考）如果函数f（x）＝（m－2）x2＋（n－8）x＋1（m≥0，n≥0）在区间上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
A．16 B．18C．25 D.
【解析】 ①当m＝2时，∵f（x）在上单调递减，
∴0≤n<8，mn＝2n<16.
②当m≠2时，函数f（x）＝（m－2）x2＋（n－8）x＋1（m≥0，n≥0）的对称轴方程为x＝－.
a．当m>2时，抛物线开口向上，∵f（x）在上单调递减，∴－≥2，即2m＋n≤12.又2m＋n≥2，∴2≤12，∴mn≤18.当2m＝n＝6，即m＝3，n＝6时取等号，∴mn的最大值为18.
b．当m<2时，抛物线开口向下，∵f（x）在上单调递减，∴－≤，即m＋2n≤18，即n≤9－m.又∵0≤m<2，n≥0，∴mn≤9m－m2＝－（m－9）2＋<－（2－9）2＋＝16.
综上所述，mn的最大值为18，故选B.
【答案】 B
3.定义在R上的函数f（x）满足f（3）＝1，f（－2）＝3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y＝f′（x）的图象如图1所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a＋b）≤1，f（－a－2b）≤3，则的取值范围为（ ）
图1
A.∪[3，＋∞）
B.
C．（－∞，3]
D.
【解析】 由y＝f′（x）的图象可知，当x∈（－∞，0）时，y＝f（x）为减函数，
当x∈（0，＋∞）时，y＝f（x）为增函数，所以f（2a＋b）≤1可转化为f（2a＋b）≤f（3），即2a＋b≤3，f（－a－2b）≤3可转化为f（－a－2b）≤f（－2），即－a－2b≥－2，a＋2b≤2，因此实数a，b满足画出所表示的平面区域，如图阴影部分所示，而表示阴影区域内的任意一点（a，b）与点M（－1，－2）连线的斜率，由图可知max＝kMA＝＝3，min＝kMB＝＝，故的取值范围为.故选D.
【答案】 D
4．（2015·临沂二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上为减函数，若f＋f－2f
（1）＞0，则的取值范围是（ ）
A．（e，＋∞）B．[2，e）
C.D.
【解析】 由于ln＝－ln且函数f（x）为偶函数，故f＋f－2f
（1）＝2f－2f
（1）＞0，即f＞f
（1）．又f＝f＞f
（1），所以＜1，即＜＜e.又＝＋，令＝t得g（t）＝t＋，易知函数g（x）在上单调递减，在[1，e）上单调递增，故g（t）min＝g
（1）＝2，g（t）＜g（e）＝e＋，故选D.
【答案】 D
5．已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为．
【解析】 ∵f（x）＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞），
∴Δ＝0，即a2－4b＝0，∴b－＝0，
∴f（x）＝x2＋ax＋a2＝2.
又∵f（x）＜c的解集为（m，m＋6），
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
【答案】 9
6．（2015·云南一检）已知函数f（x）＝lnx－.
（1）求证：
f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增；
（2）若f[x（3x－2）]＜－，求实数x的取值范围．
【解】
（1）证明：
由已知得f（x）的定义域为（0，＋∞）．
∵f（x）＝lnx－，
∴f′（x）＝－＝.
∵x＞0，∴4x2＋3x＋1＞0，x（1＋2x）2＞0，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
（2）∵f（x）＝lnx－，∴f
（1）＝ln1－＝－.
由f[x（3x－2）]＜－得f[x（3x－2）]＜f
（1）．
由
（1）得解得－＜x＜0或＜x＜1，
∴实数x的取值范围为∪.
命题点二 数列与不等式交汇
题型：
选择、解答题
命题指数★★
难度：
中
1.（2015·北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0
D．若a1<0，则（a2－a1）（a2－a3）>0
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝（a1＋a2）＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝（a1＋a3）－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若00，d>0，a2>0，a3>0，∴a－a1a3＝（a1＋d）2－a1（a1＋2d）＝d2>0，∴a2>，故选项C正确；若a1<0，则（a2－a1）（a2－a3）＝d·（－d）＝－d2≤0，故选项D错．
【答案】 C
2．（2015·大连双基测试）数列{an}满足an－an＋1＝an·an＋1（n∈N*），数列{bn}满足bn＝，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6（ ）
A．最大值为99B．为定值99
C．最大值为100D．最大值为200
【解析】 将an－an＋1＝anan＋1两边同时除以anan＋1，可得－＝1，即bn＋1－bn＝1，所以{bn}是公差d＝1的等差数列，其前9项和为＝90，所以b1＋b9＝20，所以b4·b6≤2＝2＝100，当且仅当b4＝b6时等号成立．
【答案】 C
3．（2015·邢台模拟）已知正项等比数列{an}满足S3－3a1－2a2＝0，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值是（ ）
A．9 B.C. D.
