动态规划的技巧阶段的划分和状态的表示.docx

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动态规划的技巧阶段的划分和状态的表示

动态规划的技巧——阶段的划分和状态的表示

动态规划的技巧——阶段的划分和状态的表示

在动态规划的设计过程中，阶段的划分和状态的表示是非常重要的两步，这两步会直接影响该问题的计算复杂性，有时候阶段划分或状态表示的不合理还会使得动态规划法不适用。

[例9] 街道问题

在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。

这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。

通常，书上的解答是这样的：

按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量xk表示当前处于这一阶段上的哪一点。

这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。

用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：

（这里的row是地图竖直方向的行数）

我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。

相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。

因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：

（这里Distance表示相邻两点间的边长）

这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。

如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的"状态转移"就不全是在两个阶段之间进行的了。

也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。

但是，如果我们把题目扩展一下：

在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。

这时，再用这种"简单"的方法就不太好办了。

如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径"不能重叠"的问题。

而我们回到原先"标准"的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。

即用xk=（ak,bk）分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=（xk,yk）分别表示两条路径的行走方向。

状态转移时将两条路径分别考虑

在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：

从这个例子可以看出，合理地划分阶段和选择状态可以给解题带来方便。

[例10]LITTLESHOPOFFLOWERS（IOI’99）

PROBLEM

Youwanttoarrangethewindowofyourflowershopinamostpleasantway.Youhave F bunchesofflowers,eachbeingofadifferentkind,andatleastasmanyvasesorderedinarow.Thevasesaregluedontotheshelfandarenumberedconsecutively1through V,where V isthenumberofvases,fromlefttorightsothatthevase1istheleftmost,andthevase V istherightmostvase.Thebunchesaremoveableandareuniquelyidentifiedbyintegersbetween1and F.Theseid-numbershaveasignificance:

Theydeterminetherequiredorderofappearanceoftheflowerbunchesintherowofvasessothatthebunch imustbeinavasetotheleftofthevasecontainingbunch j whenever i < j.Suppose,forexample,youhaveabunchofazaleas（id-number=1）,abunchofbegonias（id-number=2）andabunchofcarnations（id-number=3）.Now,allthebunchesmustbeputintothevaseskeepingtheirid-numbersinorder.Thebunchofazaleasmustbeinavasetotheleftofbegonias,andthebunchofbegoniasmustbeinavasetotheleftofcarnations.Iftherearemorevasesthanbunchesofflowersthentheexcesswillbeleftempty.Avasecanholdonlyonebunchofflowers.

Eachvasehasadistinctcharacteristic（justlikeflowersdo）.Hence,puttingabunchofflowersinavaseresultsinacertainaestheticvalue,expressedbyaninteger.Theaestheticvaluesarepresentedinatableasshownbelow.Leavingavaseemptyhasanaestheticvalueof0.

VASES

1

2

3

4

5

Bunches

1（azaleas）

7

23

-5

-24

16

2（begonias）

5

21

-4

10

23

3（carnations）

-21

5

-4

-20

20

Accordingtothetable,azaleas,forexample,wouldlookgreatinvase2,buttheywouldlookawfulinvase4.

Toachievethemostpleasanteffectyouhavetomaximizethesumofaestheticvaluesforthearrangementwhilekeepingtherequiredorderingoftheflowers.Ifmorethanonearrangementhasthemaximalsumvalue,anyoneofthemwillbeacceptable.Youhavetoproduceexactlyonearrangement.

ASSUMPTIONS

∙1<= F <=100where F isthenumberofthebunchesofflowers.Thebunchesarenumbered1through F.

∙F <= V <=100where V isthenumberofvases.

∙-50<= Aij <=50where Aij istheaestheticvalueobtainedbyputtingtheflowerbunch i intothevase j.

INPUT

Theinputisatextfilenamed flower.inp.

∙Thefirstlinecontainstwonumbers:

 F, V.

∙Thefollowing F lines:

Eachoftheselinescontains V integers,sothat Aij isgivenasthe jth numberonthe（i+1）st lineoftheinputfile.

OUTPUT

Theoutputmustbeatextfilenamed flower.out consistingoftwolines:

∙Thefirstlinewillcontainthesumofaestheticvaluesforyourarrangement.

∙Thesecondlinemustpresentthearrangementasalistof F numbers,sothatthe k’thnumberonthislineidentifiesthevaseinwhichthebunch k isput.

EXAMPLE

flower.inp:

35

723-5-2416

521-41023

-215-4-2020

flower.out:

53

245

EVALUATION

∙Yourprogramwillbeallowedtorun2seconds.

∙Nopartialcreditcanbeobtainedforatestcase.

本题虽然是IOI’99中较为简单的一题，但其中大有文章可作。

说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。

但是，如何动态规划呢？

如何划分阶段，又如何选择状态呢？

<方法1>

以花束的编号来划分阶段。

在这里，第k阶段布置第k束花，共有F束花，有F+1个阶段，增加第F+1阶段是为了计算的方便；状态变量xk表示第k束花所在的花瓶。

而对于每一个状态xk，决策uk就是第k+1束花放置的花瓶号；最优指标函数fk（xk）表示从第k束花到第n束花所得到的最大美学值；A（i,j）是花束i插在花瓶j中的美学值,V是花瓶总数,F是花的总数。

状态转移方程为 

规划方程为

边界条件为：

事实上这是一个虚拟的边界。

最后要求的最大美学价值是

<方法2>

方法1的规划方程中的允许决策空间：

xk+1≤uk≤V-（F-k）+1比较麻烦，因此有待改进。

还是以花束的编号来划分阶段，第k阶段布置第k束花；状态变量xk表示第k束花所在的花瓶；注意，这里我们考虑倒过来布置花瓶，即从第F束花开始布置到第1束花。

于是状态变量uk表示第k-1束花所在的花瓶；最优指标fk（xk）表示从第一束花到第k束花所获得的美学价值；A（i,j）是花束i插在花瓶j中的美学值,V是花瓶总数,F是花的总数。

则状态转移方程为：

规划方程为：

增加的虚拟边界条件为：

最后要求的最大美学价值是：

可以看出，这种方法实质上和方法1没有区别，但是允许决策空间的表示变得简单了。

<方法3>

以花瓶的数目来划分阶段，第k个阶段决定花瓶k中是否放花；状态变量xk表示前k个花瓶中放了多少花；而对于任意一个状态xk，决策就是第xk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。

最优指标函数fk（xk）表示前k个花瓶中插了xk束花，所能取得的最大美学值。

注意，这里仍然是倒过来考虑。

状态转移方程为

规划方程为

边界条件为

三种不同的方法都成功地解决了问题，只不过因为阶段的划分不同，状态的表示不同，决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。

这个例子具有很大的普遍性。

有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。

有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。

所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。

对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。

从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。