秋季新版苏科版九年级数学上学期13一元二次方程的根与系数的关系同步练习5.docx

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秋季新版苏科版九年级数学上学期13一元二次方程的根与系数的关系同步练习5

一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题（共11小题）

1．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：

①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0

3．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A．﹣2B．2C．4D．﹣3

4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（　　）

A．6B．8C．10D．12

6．设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（　　）

A．19B．25C．31D．30

7．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）

A．4B．﹣4C．3D．﹣3

8．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣16D．16

9．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（　　）

A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0

10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（　　）

A．﹣4B．﹣1C．1D．4

11．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）

A．10B．9C．7D．5

二、填空题（共18小题）

12．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　　　　　　．

13．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=　　　　　　．

14．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=　　　　　　．

15．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　　　　　　．

16．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　　　　　　．

17．已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是　　　　　　．

18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　　　　　　（写出所有正确说法的序号）

①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．

②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；

③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

19．已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于　　　　　　．

20．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　　　　　　．

21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为　　　　　　．

22．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　　　　　　．

23．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　　　　　　，m的值是　　　　　　．

24．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为　　　　　　．

25．已知x=4是一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根，则另一个根为　　　　　　．

26．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　　　　　　．

27．）若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则+=　　　　　　．

28．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2=　　　　　　．

29．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=　　　　　　．

三、解答题（共1小题）

30．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．

2016年苏科新版九年级数学上册同步测试：

1.3一元二次方程的根与系数的关系

参考答案与试题解析

一、选择题（共11小题）

1．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：

①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【专题】压轴题．

【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．

【解答】解：

①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，

y1+y2=﹣2n＜0，

x1+x2=﹣2m＜0，

这两个方程的根都为负根，①正确；

②由根判别式有：

△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，

∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，

∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，

m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，

（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；

③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，

由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，

同理可得：

2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结．

2．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．

【解答】解：

以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，

故选：

A．

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0是具体点关键．

3．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A．﹣2B．2C．4D．﹣3

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．

【解答】解：

设一元二次方程的另一根为x1，

则根据一元二次方程根与系数的关系，

得﹣1+x1=﹣3，

解得：

x1=﹣2．

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，

∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，

解得：

m=﹣2，n=﹣8，

∴m+n=﹣10，

故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．

5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（　　）

A．6B．8C．10D．12

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．

【解答】解：

∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，

∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

6．设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（　　）

A．19B．25C．31D．30

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．

【解答】解：

∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，

∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

7．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）

A．4B．﹣4C．3D．﹣3

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】根据根与系数的关系求解．

【解答】解：

x1•x2=﹣3．

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若二次项系数不为1，则常用以下关系：

x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

8．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣16D．16

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．

【解答】解：

∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，

∴x1+x2=﹣10．

故选：

A．

【点评】此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：

x1+x2=﹣，x1x2=．

9．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（　　）

A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0

【考点】根与系数的关系．

【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．

【解答】解：

两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．

A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；

B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；

C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；

D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，

故选：

B．

【点评】验算时要注意方程中各项系数的正负．

10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（　　）

A．﹣4B．﹣1C．1D．4

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】直接根据根与系数的关系求解．

【解答】解：

根据韦达定理得x1•x2=1．

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

11．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）

A．10B．9C．7D．5

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．

【解答】解：

∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，

∴α+β=2，αβ=﹣3，

∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

二、填空题（共18小题）

12．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　0　．

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，

∴m+n=﹣1，m2+m=1，

则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，

故答案为：

0

【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

13．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=　25　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，

∴m+n=4，mn=﹣3，

则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．

故答案为：

25．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

14．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=　2026　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：

m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．

【解答】解：

由题意可知：

m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，

所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，

则根据根与系数的关系可知：

m+n=1，mn=﹣3，

又n2=n+3，

则2n2﹣mn+2m+2015

=2（n+3）﹣mn+2m+2015

=2n+6﹣mn+2m+2015

=2（m+n）﹣mn+2021

=2×1﹣（﹣3）+2021

=2+3+2021

=2026．

故答案为：

2026．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．

15．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　2　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．

【解答】解：

∵x2﹣6x+k=0的两个解分别为x1、x2，

∴x1+x2=6，x1x2=k，

+===3，

解得：

k=2，

故答案为：

2．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．

16．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　3　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，

所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=3．

故答案为3．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

17．已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是　1　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．

【解答】解：

设方程的另一个根是x2，则：

3+x2=4，

解得x=1，

故另一个根是1．

故答案为1．

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．

18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　②③　（写出所有正确说法的序号）

①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．

②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；

③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

【考点】根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】①解方程x2﹣x﹣2=0得：

x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0或4m+n=0于是得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：

x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴

得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．

【解答】解：

①解方程x2﹣x﹣2=0得：

x1=2，x2=﹣1，

∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；

②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，

∴=﹣1，或=﹣4，

∴m+n=0，4m+n=0，

∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；

③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，

∴pq=2，

解方程px2+3x+q=0得：

x1=﹣，x2=﹣，

∴x2=2x1，故③正确；

④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

∴设x1=2x2，

∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴抛物线的对称轴x===，

∴x1+x2=5，

∴x2+2x2=5，

∴x2=，故④错误．

故答案为：

②③．

【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．

19．已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于　﹣2　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可．

【解答】解：

∵方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，

∴x1+x2=﹣=﹣2，

故答案为：

﹣2．

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键．

20．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　16　．

【考点】根与系数的关系；矩形的性质．

【分析】设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两个根，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．

【解答】解：

设矩形的长和宽分别为x、y，

根据题意得x+y=8；

所以矩形的周长=2（x+y）=16．

故答案为：

16．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了矩形的性质．

21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为　﹣1或﹣3　．

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．

【解答】解：

∵这个方程的两个实数根为x1、x2，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1，

而x12+x22=4，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，

∴（m+3）2﹣2m﹣2=4，

∴m2+6m+9﹣2m﹣6=0，

m2+4m+3=0，

∴m=﹣1或﹣3，

故答案为：

﹣1或﹣3

【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．

22．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　﹣　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由m≠n时，得到m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．

【解答】解：

∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．

∴原式====﹣，

故答案为：

﹣．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

23．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　3　，m的值是　﹣4　．

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．

【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．

【解答】解：

设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，

解得：

m=﹣4，a=3．

故答案是：

3，﹣4．

【点评】本题考查了一元