【解析】 依题意，设等比数列{an}的公比为q（其中q＞0），则有a3－a2－2a1＝0，－－2＝0，即q2－q－2＝0，（q－2）（q＋1）＝0，又q＞0，因此q＝2.由＝4a1得a·2m＋n－2＝16a＞0，m＋n＝6（其中m，n∈N*），因此①此时＋＝；②此时＋＝；③此时＋＝；④此时＋＝；⑤此时＋＝.综上所述，＋的最小值是，选C.
【答案】 C
4．（2015·湖北八市联考）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
【解】
（1）设公差为d.
由已知得
解得d＝1或d＝0（舍去），∴a1＝2，故an＝n＋1.
（2）∵＝＝－，
∴Tn＝－＋－＋…＋－＝.
∵Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，即≤λ（n＋2）对∀n∈N*恒成立，
∴＝≤＝（当且仅当n＝2时等号成立），
∴λ的最小值为.
5．（2015·山师大附中模拟）数列{an}的通项an是关于x的不等式x2－x＜nx的解集中正整数的个数，f（n）＝＋＋…＋.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）求证：
对n≥2且n∈N*恒有≤f（n）＜1.
【解】
（1）x2－x＜nx等价于x（x－n－1）＜0，解得x∈（0，n＋1）．
其中有正整数n个，于是an＝n.
（2）bn＝＝n·n，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×＋2×2＋…＋n×n，
Sn＝1×2＋2×3＋…＋n×n＋1，
两式相减得
Sn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1
＝1－n－n×n＋1，
故Sn＝2－n－1－n×n.
（3）证明：
f（n）＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＜＋＋…＋＝1.
由f（n）＝＋＋…＋
＝＋＋…＋，
知f（n＋1）＝＋＋…＋＋＋
于是f（n＋1）－f（n）＝＋－＞＋－＝0，
故f（n＋1）＞f（n），
∴当n≥2且n∈N*时f（n）为增函数，∴f（n）≥f
（2）＝.
综上可知，对n≥2且n∈N*恒有≤f（n）＜1.
命题点三 函数与数列交汇
题型：
选择、填空、解答题
命题指数★★
难度：
中、高
1.定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的如下函数：
①f（x）＝x2；②f（x）＝2x；③f（x）＝；④f（x）＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A．①②B．③④
C．①③D．②④
【解析】 不妨令an＝2n.
①因为f（x）＝x2，所以f（an）＝4n.显然{f（2n）}是首项为4，公比为4的等比数列；
②因为f（x）＝2x，所以f（a1）＝f
（2）＝22，f（a2）＝f（4）＝24，
f（a3）＝f（8）＝28，所以＝＝4≠＝＝16，所以{f（an）}不是等比数列；
③因为f（x）＝，所以f（an）＝＝（）n.
显然{f（an）}是首项为，公比为的等比数列；
④因为f（x）＝ln|x|，所以f（an）＝ln2n＝nln2.显然{f（an）}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列．故应选C.
【答案】 C
2．（2015·郑州模拟）已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1）．数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是．
【解析】 ∵{an}是单调递增数列，
∴得
∴4＜a＜8.
【答案】 （4,8）
3．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足＝ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），＋＝，若有穷数列（n∈N*）的前n项和为，则n＝.
【解析】 根据题意得′＝，因为f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
所以′＝＜0，即函数＝ax单调递减，所以0＜a＜1.
又＋＝，即a＋a－1＝，即a＋＝，解得a＝2（舍去）或a＝.所以＝x，
即数列为首项为a1＝，公比q＝的等比数列，
所以Sn＝＝×＝1－n，由1－n＝，得n＝，解得n＝5.
【答案】 5
4．定义函数f（x）＝{x·{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则＋＋…＋＝.
【解析】 由题意，a1＝1，当x∈（n，n＋1]时，{x}＝n＋1，x·{x}∈（n2＋n，n2＋2n＋1]，{x·{x}}的取值依次为n2＋n＋1，n2＋n＋2，…，n2＋2n＋1共n＋1个，即an＋1＝an＋n＋1，由此可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，＝＝2，所以＋＋…＋＝2－.
【答案】 2－
5．（2013·全国卷Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为．
【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得解得
∴nSn＝n2a1＋d＝－3n2＋（n3－n2）＝n3－，∴（nSn）′＝n2－，
令（nSn）′＝0，解得n＝0（舍去）或n＝.
当n＞时，nSn是单调递增的；当0＜n＜时，nSn是单调递减的，故当n＝7时
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