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概率论论文

概率论与数理统计总结（1-5章节）

第一章&第二章概率论引论&条件概率

本章知识点:

1.随机事件及其运算（随机试验,随机事件与样本空间,事件之间的关系及其运算）

2.概率的定义、性质及其运算（频率,概率的统计定义,古典概率,概率的公理化定义,概率的性质）

3.条件概率及三个重要公式（乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式）

4.事件的独立性及贝努里（Bernoulli）概型

理解重点:

1、理解随机事件的概念,了解样本空间的概念,掌握事件的关系与基本运算;

2、理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性,理解概率的公理化定义与概率的其它性质;

3、理解古典概率的定义,掌握古典概率的计算,了解几何概率的定义及计算;

4、掌握概率的基本性质与应用这些性质进行概率计算;

5、理解条件概率的概念,熟练掌握条件概率的计算,熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算;

6、理解事件的独立性概念,掌握应用事件独立性进行概率计算,理解贝努利试验的概念,熟练掌握二项概率公式（贝努利概型）及其应用。

第一节随机事件

一、概率论序言

二、随机试验与随机事件

（一）随机试验

1.试验可在相同条件下重复进行;

2.每次试验的可能结果不止一个,而究竟会出现哪一个结果,在试验前不能准确地预言;

3.试验所有可能结果在试验前就是明确（已知）的,而每次试验必有其中的一个结果出现,并且也仅有一个结果出现。

满足上述三个特性的试验,叫做随机试验,简称试验,并用字母E等表示。

（二）随机事件

随机试验的结果称为随机事件,简称事件。

1.必然事件:

在试验中一定出现的结果,记作Ω;

2.不可能事件:

在试验中一定不会出现的结果,记作Φ;

3.随机事件:

在试验中可能出现也可能不出现的结果,常用大写拉丁字母A、B、C…表示;

4.基本事件（样本点）:

试验最基本的结果,记作ω;

5.样本空间（基本事件空间）:

所有基本事件的集合,常用Ω表示;样本空间Ω中的元素就是随机试验的可能结果。

样本空间的任一子集称作随机事件。

在一次试验中,当且仅当子集A中的一个样本点出现时,称事件A发生。

显然Ω为必然事件,Φ为不可能事件。

三、随机事件间的关系与运算

（一）随机事件间的关系

1.包含:

若事件A发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,或称A就是B的子事件,记作。

A⊂B,或B⊃A。

2.相等:

若B⊂A且A⊃B,则称事件A与B相等,记作A=B。

其直观意义就是事件A与B的样本点完全相同。

（二）随机事件的运算

1.事件的与（并）

若事件A与事件B至少有一个发生,则称这样的事件为事件A与B的与事件,记作B∪A或B+A。

事件B∪A就是属于A或属于B的样本点组成的集合。

2.事件的差

若事件A发生而事件B不发生,则称这样的事件为事件A与事件B的差,记作A-B。

3.事件的积（交）

若事件A与事件B同时发生,则称这样的事件为事件A与事件B的积,记作AB或A∩B。

4、互不相容事件（或互斥事件）

若事件A与事件B不能同时发生,即Φ=AB（即A与B同时发生就是不可能事件）,则称事件

A与B就是互不相容（互）事件。

其直观意义就是事件A与B没有公共样本点。

5.对立事件（或互逆事件）

在每次试验中,若事件A与事件B必有一个发生,且仅有一个发生,则称事件A与B为对立

事件或互为逆事件。

即有:

Φ=AB,且Ω=B+A。

事件A的对立事件记为A。

6.完备事件组:

若事件A1,A2··An两两互不相容,且每次试验必出现且只出现一个,则称A1,A2··An构成一个完备事件组。

完备事件组中事件个数可以就是有限个,也可以就是可数个。

（三）随机事件的运算规律

对于任意事件A,B,C有:

1.交换律:

A+B=B+A;AB=BA

2.结合律:

A+B+C=A+（B+C）=（A+B）+C;ABC=A（BC）=（AB）C

3.分配律:

A（B+C）=AB+AC;A（B-C）=AB-AC

4.对偶律（德摩根律）:

交换律、结合律、分配律、对偶律都可推广到任意多个事件的情形。

第二节概率的定义

一、概率的统计定义

（一）频率的稳定性

考虑在相同条件下进行的S轮试验,事件A在各轮试验中的频率形成一个数列M1/N1,M2/N2```Ms/Ns、

当各轮试验次数N1,N2```Ns充分大时,在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们某个平均值相差甚微、

（二）概率的统计定义

在实际中,当概率不易求出时,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值,这种确定概率的方法称为频率方法。

二、概率的古典定义

（一）古典概型

若一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型

随机试验（或称古典概型）。

（二）古典概率定义

对于古典概型试验中的事件A,其概率为:

样本空间中样本数

中包含的样本点数

（三）古典概型中事件概率的计算

1.一次抽取试验中事件概率的计算

2.不放回试验中事件概率的计算

3.有放回试验中事件概率的计算

三、概率的公理化定义与性质

（一）概率的公理化定义

公理1:

任一事件的概率介于0与1之间

公理2:

样本事件空间的概率为1

公理3:

若可列个事件A1,A2```An两两互不相容,则与事件的概率等于各事件的概率之与

这里事件个数可以就是有限或无限的、

（二）概率的性质

性质1:

