实际问题与一元一次方程教学设计.docx
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实际问题与一元一次方程教学设计
3．4实际问题与一元一次方程
第1课时产品配套问题和工程问题
教学目标
1．以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题；（重点，难点）
2．体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识；
（重点）
3．培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．（重点）
教学过程
一、情境导入
近来我们市要修一条公路，公路大约长120千米，今天一早，有两个工程队找到了局长，甲工程队说：
“包给我们，保证30天完成”；乙工程队说：
“包给我们，保证20天就完成”．如果你是局长，会怎么办呢？
二、合作探究
探究点一：
产品配套问题
例1某车间有工人660名，生产一种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个．如果你是这个车间的车间主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
解析：
本题找出等量关系为：
生产的螺栓数X2=生产的螺母数，把相关的代数式代入即可列方程．
解：
设分配x人生产螺栓，（660－x）人生产螺母，
依题意得14xX2=（660－x）X20，
解得x=275，
/.660—x=385.
答：
应分配385人生产螺母，275人生产螺栓．
方法总结：
此题考查了一元一次方程的应用，得到螺栓和螺母数量的等量关系是解决本题的关键．
探究点二：
工程问题
例2一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解析：
首先设乙队还需x天才能完成，由题意可得等量关系：
甲队干三天的工作量+乙队干（x+3）天的工作量=1,根据等量关系列出方程，求解即可.
解：
设乙队还需x天才能完成，由题意得
X3＋（3＋x）=1，
解得x=13.
答：
乙队还需13天才能完成．
方法总结：
找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：
工作效率x工作时间=工作总量，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为
1.
三、板书设计
1．配套问题：
找出等量关系
2．工程问题：
（1）工程总量=效率X时间.
（2）各部分的工程和=工作总量=1.
教学反思
本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关.然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性.让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣.
第2课时销售中的盈亏
教学目标
1．理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关
系；（重点）
2.根据“实际售价=进价+利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售
有关的实际问题．（难点）
教学过程
一、情境导入
1.展现日常生活中的销售实例，学生回忆知识.打折后的商品售价=商品的原标价X折扣数.
2.展示常用数量关系：
①利润=售价—进价；②利润率=利润/进价X100%
③利润=进价X利润率；④售价=进价十利润=进价十进价X利润率.
二、合作探究
探究点一：
打折销售问题
例1某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折（即原价的
90%），并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价.
解析：
实际售价是（900X90%—40）元，设该商品进价为每件x元，根据实际售价（不同表示法）相等列方程求解.
解：
设该商品的进价为每件x元，依题意，得900X0.9—40=10%（+X,解得x
答：
该商品的进价为700元.
方法总结：
（1）在解决实际问题时，要认真审题，如不打折时，售价=标价，打折时，售价=标价X打折率；
（2）在以上公式中，只要知道其中的两个量，便能求出另一个量.
探究点二：
商品利润
例2某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40kg到菜
市场去卖，黄瓜和土豆这天的批发价和零售价（单位：
元/kg）如下表所示：
品名
批发价
零售价
黄瓜
2.4
4
十豆
3
5
（1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克?
（2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱?
解析：
（1）设他当天购进黄瓜x千克，则土豆为（40—x）千克，根据黄瓜的批发价是2.4元，土豆批发价是3元，共花了114元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；
（2）根据
（1）得出的黄瓜和土豆的千克数，再求出每千克黄瓜和土豆赚的钱数,
即可求出总的赚的钱数．
2.4x+
解：
（1）设他当天购进黄瓜x千克，则土豆为（40—X）千克，根据题意得
3（40—x）=114，解得x=10，则土豆为40—10=30（千克）.
答：
他当天购进黄瓜10千克，土豆30千克；
（2）根据题意得（4—2.4）X10+（5—3）X30=16+60=76（元）.
答：
黄瓜和土豆全部卖完，他能赚76元.
方法总结：
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.用到的知识点是单价X数量=总价，售价—进价=利润.
三、板书设计
销售问题中的两个基本关系式：
（1）利润=售价—进价；
（2）利润率=X100%.
（1）式中等式左边的“利润”若为正，就是盈利；若为负，就是亏损.
（2）式还可以变形为利润率X进价=售价—进价.
教学反思
本节课从和我们的生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣.根据“实际售价=进价+利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题•审清题意，找出等量关系是解决问题的关键.另外，商品经济问题的题型很多，让学生触类旁通，达到举一反三，灵活的运用有关的公式解决实际问题，提高学生的解题能力.
第3课时球赛积分表问题
教学目标
1•学会解决信息图表问题的方法；（难点）
2.经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数
学模型.（重点，难点）
教学过程
一、情境导入
某次男篮联赛常规赛最终积分榜:
队员
比赛场
次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
冋题1:
从这张表格中，你能得到什么信息？
问题2:
这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？
）你是怎样知
问题3:
请你说出积分规则.（既胜一场得几分？
负一场得几分?
道这个比赛的积分规则的？
二、合作探究
探究点一：
比赛积分问题
【类型一】球类比赛中的积分问题
例1下面是某次篮球联赛积分表，请同学们认真观察后回答问题
队名
比赛
场次）
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
12
4
28
C
16
10
6
26
D
16
10
6
26
E
16
8
8
24
F
16
8
8
24
G
16
4
12
20
H
16
0
16
16
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
并说明理由.
解析：
（1）如果一个队胜x场，根据比赛场次为16次，从而可得出负（16—x）
场，再根据积分=胜场积分+负场的积分即可求解;
（2）根据等量关系：
某队的胜场总积分能等于它的负场总积分得出方程，解出x
的值后结合实际进行判断即可.
