高中数学必修四教案.docx

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高中数学必修四教案

1.1．1任意角

教学目标

（一）知识与技能目标

理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念.

（二）过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．

教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写．

教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．

教学过程

一、引入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

二、新课：

1．角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

②角的名称：

③角的分类：

负角：

按顺时针方向旋转形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；

⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．

⑤练习：

请说出角α、β、γ各是多少度?

2．象限角的概念：

①定义：

若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；

答：

分别为1、2、3、4、1、2象限角．

3．探究：

教材P3面

终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+k·360°，

k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．

注意：

⑴k∈Z

⑵α是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷角α+k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．

答：

⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；

例4．写出终边在y轴上的角的集合（用0°到360°的角表示）．

解:

{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．

例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．

4．课堂小结

①角的定义；

②角的分类：

负角：

按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．

5．课后作业：

①阅读教材P2-P5；　　②教材P5练习第1-5题；　　③教材P.9习题1.1第1、2、3题

思考题：

已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？

解：

角属于第三象限，

k·360°+180°＜α＜k·360°+270°（k∈Z）

因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°（k∈Z）

即（2k+1）360°＜2α＜（2k+1）360°+180°（k∈Z）

故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．

又k·180°+90°＜＜k·180°+135°（k∈Z）．

当k为偶数时，令k=2n（n∈Z），则n·360°+90°＜＜n·360°+135°（n∈Z），

此时，属于第二象限角

当k为奇数时，令k=2n+1（n∈Z），则n·360°+270°＜＜n·360°+315°（n∈Z），

此时，属于第四象限角

因此属于第二或第四象限角．

教学后记

1.1.2弧度制

（一）

教学目标

1．知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．

2．过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问

教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系．

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?

规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

二、新课：

1．引　入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

2．定义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？

与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳：

弧度制的性质：

①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为

③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．

⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=

4．角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

；；；．

②将弧度化为角度：

；；；．

5．常规写法：

①用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,不必写成小数．

②弧度与角度不能混用．

6．特殊角的弧度

角度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

360°

弧度

0

7．弧长公式

弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积．

例1．把67°30＇化成弧度．

例2．把化成度．

例3．计算：

；．

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：

；．

例5．将下列各角化成2kπ+α（k∈Z,0≤α＜2π）的形式,并确定其所在的象限．

；．

解:

（1）

而是第三象限的角,是第三象限角.

（2）是第二象限角.

证法一:

∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,

∴扇形的圆心角大小为rad,∴扇形面积．

证法二:

设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴．

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．

7．课堂小结①什么叫1弧度角?

②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．

8．课后作业：

教学后记

4-1.2.1任意角的三角函数（三）

教学目的：

知识目标：

1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：

掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

教学重点：

正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：

正弦、余弦、正切线的利用。

教学过程：

一、复习引入：

1.三角函数的定义

2.诱导公式

练习1.D

练习2.B

练习3.C

二、讲解新课：

当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：

与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：

带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，

过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延

长线交与点.

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅳ）

（Ⅲ）

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

，，

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

（1）三条有向线段的位置：

正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：

正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：

三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的

为负值。

（4）三条有向线段的书写：

有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）；

（2）；（3）；（4）．

解：

图略。

例2.

例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．

答案：

（1）；

（2）；

三、巩固与练习：

P17面练习

四、小结：

本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1与2与

解：

如图可知：

tantan

例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角

1sin≥2tan

解：

12

30≤≤150

3090或210270

补充：

1．利用余弦线比较的大小；

2．若，则比较、、的大小；

3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：

（1）；

（2）；（3）．

教学后记

4-1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：

知识目标：

1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标：

牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；

教学重点：

同角三角函数的基本关系式

教学难点：

三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

教学过程：

一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为

，那么：

，，，

2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？

3．背景：

如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；

4．问题：

由于α的三角函数都是由x、y、r表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

（板书课题：

同角的三角函数的基本关系）

1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系：

（2）平方关系：

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

，，等。

2．例题分析：

一、求值问题

例1．

（1）已知，并且是第二象限角，求．

（2）已知，求．

解：

（1）∵，∴

又∵是第二象限角，∴，即有，从而

，

（2）∵，∴，

又∵，∴在第二或三象限角。

当在第二象限时，即有，从而，；

当在第四象限时，即有，从而，．

总结：

1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。

在求值中，确定