1、全国通用高考推荐高三数学不等式与函数数列交汇专题突破提升练3通用版专题突破提升练(三)不等式与函数、数列的交汇问题命题点一不等式与函数交汇题型:选择、填空、解答题命题指数难度:中、高1.(2015陕西高考)设f(x)ln x,0ab,若pf(),qf,r(f(a)f(b),则下列关系式中正确的是()Aqrp Bprp Dprq【解析】因为ba0,故.又f(x)ln x(x0)为增函数,所以ff(),即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)lnp.【答案】B2(2015四川高考)如果函数f(x)(m2)x2(n8)x1(m0,n0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为()A16 B18
2、 C25D. 【解析】当m2时,f(x)在上单调递减,0n8,mn2n2时,抛物线开口向上,f(x)在上单调递减,2,即2mn12.又2mn2,212,mn18.当2mn6,即m3,n6时取等号,mn的最大值为18. b当m2时,抛物线开口向下,f(x)在上单调递减,即m2n18,即n9m.又0m2,n0,mn9mm2(m9)20,则a2a30B若a1a30,则a1a20C若0a1D若a10 【解析】设等差数列 an的公差为d,若a1a20,a2a3a1da2d(a1a2)2d,由于d正负不确定,因而a2a3符号不确定,故选项A错;若a1a30,a1a2a1a3d(a1a3)d,由于d正负不确
3、定,因而a1a2符号不确定,故选项B错;若0a10,d0,a20,a30,aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20,a2,故选项C正确;若a10,则(a2a1)(a2a3)d(d)d20,故选项D错【答案】C2(2015大连双基测试)数列an满足anan1anan1(nN*),数列bn满足bn,且b1b2b990,则b4b6()A最大值为99 B为定值99C最大值为100 D最大值为200【解析】将anan1anan1两边同时除以anan1,可得1,即bn1bn1,所以bn是公差d1的等差数列,其前9项和为90,所以b1b920,所以b4b622100,当且仅当b4b6时等号成立【答案】C
4、3(2015邢台模拟)已知正项等比数列an满足S33a12a20,若存在两项am,an使得4a1,则的最小值是()A9 B. C.D. 【解析】依题意,设等比数列an的公比为q(其中q0),则有a3a22a10,20,即q2q20,(q2)(q1)0,又q0,因此q2.由4a1得a2mn216a0,mn6(其中m,nN*),因此此时;此时;此时;此时;此时.综上所述,的最小值是,选C.【答案】C4(2015湖北八市联考)已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S414,且a1,a3,a7成等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn为数列的前n项和,若Tnan1对nN*恒成立,求实数的最小
5、值【解】(1)设公差为d.由已知得解得d1或d0(舍去),a12,故ann1.(2),Tn.Tnan1对nN*恒成立,即(n2)对nN*恒成立,(当且仅当n2时等号成立),的最小值为.5(2015山师大附中模拟)数列an的通项an是关于x的不等式x2xnx的解集中正整数的个数,f(n).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn,求数列bn的前n项和Sn;(3)求证:对n2且nN*恒有f(n)1.【解】(1)x2xnx等价于x(xn1)0,解得x(0,n1)其中有正整数n个,于是ann.(2)bnnn,Snb1b2bn122nn,Sn1223nn1,两式相减得Sn23nnn11nnn1,故Sn2
6、n1nn.(3)证明:f(n)1.由f(n),知f(n1)于是f(n1)f(n)0,故f(n1)f(n),当n2且nN*时f(n)为增函数,f(n)f(2).综上可知,对n2且nN*恒有f(n)1.命题点三函数与数列交汇题型:选择、填空、解答题命题指数难度:中、高1.定义在(,0)(0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(,0)(0,)上的如下函数:f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A BC D【解析】不妨令an2n.因为f(x)x2,所
7、以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4,公比为4的等比数列;因为f(x)2x,所以f(a1)f(2)22,f(a2)f(4)24,f(a3)f(8)28,所以416,所以f(an)不是等比数列;因为f(x),所以f(an)()n.显然f(an)是首项为,公比为的等比数列;因为f(x)ln|x|,所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2,公差为ln 2的等差数列故应选C.【答案】C2(2015郑州模拟)已知函数f(x)(a0,a1)数列an满足anf(n)(nN*),且an是单调递增数列,则实数a的取值范围是【解析】an是单调递增数列,得4a8.【答案】(4,8)3
8、已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足ax,且f(x)g(x)f(x)g(x),若有穷数列(nN*)的前n项和为,则n.【解析】根据题意得,因为f(x)g(x)f(x)g(x),所以0,即函数ax单调递减,所以0a1.又,即aa1,即a,解得a2(舍去)或a.所以x,即数列为首项为a1,公比q的等比数列,所以Sn1n,由1n,得n,解得n5.【答案】54定义函数f(x)xx,其中x表示不小于x的最小整数,如1.42,2.32.当x(0,n(nN*)时,函数f(x)的值域为An,记集合An中元素的个数为an,则.【解析】由题意,a11,当x(n,n1时,xn1,xx(n2n,n22n1,xx的取值依次为n2n1,n2n2,n22n1共n1个,即an1ann1,由此可得an123n,2,所以2.【答案】25(2013全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为【解析】设等差数列an的首项为a1,公差为d,由等差数列前n项和可得解得nSnn2a1d3n2(n3n2)n3,(nSn)n2,令(nSn)0,解得n0(舍去)或n.当n时,nSn是单调递增的;当0n时,nSn是单调递减的,故当n7时
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