对任一事件A,有

性质2:

不可能事件的概率为0,即P（Φ）=0

性质3:

设Ａ、B就是两个事件,若B⊂A,则有

P（A）≤P（B）,P（B-A）=P（B）-P（A）、

性质4:

概率具有有限可加性,即若A1,A2```An两两互斥,则

性质5:

对任意两个事件A、B,

第三节条件概率与全概公式

一、条件概率

（一）条件概率的概念

在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息（条件）下求事件的概率、如在事件B发生的

条件下求事件A发生的概率,将此概率记作P（A|B）,称作条件概率、一般P（A|B）≠P（A）。

（二）条件概率的定义

对于任意两个事件A与B,其中P（A）>0,则事件B在事件A发生的条件下的条件概率为:

（三）条件概率的性质

设B就是一事件,且P（B）>0,则

1、对任一事件A,0≤P（A|B）≤1;

2、P（S|B）=1;

3、设A1,…,An互不相容,则P[（A1+…+An）|B]=P（A1|B）+…+P（An|B）。

（四）条件概率的计算

二.乘法公式

三）乘法公式应用实例

三、全概公式与贝叶斯公式

（一）全概公式

设就是一个完备事件组,且,则对任一事件B（P（B）＞0）,有

（二）贝叶斯公式（逆概公式）

设就是一个完备事件组,且,则对于任一事件B（P（B）＞0）,有

（三）全概公式与贝叶斯公式综合应用

第四节贝努利概型

一、随机事件的独立性

（一）两事件的独立

对于两个事件A与B,若P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A与B独立。

若事件A与事件B独立,则事件A与B,A与B,A与B也相互独立。

（二）多个事件的独立

对于任意n个事件,若其中任两个事件均相互独立,即对于任意整数）与任意k个整数

都有成立,则称这n个事件相互独立。

注意:

若相互独立,则其中任意的）个事件也相互独立。

特别当k＝2时,

它们中的任意两个事件都相互独立（称为两两独立）。

但n个事件两两独立不能保证这n个事件相互独立。

实际问题中,往往根据问题的实际意义来判定独立性。

（三）事件独立在概率计算中的应用

二、贝努利概型

（一）独立重复试验

在两个或多个独立试验中,若同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们就是独立重复试验。

二）贝努利概型

满足以下三个条件的随机试验,称为n重贝努利试验。

1.试验可以独立重复的进行n次;

2.试验只有A与两个结果;

3.每次试验中,试验A出现的概率不变,即为常数;

在n重贝努利试验中,事件A出现k（0≤k≤n）次的概率为

此公式称为二项概率公式。

（三）贝努利概型应用

第三章随机变量&第五章分布

本章知识点:

1.随机变量的概念,随机变量的分布函数概念及其性质;

2.离散型随机变量及其概率分布,离散型随机变量常见分布;

3.连续性随机变量及其概率密度函数,连续性随机变量常见的分布;

4.随机变量的函数的分布。

第一节随机变量与分布函数

一、随机变量的概念

（一）随机变量的定义

设E为随机试验,它的样本空间为Ω={ω}。

若对于每一个样本点ω∈Ω,都有唯一确定的实数X（ω）与之对应,则称X（ω）就是一个随机变量（可简记为X）。

常用大写字母X,Y,Z等表示。

（二）引入随机变量的意义

（三）随机变量的分类

1.离散型随机变量与非离散型随机变量（主要就是连续型随机变量）

2.一元随机变量与多元随机变量

二、随机变量的分布函数

（一）随机变量分布函数的定义

对于随机变量X与任意实数x,称函数F（x）P（X≤x）为随机变量X的分布函数。

它在点x处的值就是事件{X≤x}的概率。

（二）分布函数的性质F（x）

1、F（x）就是单调不减函数;

2.F（x）右连续,即对任意的

第二节离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量的概率分布

（一）离散型随机变量概率分布的定义

1.一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个,则称它为离散型随机变量。

2.X就是一个离散型随机变量,其一切可能值为,且X取各值时的概率为其中,且,则称上式为X的概率分布。

记为

3.对于任意实数a

（二）离散型随机变量概率分布的表示方法

1.列表法2.图示法3.公式法

（三）离散型随机变量的分布函数

二、几种重要的离散型随机变量

（一）超几何分布:

如果随机变量X的概率分布为其中N,M,n均为正整数,且M≤N,n≤N,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布。

（二）几何分布

如果随机变量X的概率分布为则称X服从几何分布。

（三）二项分布

值为0,1,2,…,n,且它的概率分布为则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X～B（n,p）

（四）泊松分布

如果随机变量X的概率分布为则称X服从参数为λ的泊松分布。

三、几个分布之间的关系

（一）二项分布与超几何分布

当N,M充分大,而n相对N充分小时,超几何分布与二项分布有如下的近似:

（二）二项分布与0—1分布

如果随机变量相互独立,且都服从0—1分布,则服从二项分布B（n,p）

（三）二项分布与泊松分布

如果X服从二项分布B（n,p）,且n充分大（n≥100）,p充分小,而np适中,则满足以下近似公式:

第三节连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量的概率密度

（1）连续型随机变量及其密度函数的定义

对于随机变量X,其分布函数为F（x）,如存在非负