解：
（1）由H队得分可知，负一场积1分，再根据表中其他队比分可知胜一场积
2分，如果一个队胜x场，则负（16—x）场，胜场积分为2x分，负场积分为（16—x）分，总积分为2x+（16—x）=（16+x）分.故总积分与胜、负场数之间的数量关系为：
2x+（16—x）=16+x;
（2）设某队胜x场时胜场总积分等于它的负场总积分.根据题意得2x=16—x，
3x=16，x=，不是正整数，则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分.
方法总结：
解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分.
【类型二】学习竞赛中的积分问题
例2某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答要扣3分.某选手在这次竞赛中共得116分，那么他答对几道题？
解析：
设选手答对了x道题，则有（20—x）道题答错或不答，根据答对题目的得
分减去答错或不答题目的扣分是116分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可.
解：
设答对了x道题，则有（20—x）道题答错或不答，由题意得：
8x—（20—x）X3=116，8x+3x=116+60，11x=176，x=16.
x，另一个未知数
答：
他答对16道题.
方法总结：
解这类题关键是找准相等关系，设一个未知数为
用含x的式子来表示，进而列方程求解.
探究点二：
其他图表类问题
例3有一批货物需要从A地运往B地，货主准备租用甲、乙两种货车，已知过
去两次租用这两种货车运货情况如下表.现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一
次刚好运完这批货物，如果按每吨付50元计算，问货主应付运费多少元？
次数
第一次
第二次
甲种货车辆数
1
5
乙种货车辆数
3
6
合计运货吨数
11.5
35
解析：
设乙种货车每辆每次运x吨，则甲种货车每辆每次运（11.5-3x）吨,根据现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，如果按每吨付50元计算可列方程求解.
解：
设乙种货车每辆每次运x吨，则甲种货车每辆每次运（11.5-3x）吨，6x+
5X（11.5—3x）=35,x=2.5,11.5—3x=4（吨），3X4+5X2.5=24.5（吨）.50X24.5=1225（元）.
答：
货主应付运费1225元.
方法总结：
解决本题的关键是读懂表格，找到相应的等量关系列出方程．
三、板书设计
1．球类比赛中的积分问题
2．表格信息类问题
教学反思
本节课主要是借球赛积分表问题学习数学知识的应用．由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，因为其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难点，教师要恰当的引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的主要相等关系，但教师不要代替学生的思考．要鼓励学生自主探究．
第4课时电话计费问题
教学目标
1．体验建立方程模型解决问题的一般过程；（重点）
2．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．
教学过程
一、情境导入
在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的资费方式成为了我们所关心而且具有实际意义的问题，你知道你的家人都选择了哪种资费吗？
二、合作探究
探究点一：
方案选择性问题
例1某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：
买一套西装送一条领带；
方案二：
西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x>20）.
（1）若该客户按方案一购买，需付款元．若该客户按方案二购买，需付
款；（用含x的代数式表示）
（2）若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
试写出你的购买方法.
解析：
（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x=30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方
案更合算；
（3）根据题意可以得到先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二
购买10条领带更合算．
解：
（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（X>20）.
方案一费用：
200x＋16000，
方案二费用：
180x＋18000；
（2）当x=30时，方案一：
200X30+16000=22000（元），
方案二：
180X30+18000=23400（元）,
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带.
则20000＋200X10X90%=21800（元）.
方法总结：
在解答方案选择性问题时，应先分析讨论每一种方案，然后根据要求选择合适的方案.
例2某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.（A）计时制：
0.05
元每分钟；（B）包月制：
60元每月（限一部个人住宅电话上网）.此外，两种上网方式都得加收通信费0.02元每分钟.
（1）某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）你认为采用哪种方式比较合算？
解析：
（1）（A）首先统一时间单位；（E）包月制：
60元+每分钟0.02元X时间=
花费.
（2）应先列方程计算出两种收费方式相同时，用户的上网时间，再分段讨论，比较在各个区间哪种方案合算.
解：
⑴采用（A计时制：
（0.05+0.02）X60x=4.2x，采用（B）包月制：
60+0.02X60x=60+1.2x;
（2）由4.2x=60+1.2X，得x=20.又由题意可知，上网时间越长，采用（B）越合算.所以当020时，采用（B）方式合算.
方法总结：
解决此问题的关键是分段讨论.
探究点二：
分段计费问题
例3为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次
每户每月用电数
（度）
执行电价（元/度）
第一档
小于等于200
0.55
第二档
大于200小于400
0.6
第三档
大于等于400
0.85
例如：
一户居民七月份用电420度，则需缴电费420X0.85=357（元）.
某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度.问该户居民五、六月份各用电多少度？
解析：
某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度冬200度，6月份用电（500—X）度，当5月份用电量为x度〉200度，六月份用电量为（500—x）度，分别建立方程求出其解即可.
解：
当5月份用电量为x度冬200度，6月份用电（500—x）度，由题意得
0.55x+0.6X（500—x）=290.5，
解得x=190，
•••6月份用电500—x=310（度）.
当5月份用电量为x度〉200度，六月份用电量为（500—x）度〉200度，由题意得
0.6x+0.6X（500—x）=290.5，
方程无解，
•该情况不符合题意.
答：
该户居民五、六月份分别用电190度、310度．
方法总结：
解答此类题目要先计算出分界点处需要交的电费，这样有助我们进
一步判断．
三、板书设计
1．方案选择性问题
2．分段计费问题
教学反思
本节课主要通过教师层层设问，由浅入深，循序渐进，引导学生对问题的逐步探究，最终得到电话计费问题的解决．首先从熟悉的实际生活入手，切入课题，让学生感受生活中处处有数学，数学来源于实践，也服务于实践．本节教学要以学生为主体，以探究为主线，采取合作交流的探究方式进行学习，使学生的知识得到巩固的同时，生活经验、学习方法等也得到提高．
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