版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第2节.docx

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版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第一章第2节

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲　1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知识梳理

1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且qp

p是q的必要不充分条件

pq且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

pq且qp

[微点提醒]

1.否命题与命题的否定：

否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.

2.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且BA）,与A的充分不必要条件是B（B⇒A且AB）两者的不同.

3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题.（　　）

（2）命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.（　　）

（3）当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.（　　）

（4）“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.（　　）

解析　

（1）错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.

（2）错误.否命题既否定条件,又否定结论.

【参考答案】

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2.（选修1－1P6练习引申）命题“若α＝,则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠,则tanα≠1B.若α＝,则tanα≠1

C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α＝

解析　命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”.

【参考答案】C

3.（选修1－1P8AT2

（1）改编）“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为________.

解析　“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”.

【参考答案】若ab不是偶数,则a,b不都是偶数

4.（2018·天津卷）设x∈R,则“<”是“x3<1”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由<,得0

【参考答案】A

5.（2017·北京卷）能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a＋b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.

解析　a>b>c,取a＝－2,b＝－4,c＝－5,

则a＋b＝－6

【参考答案】－2,－4,－5（答案不唯一）

6.（2019·安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－＋a为奇函数”的________条件.

解析　显然a＝0时,f（x）＝sinx－为奇函数；

当f（x）为奇函数时,

f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－＋a＋sinx－＋a＝0.

因此2a＝0,故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.

【参考答案】充要

考点一　命题及其关系

【例1】

（1）（2019·郑州模拟）下列说法正确的是（　　）

A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”

B.“若am2

C.存在x0∈（0,＋∞）,使3x0>4x0成立

D.“若sinα≠,则α≠”是真命题

（2）（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0,2]都成立,则f（x）在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.

解析　

（1）对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,A错；

对于B项,若“am2

对于C项,由指数函数的图象知,∀x∈（0,＋∞）,都有4x>3x,C错；

对于D项,原命题的逆否命题为“若α＝,则sinα＝”是真命题,故原命题是真命题.

（2）根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f（x）min＝f（0）.

【参考答案】

（1）D　

（2）f（x）＝sinx,x∈[0,2]（答案不唯一,再如f（x）＝）

规律方法　1.写一个命题的其他三种命题时,需注意：

（1）对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；

（2）若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.

2.

（1）判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例.

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.

【训练1】

（1）（2018·肇庆一诊）命题“若a,b,c成等比数列,则b2＝ac”的逆否命题是（　　）

A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”

B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”

C.“若b2＝ac,则a,b,c成等比数列”

D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”

（2）命题p：

若x>0,则x>a；命题q：

若m≤a－2,则m

解析　

（1）命题“若a,b,c成等比数列,则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.

（2）命题p的逆命题是若x>a,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则a－2<－1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1）.

【参考答案】

（1）D　

（2）[0,1）

考点二　充分条件与必要条件的判定

【例2】

（1）（2018·北京卷）设a,b均为单位向量,则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2）设函数f（x）＝则“m>1是f[f（－1）]>4”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析　

（1）|a－3b|＝|3a＋b|⇔（a－3b）2＝（3a＋b）2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2,又∵|a|＝|b|＝1,

∴a·b＝0⇔a⊥b,因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.

（2）当m>1时,f[f（－1）]＝f＝f

（2）＝22m＋1>4,

当f[f（－1）]>4时,f[f（－1）]＝f＝f

（2）＝22m＋1>4＝22,

∴2m＋1>2,解得m>.

故“m>1”是“f[f（－1）]>4”的充分不必要条件.

【参考答案】

（1）C　

（2）A

规律方法　充要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q,q⇒p进行判断.

（2）集合法：

根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

【训练2】

（1）（2018·浙江卷）已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2）（2019·佛山质检）已知函数f（x）＝3x－3－x,∀a,b∈R,则“a>b”是“f（a）>f（b）”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　

（1）若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.

（2）因为f（x）＝3x－3－x,

所以f′（x）＝3xln3－3－xln3×（－1）＝3xln3＋3－xln3,

易知f′（x）>0,

所以函数f（x）＝3x－3－x为（－∞,＋∞）上的单调递增函数,从而由“a>b”可得“f（a）>f（b）”,由“f（a）>f（b）”可得“a>b”,即“a>b”是“f（a）>f（b）”的充要条件.

【参考答案】

（1）A　

（2）C

考点三　充分条件、必要条件的应用典例迁移

【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0},非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围.

解　由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10,

∴P＝{x|－2≤x≤10}.

∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.

∴解得m≤3.

又∵S为非空集合,∴1－m≤1＋m,解得m≥0.

综上,m的取值范围是[0,3].

【迁移探究1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件？

并说明理由.

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.

若x∈P是x∈S的充要条件,则P＝S,

∴∴

这样的m不存在.

【迁移探究2】设p：

P＝{x|x2－8x－20≤0},q：

非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.

∵綈p是綈q的必要不充分条件,

p是q的充分不必要条件.

∴p⇒q且qp,即PS.

∴或

∴m≥9,又因为S为非空集合,

所以1－m≤1＋m,解得m≥0,

综上,实数m的取值范围是[9,＋∞）.

规律方法　充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【训练3】（2018·浏阳三校联考）设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0,a∈R；q：

实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

解　由p得（x－3a）（x－a）<0,当a<0时,3a

由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0,则－2≤x≤3或x<－4或x>2,则x<－4或x≥－2.

设p：

A＝（3a,a）,q：

B＝（－∞,－4）∪[－2,＋∞）,

又p是q的充分不必要条件.

可知AB,∴a≤－4或3a≥－2,即a≤－4或a≥－.

又∵a<0,∴a≤－4或－≤a<0,

即实数a的取值范围为（－∞,－4]∪.

[思维升华]

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系,并注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它